Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитная индукция. Учебное пособие
.pdf
Замечание. Мощность внешних сил можно также рассматривать
A
F
Bx
как мощность индуцируемой в проводнике ЭДС электромагнитной индукции
в случае равномерного (с постоянной скоростью) перемещения проводника
в однородном магнитном поле:
Pei Blv
() 0,05
==- - = =
00
Blv Blv
ʈ
00 00
Á˜
˯
RR
2
()
Вт.
Пример 1.5
Перемычка длиной 0,1l = м под воздействием внешней силы
скользит с постоянной скоростью
ны параллельным проводникам с сопротивлением на единицу их дли-
ны
0, 4r = Ом/м, замкнутым с одного конца (рис. 1.8). Плоскость всей
0
системы перпендикулярна линиям однородного магнитного поля с индукцией
0,5
t = с после начала скольжения, если в момент трогания сопротив-
0, 2B
=
0
Тл. Определить силу тока i в перемычке через время
ление, образованное контуром,
3v = м/с по двум бесконечной дли-
0
0,3R = Ом.
0
i
0
v
0
l
Рис. 1.8
Решение. Возникающая при скольжении перемычки ЭДС элек-
тромагнитной индукции и индукционный ток, определяемые по правилу правой руки, направлены так, чтобы действующая на перемычку
сила Ампера оказывала тормозное воздействие, т.
против движущей внешней силы.
Индуцируемая в контуре ЭДС электромагнитной индукции
d
=- = .
eBlv
dt
00
21
е. была направлена
Согласно закону Ома индукционный ток через перемычку
R
x
A
F
A
F
R
Bx
где
наты
e
i
== = =
( ) 2 0,3 2 0,4 3 0,5
Rx R rvt
() 2
xR rvt=+ – сопротивление контура, зависящее от коорди-
000
vt= положения перемычки в каждый текущий момент времени.
0
Blv
00
++◊◊◊
000
0, 2 0,1 3
◊◊
0,04
А,
Пример 1.6
Перемычка из проводящего материала массой 0, 02m = кг скользит
без трения по двум параллельным проводникам, расположенным на
расстоянии 0, 2
l = м и замкнутым на сопротивление 0, 25R = Ом
(рис. 1.9). Плоскость всей системы перпендикулярна линиям однород-
0,5B
=
ного магнитного поля с индукцией
0
Тл. Определить расстоя-
ние, пройденное перемычкой до ее полной остановки, если в момент
времени
перемычке сообщена начальная скорость
0t =
0
0,6v= м/с.
Определить количество тепла, выделенного на сопротивление за время
скольжения. Сопротивлением перемычки и проводников следует пренебречь.
i
0
v
l
Рис. 1.9
Решение. Параллельные проводники с сопротивлением и прово-
дящей перемычкой образуют полную цепь в виде замкнутого контура,
плоскость которого перпендикулярна линиям однородного магнитного
поля. При сообщении перемычке начальной скорости в образованном
контуре электрической цепи возникает индукционный ток
ленный таким образом, что возникающая сила Ампера
22
i , направ-
, действую-
щая на перемычку, была направлена в противоположном от скорости
B
R
A
B
B
B
B
B
направлении (рис. 1.9).
Согласно закону электромагнитной индукции и закону Ома для
полного контура цепи запишем
ddS
iR B B lv
=- =- =- ,
dt dt
00
отсюда величина индукционного тока
i
.
lv
0
=-
На основании второго закона Ньютона уравнение движения перемычки, обладающей массой
, запишем в виде
m
dv
miBl
-=,
dt
iB l = F – сила Ампера, действующая на перемычку.
где
0
0
0
С учетом найденного выражения для индукционного тока уравнение движения приобретает вид
22
=-
0
lv
.
dv
m
dt R
Разделяя переменные, запишем
vt
dv
ÚÚ
vmR
v
0
=-
22
l
0
0
dt
.
=-
22
0
dv
dt mR
lv
или
После интегрирования получим
22
v
ln
=-
vmR
0
l
0
,
t
отсюда скорость
22
kt
vve
-
= , где
0
kmR=
l
0
.
23
Расстояние, пройденное перемычкой до остановки:
B
A
F
R
B
E
F
=• •
t
== =- ==
x vdt v e dt e
ÚÚ
00
==
--
kt kt
0
0,60,020,25
◊◊
22
0,5 0, 2
◊
vvmR
•
00
k
м.
0,3
22
0
l
0
Количество теплоты, выделенной на сопротивление:
t
QiRdt edt e
222
∫∫
00
222 2
Blv mv
00 0
R
kt kt
2
0
2
mv
== =◊
0
0,02 0, 6
2
◊
3, 6 10
3
-
Дж.
22
Пример 1.7
Перемычка длиной 0,1l = м скользит с трением
двум бесконечно длинным параллельным проводникам (рис. 1.10), за-
мкнутым с одного конца на внешний источник тока с ЭДС 5
и внешнее сопротивление
рость
v
скольжения перемычки в плоскости, перпендикулярной
max
0, 4R = Ом. Определить максимальную ско-
линиям однородного магнитного поля с индукцией
противлением перемычки и проводников следует пренебречь.
i
тр
0
l
Рис. 1.10
v
0, 25F = Н по
тр
0,5B
=
0
E = В
Тл. Со-
24
Решение. Скольжение перемычки в магнитном поле вызвано си-
E
E
R
А
F
F
лой Ампера вследствие возникающего в образованном контуре тока
от внешнего источника ЭДС. Направление силы Ампера и направление
скорости скольжения перемычки совпадают. Возникающая при ускорении перемычки ЭДС электромагнитной индукции направлена
навстречу внешнему источнику.
Индуцируемая в перемычке ЭДС электромагнитной индукции
Согласно закону Ома для полного контура цепи запишем
d
eBlv
=- =
dt
.
0
iR E B lv=-
,
0
отсюда ток через перемычку
Blv
-
0
i
=
R
и сила Ампера
== -
FiBl
А
Bl Blv
0
22
00
R
.
Уравнение движения перемычки (второй закон Ньютона), облада-
ющей массой
m и ускорением скольжения
adt=
dv
, с учетом проекции
всех сил будет иметь вид
dv
mFF
=-
А
dt
.
тр
На перемычку действуют две противоположно направленные силы:
движущая сила Ампера
и сила трения скольжения
. С течением
тр
времени по мере увеличения скорости ускорение перемычки посте-
пенно уменьшается и обращается в ноль:
dv
0
.
=
dt
25
Максимальной (установившейся) скорости скольжения перемычка
А
F
F
E
R
E
A
F
B
E
достигнет, когда сила Ампера
силе
трения скольжения:
тр
FF
== - .
тр
станет равной противодействующей
Bl Blv
А
22
00
R
Отсюда максимальная скорость скольжения составит
FR
E
vv
== - = - =
max
Bl
тр
22 2 2
Bl
0
0
50,250,4
0,5 0,1
◊
◊
0,5 0,1
◊
60
м/с.
Пример 1.8
Проводящая перемычка скользит без трения с постоянной скоростью
на расстоянии 0,25l = м друг от друга и замкнутым на внешний ис-
точник тока с ЭДС 4
(рис. 1.11). Система находится в однородном магнитном поле, индук-
ция которого
мычки. Определить силу тока в образованном с перемычкой контуре,
мощность, отдаваемую источником, и механическую мощность при
равномерном скольжении перемычки. Сопротивлением проводников
и перемычки можно пренебречь.
м/с по двум параллельным проводникам, расположенным
12v =
= В с внутренним сопротивлением
0, 4B
=
0
,
r
0
Тл перпендикулярна плоскости движения пере-
i
0
v
0
l
0,8r = Ом
Рис. 1.11
Решение. Направления скорости и силы Ампера, действующей на
перемычку и определяемой правилом левой руки, совпадают. Возни-
26
кающая при равноускоренном скольжении перемычки ЭДС индукции
F
направлена навстречу ЭДС источника тока.
По закону электромагнитной индукции индуцируемая в перемычке
ЭДС индукции
d
=- = .
eBlv
dt
0
В таком случае баланс напряжений для полного контура цепи
Ir E e E B lv=-=-
00
,
отсюда сила тока в контуре
EBlv
-
I
== = А.
r
0
40,40,2512
0
- ◊◊
0,8
3, 5
Мощность, отдаваемая внешним источником ЭДС, равна
43,5 14PEI==◊ = Вт.
Механическая мощность при равномерном скольжении перемычки
PFvIBlv== =◊◊ ◊=
мех 0
A
3,5 0,4 0,25 12 4, 2
Вт,
где
IB l= – сила Ампера.
0A
Пример. 1.9
Перемычка массой 0,02m = кг под собственной силой тяжести
скользит без трения по двум вертикальным и параллельным проводни-
кам, расположенным на расстоянии 0, 2l = м друг от друга и замкну-
тым с одного конца на сопротивление 0, 4R = Ом (рис. 1.12). Плос-
кость всей системы перпендикулярна линиям однородного магнитного
поля с индукцией
v скольжения перемычки под собственной силой тяжести. Сопро-
max
1, 4B = Тл. Определить максимальную скорость
0
тивлением перемычки и проводников пренебречь.
Решение. При скольжении перемычки в однородном магнитном
поле под действием силы тяжести mg в образованном с ней контуре
возникает индукционный ток, направление которого совпадает с инду-
цируемой в контуре ЭДС электромагнитной индукции /eddt
определяемой по правилу правой руки.
27
=- ,
А
F
B
R
B
R
A
F
B
E
A
F
B
R
0
i
e
0
mg
l
v
z
Рис. 1.12 Рис. 1.13
I
0
e
l
,
0
mg
v
r
0
z
На перемычку с током действует сила Ампера
, которая соглас-
но правилу левой руки направлена в противоположном от скорости
направлении и оказывает тормозное воздействие (рис. 1.12).
На основании закона Ома для полного контура цепи запишем
iR B B lv
dt dt
00
ddS
=- = = .
Отсюда индукционный ток
lv
0
=
i
и сила Ампера, действующая на перемычку со стороны поля, равна
22
lv
==
FiBl
А
0
0
.
Уравнение движения перемычки (второй закон Ньютона) в проекции на ось z :
28
А
dv
B
R
F
A
F
mmgF
=-,
dt
где
dv
– ускорение скольжения.
=a
dt
Очевидно, что максимальной скорости перемычка достигнет тогда,
когда ее ускорение
0dv=dt, т. е. обратится в ноль, а сила Ампера станет
равной силе тяжести:
22
lv
== ,
mg F
0
А
откуда максимальная (установившаяся) скорость скольжения перемычки (рис. 1.12)
vv
max
mgR
== = =◊ м/с.
Bl
0,02 9,8 0, 4
◊◊
22 2 2
0
1, 4 0 , 2
1, 0
Примечание. Если допустить, что скольжение перемычки под соб-
ственной силой тяжести происходит с некоторой силой трения
ние которой совпадает с силой Ампера
dv
mmgFF
описываться уравнением
мычка достигнет максимальной скорости скольжения
dt
, то движение перемычки будет
. При условии /0dv dt пере-
трА
v
max
, направле-
тр
()
Rmg F
22
Bl
0
тр
.
Пример 1.10
После освобождения перемычка с длиной активной части 0, 2l = м
и массой
жести по двум вертикальным и параллельным проводникам (рис. 1.13).
Проводники с одного конца замкнуты на источник ЭДС 0, 7E = В
с внутренним сопротивлением источника
системы перпендикулярна линиям однородного магнитного поля с ин-
дукцией
0
ния перемычки. Сопротивлением перемычки и проводников пренебречь.
кг скользит без трения под собственной силой тя-
0,05m =
0,15r = Ом. Плоскость всей
0
0,35B = Тл. Определить установившуюся скорость скольже-
29
Решение. В начальный момент
E
E
F
E
E
E
A
E
(0)v= сила тока через перемыч-
0
ку определяется только внешним источником ЭДС
. По закону Ома
ток в контуре
щая на перемычку, равна
Ir= . По правилу левой руки сила Ампера, действую-
0
IB l= и направлена вверх (рис. 1.13),
0A
т. е. против силы тяжести mg .
При освобождении перемычка под весом собственной силы тяжести ускоряется вниз. С увеличением скорости скольжения перемычки
возрастает индуцируемая в ней ЭДС электромагнитной индукции,
направление которой совпадает с направлением внешней ЭДС
Баланс напряжений для полного контура цепи
Ir =E e+ , отсюда
0
.
ток в контуре
e
+
I
=
r
0
и направленная вверх сила Ампера с учетом индуцируемой в контуре
ЭДС электромагнитной индукции
+
== =
FIBl Bl
A
eBlv= – индуцируемая в перемычке ЭДС электромагнитной ин-
где
дукции;
0
v – скорость скольжения перемычки.
Ee
00
rr
00
Bl B l v
22
+
00
,
На основании второго закона Ньютона уравнение скольжения перемычки
dv
=-.
mmgF
dt
Установившейся (максимальной) скорости перемычка достигнет
dv
0
при условии
= . Второй закон Ньютона примет вид
dt
mg F
== ,
Bl Blv
A
30
22
+
00
r
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]