Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитная индукция. Учебное пособие
.pdf
B
B
I
R
0
b
r
0
a
Рис. 2.17
bI r a
Ответ:
00 0
q
ln 5 10
2
Rr
0
Пример 2.15. Круговой проводник радиусом
7
Кл.
0,15r м замкнут
0
на конденсатор емкостью 40C мкФ и расположен в плоскости, пер-
пендикулярной линиям магнитного поля (рис. 2.18). Определить максимальную энергию электрического поля
дукция магнитного поля меняется по закону
2
10B Тл, 3 с
0
–1
.
W конденсатора, если ин-
C
(5 )
Bt, где
0
r
0
C
Рис. 2.18
2
2
BrC
Ответ:
W
00
C
2
910
61
11
Дж.
Указание. При решении следует воспользоваться формулой для
L
B
B
энергии электрического поля конденсатора, выраженной через емкость
и напряжение на ее обкладках
W
C
2
uC
либо через заряд
2
WC
2
q
C
.
2
Пример 2.16. Круговой проводник радиусом
тивлением
3
510R Ом замкнут на катушку индуктивностью
0,2r м и сопро-
0
0,06L Гн (рис. 2.19). Определить максимальную энергию магнитно-
го поля
W , запасаемую в индуктивности, если проводник расположен
в плоскости, перпендикулярной линиям магнитного поля, индукция которого меняется по закону
(3 )
Bt
0
, где
3
10B
0
Тл, 4 с–1.
r
0
L
Рис. 2.19
2
2
Br
00
R
L
2
310
4
Дж.
Ответ:
⎛⎞
W
⎜⎟
L
⎝⎠
Пример 2.17. В однородном магнитом поле, индукция которого
t
меняется по закону
BB e
дикулярно линиям поля расположен круговой проводник радиусом
0,15r м, замкнутый на внешнее сопротивление 0,36R Ом
0
(рис.
2.20). Определить количество тепла Q , выделенное на внешнем
сопротивлении за первые 10t с, если сопротивлением кругового
проводника можно пренебречь.
(1 )
, где
0
1B Тл, 0,1 с–1, перпен-
0
62
B
R
r
0
Рис. 2.20
224
Br
Ответ:
00
Qe
2
R
24
t
(1 ) 6 1 0
Дж.
3. ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции
3.1. Теоретический материал
При изменяющемся во времени токе в контуре возникает ЭДС самоиндукции
eL
tdt
di
,
т. е. ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока
di
в контуре. Коэффициентом пропорциональности является индук-
dt
тивность L этого контура.
Знак «–» показывает, что ЭДС всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению тока (вследствие электромагнитной инерции).
Например, при увеличении тока в контуре
di
0
ЭДС самоиндук-
dt
ции препятствует его росту. Такую ЭДС называют противоЭДС.
di
0
При уменьшении тока в контуре
ЭДС самоиндукции препят-
dt
ствует его снижению.
63
Подобное противодействие зависит как от скорости изменения тока, так и от индуктивности L . Подобно массе, характеризующей
инертность в механической системе, индуктивность характеризует
инертность в электромагнитной системе.
Если обобщенный контур представляет собой катушку, содержащую
w витков (рис. 3.1), то ток, проходящий по ее виткам, создает
собственное магнитное поле. При любом изменении тока изменяется
магнитное поле и магнитный поток, созданный этим током.
i
Ф
i
w
Рис. 3.1
При всяком изменении тока в катушке в ней индуцируется ЭДС
самоиндукции
ddi
ew L
,
dt dt
где wd Ldi , L – индуктивность катушки.
Определим выражение для ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке индуктивностью L (рис. 3.1), в случае если ток, протекающий
по ее виткам, является функцией времени и изменяется по синусоидальному закону
sin
iI t,
m
I – амплитуда тока; – частота изменения тока.
где
m
Считая, что индуцируемая в катушке ЭДС самоиндукции
eL
di
, можно записать
dt
64
(sin)
eL L LI t
di
dI t
dt dt
⎛⎞ ⎛⎞
sin sin
LI t LI t
mm
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
m
cos
m
.
22
Таким образом, явление наведения ЭДС в проводнике, контуре или
катушке, вызванное изменением тока, называют явлением самоиндукции, которую следует рассматривать как частный случай проявления
электромагнитной индукции, определяемой по формуле
d
.
e
dt
Явление возникновения ЭДС в одном контуре при изменении силы
тока в другом близко расположенном контуре и наоборот
получило
название взаимоиндукции (взаимная индукция). Считается, что такие
контуры магнитно-связанные.
Рассмотрим два неподвижных контура, расположенных достаточно
близко друг от друга (рис. 3.2).
Ф
1
i
1
а б
Ф
Ф
12
Рис. 3.2
21
i
2
Если по первому контуру (рис. 3.2, а) пропустить изменяющийся во
времени ток
часть которого
нитного потока
i , то под действием тока возникнет магнитный поток 1 ,
1
будет пронизывать второй контур. Величина маг-
12
пропорциональна току1i :
12
65
Ф
2
=M i ,
M
M
12 12 1
где
– коэффициент взаимоиндукции, характеризующий влияние
12
первого контура на второй.
Во втором контуре при этом будет индуцироваться ЭДС взаимоиндукции
ddi
eM
.
12 12
12 1
dt dt
Если второй контур разомкнут, то тока в нем не возникнет. Следовательно, обратного влияния второй контур на первый не оказывает.
На разомкнутых выводах второго контура возникает напряжение, равное ЭДС взаимоиндукции:
di
ueM
.
12 12 12
1
dt
Аналогично, если по второму контуру (рис. 3.2, б) пропустить изменяющийся во времени ток
, часть которого 21 будет пронизывать первый контур. Вели-
ток
2
чина магнитного потока
где
– коэффициент взаимоиндукции, характеризующий влияние
21
i , то под действием тока возникает по-
2
пропорциональна току
21
=M i ,
21 21 2
i
:
2
второго контура на первый.
В первом контуре при этом будет индуктироваться ЭДС взаимоиндукции
ddi
eM
.
21 21
21 2
dt dt
На разомкнутых выводах первого контура возникает напряжение,
равное ЭДС взаимоиндукции:
di
ueM
.
21 21 21
66
2
dt
Коэффициенты взаимоиндукции
M
MM (взаимной индук-
21 21
тивности) являются характеристикой двух магнитно-связанных контуров.
Единица взаимной индуктивности – генри
M Гн.
Изменение индуктивной связи между двумя контурами можно
достичь положением (расстоянием) одного контура относительно
другого.
Для оценки степени связи магнитно-связанных контуров используется понятие коэффициента магнитной связи
M
kLL,
св
где
L , 2L – собственные индуктивности связанных контуров.
1
1
12
Коэффициент связи контуров всегда меньше единицы.
В системе магнитно-связанных контуров различают согласное или
встречное их включение. При согласном включении положительные
направления создаваемых токами магнитных потоков самоиндукции и
взаимной индукции каждого контура совпадают. При несовпадении
этих направлений включение считается встречным.
Направление магнитного потока всегда совпадает с
направлением
намагничивающей силы, создаваемой контуром с током, и определяется по правилу правоходового винта.
Чтобы изменить направление намагничивающей силы контура
(катушки), можно согласно правилу правоходового винта изменить
направление тока или направление намотки витков (правая или левая
намотка).
Таким образом, по аналогии с ЭДС самоиндукции при всяком изменении тока в
магнитно-связанных контурах индуцируется ЭДС взаимоиндукции. Направление действия ЭДС взаимоиндукции определяется по правилу Ленца.
Энергия магнитного поля, создаваемая двумя контурами с тока-
I и 2I :
ми
1
11
WLILIMII ,
м 11 11 121 2
22
22
67
L
M
где
L
,
– индуктивности контуров;
1
2
– взаимная индуктивность
12
системы контуров.
Первое и второе слагаемое положительны, третье может иметь положительный либо отрицательный знак. При согласном включении
катушек третье слагаемое в выражении энергии будет иметь знак
плюс, при встречном включении – знак минус.
3.2. Примеры решения задач
Пример 3.1
Определить ЭДС самоиндукции в соленоиде, содержащем 500w вит-
ков провода, если за время
убывает от
Вб до
1
Вб.
2
3
510
Решение. Так как индуктивность соленоида не меняется, то изме-
нение магнитного потока вызвано убывающим в витках током. В таком случае наведенную ЭДС самоиндукции следует рассматривать как
частный случай проявления электромагнитной индукции
(ФФ)
w
ew
tt
12
3
610t с магнитный поток линейно
3
210
33
500(5 10 2 10 )
3
610
250
В.
Пример 3.2
Определить ЭДС самоиндукции, наведенную в контуре индуктивностью 0, 4L Гн, для случая линейного изменения силы тока в нем
с
1
3I А до
8I А за время 0, 02t с.
2
Решение. Наведенная ЭДС самоиндукции в контуре с постоянной
индуктивностью (const)L будет зависеть только от скорости изме-
нения тока в нем. Следовательно
eLL
tt t
iII
12
68
38
0,04 100
0,02
В.
Пример 3.3
Соленоидная катушка длиной
мм и диаметром
90l
0
30d мм
содержит 200w витков с протекающим по ним током источника
6I А (рис. 3.3). Определить среднюю величину ЭДС самоиндукции,
возникающую в катушке при закорачивании ее выводов и исчезновении в ней тока за время
3
410t с.
l
d
0
I
Рис. 3.3
Решение. Наведенная средняя ЭДС самоиндукции в соленоидной
катушке является частным случаем проявления электромагнитной индукции, вызванной изменением силы тока, протекающего по ее виткам:
22
wd
0
r
410
0
4
3
В,
где
ew L
410 1,0 0,6
22
wd
L
– индуктивность соленоидной катушки;
0
0
r
4
l
tt lt
7
iI
22
200 0, 03 6
40,09
величина изменения силы тока.
iI –
Замечание. В любой катушке индуктивности, обладающей рези-
стивным сопротивлением
(замыкании) ее выводов с энергетической точки зрения характеризуется тем,
что вся энергия, запасенная в магнитном поле катушки за время
зуется в этом сопротивлении в тепло:
r , процесс исчезновения тока при закорачивании
, преобра-
t
t
2
irdt
∫
0
69
LI
2
.
2
Пример 3.4
Два соленоида с однослойными обмотками плотно намотаны один
на другой (рис. 3.4). Требуется определить их взаимную индуктивность, если при скорости изменения тока в первом соленоиде
/12di dt А/с на разомкнутых выводах второго соленоида индуциру-
1
ется ЭДС взаимоиндукции
12
0,6e В.
e
12
i
1
Рис. 3.4
Решение. Полагаем, что однослойные обмотки соленоидов маг-
нитно-связанные. Следовательно, при всяком изменении тока в первом
соленоиде на разомкнутых выводах второго соленоида индуцируется
ЭДС взаимоиндукции
ddi
eM
,
12 12
12 1
dt dt
отсюда взаимная индуктивность соленоидов
0,6
e
M
12
12
di
1
0,05
12
dt
Пример 3.5
70
(0,5)k
св
t
1
Две магнитно-связанные катушки
0,015L Гн и
1
(рис. 3.5). Определить ЭДС
0,01L Гн намотаны на один общий каркас
2
e взаимоиндукции на разомкнутых вы-
12
водах второй катушки в момент времени
iIe
ка в первой катушке по закону
, где
10
Гн.
с индуктивностью
0,01t с при изменении то-
200I А, 100 с
0
–1
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]