Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитная индукция. Учебное пособие
.pdf
отсюда скорость перемычки
I
F
I
A
F
mgr
v
0
=-= - =
22 2 2
Bl
0
0,05 9,8 0,15 0, 7
E
Bl
0
◊◊
0,35 0, 2
◊
0,35 0, 2
◊
5
м/c.
Примечание. При изменении полярности внешнего источника
ЭДС
E также поменяют свои направления сила тока в контуре
Ампера
, которая будет совпадать с направлением силы тяжести mg
A
и сила
(см. рис. 1.13). При освобождении перемычки и с ростом индуцируемой в ней
eBlv электромагнитной индукции баланс напряжений для полного
ЭДС
контура цепи будет иметь вид
и сила Ампера
собственным весом будет описываться уравнением
вии
mgr
.
v
dv
dt
22
Bl
0
0
r= E e. Отсюда ток в контуре
0
FIBl
A
0
установившаяся скорость скольжения перемычки составит
E
0
Bl
0
EB l B l v
0
22
00
r
0
. Скольжение перемычки вниз под
dv
mmgF
dt
Ee
I
r
0
. При усло-
Пример 1.11
Перемычка из проводящего материала длиной 0, 2l = м и массой
0,01m = кг под воздействием внешней силы
трения по двум параллельным бесконечно длинным проводникам, замкнутым с одного конца на конденсатор емкостью
(рис. 1.14). Определить ускорение a перемычки, если ее скольжение
выполняется в плоскости, перпендикулярной линиям однородного
магнитного поля с индукцией
1B = Тл. Сопротивлением перемычки и
0
проводников пренебречь.
0,6F = Н скользит без
0
50 10C = ◊ мкФ
3
Решение. При скольжении перемычки под воздействием постоян-
ной внешней силы
индукции, которая по мере увеличения скорости
в контуре возникает ЭДС e электромагнитной
0
возрастает и в каж-
v
31
дый момент времени равна напряжению /
A
F
B
x
F
uqC= на обкладках кон-
C
денсатора, где q – заряд конденсатора.
i
C
0
0
v
l
Рис. 1.14
По закону электромагнитной индукции индуцируемая в контуре
ЭДС индукции
eBlv
Фdq
=- = =
dt C
0
.
Отсюда заряд конденсатора
qBlvC=
0
и индукционный ток в контуре
dq dv
== = ,
где
dv
iBlCBlCa
– ускорение перемычки.
adt=
00
dt dt
Согласно второму закону Ньютона уравнение движения перемычки
с учетом проекции всех сил (рис. 1.14)
ma F F F B il=-=- .
000A
Отсюда с учетом найденного значения индукционного тока в контуре для ускорения перемычки получим
F
== =
a
0
22 2 2 3 6
++◊◊◊◊
mBlC
0
0,01 1,0 0, 2 50 10 10
32
0,6
м/c2.
50
-
Пример 1.12
F
F
B
R
B
x0F
Перемычка из проводящего материала длиной 0, 2l = м и сопро-
тивлением
силы
по двум параллельным, бесконечно длинным проводникам,
0
Ом скользит без трения под воздействием внешней
0, 2R =
замкнутым с одного конца на идеальную катушку индуктивностью
0,01L = Гн (рис. 1.15). Определить скорость
v скольжения перемыч-
0
ки в плоскости, перпендикулярной линиям однородного магнитного
поля с индукцией
0,5B
=
0
Тл, если энергия магнитного поля, запасае-
мая в индуктивности, остается постоянной со временем и равной
3
510
W-= ◊ Дж. Сопротивлением перемычки и проводников прене-
L
бречь.
i
L
0
v
0
l
Рис. 1.15
Решение. При скольжении перемычки под воздействием внешней
силы
индуцируемая в контуре ЭДС электромагнитной индукции
0
eBlv
Фd
=- =
dt
00
.
Постоянный индукционный ток в контуре
e
i
==
lv
00
.
R
Энергия магнитного поля, запасаемая в индуктивности:
33
22 2
LB l v
00
2
2
2
Li
WR== ,
L
2
отсюда скорость скольжения перемычки под воздействием вынужден-
B
B
ной силы
2
2
WR
v
== =
0
L
22 2 2
LB l
0
◊◊ ◊
2510 0,2
0,01 0, 5 0,1
32
-
◊◊
4
м/с.
Пример 1.13
Прямой проводник длиной 0, 2l = м вращается относительно оси
(рис. 1.16), проходящей через один из его концов, в плоскости, пер-
пендикулярной силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией
если на его концах возникает разность потенциалов 1, 0
Решение. За время
повернется на угол
нитной индукции, проходящие через площадь кругового сектора:
0, 25B = Тл. Определить частоту вращения проводника,
0
U = В.
0
l
d
Рис. 1.16
проводник, вращаясь с угловой скоростью ,
dt
ddt= и пересечет все линии вектора
0
маг-
dS l l d l dt
Магнитный поток
22 2
через элемент поверхности dS сектора
Фd
1
d=BdS Bl dt=
Ф
2
0
2
.
11
d
222
===.
Разность потенциалов на концах проводника будет определяться
величиной ЭДС, индуцируемой в проводнике.
34
Согласно закону электромагнитной индукции величина индуциру-
B
R
емой ЭДС
dt
1
2
0
2
==- = .
eU Bl
d
Отсюда необходимая частота (угловая скорость) вращения проводника
221,0
U
== =
22
Bl
0
◊
◊
0, 25 0, 2
200 с
1
-
.
Пример 1.14
Проводящий диск радиусом 0,2r= м расположен перпендикуляр-
но линиям однородного магнитного поля с индукцией
и вращается вокруг своей оси, проходящей через его центр (рис. 1.17,
Центр и край диска посредством скользящих контактов связаны через
сопротивление
ловую скорость диска и количество его оборотов
условии, что выделяемая в сопротивлении мощность 2
Ом, образуя замкнутый контур. Определить уг-
8R=
n в минуту при
P= Вт.
0
r
I
d
0
0,5B= Тл
a).
а б
Рис. 1.17
dS
Решение. За некоторый малый промежуток времени dt при пово-
роте диска на угол
ddt=
его радиус пересекает некоторое коли-
35
чество линий вектора
B
B
B
R
R
R
R
магнитной индукции (рис. 1.17, б), проходя-
0
щих через площадь кругового сектора
11
d
222
dS = r r d r dt
== .
22 2
, равную
dS
Изменение магнитного потока
вороте диска на угол
d
d=BdS Br dt=
d через поверхность dS при по-
1
2
00
2
.
Так как вектор
индукции перпендикулярен плоскости вращения
0
диска, то индуцируемая между скользящими контактами ЭДС электромагнитной индукции
dt
1
2
0
2
d
=- = .
eBr
Согласно закону Ома индукционный ток в замкнутом контуре образованной цепи
2
r
I
и выделяемая в сопротивлении
== .
PIR
e
==
мощность потерь
2
0
2
R
24 2
Br
0
4
Отсюда угловая скорость диска для поддержания установленной
мощности, выделяемой в сопротивлении
в виде тепла при нагреве,
равна
4428
Полагая, что
24 2 4
Br
0
2
n
= , количество оборотов, совершаемых диском
PR
== =
◊◊
0,5 0, 2
◊
400 с
1
-
.
60
в минуту, будет равно
== ª
n
◊
3820
об/мин.
30 30 400
36
Пример 1.15
Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 на концах
отрезка проводника длиной 0, 5
со скоростью 2
I = А и расположенного с ним в одной плоскости на расстоянии
4
v = м/с вдоль бесконечно длинного проводника с током
l = м, поступательно перемещаемого
0, 2d = м от его ближнего конца (рис. 1.18).
v
r
12
l
d
Рис. 1.18
I
r
1, 0
Решение. Разность потенциалов между точками 1 и 2 (рис. 1.18)
будет определяться величиной ЭДС, индуцируемой в отрезке проводника, перемещаемого в неоднородном магнитном поле, созданном бесконечно длинным проводником с током, т. е.
21
Индукция в произвольной точке поля, удаленной на расстояние
от оси бесконечно длинного проводника:
I
02r
= .
B
r
e-=.
r
Разность потенциалов, возникающая на концах проводника:
dl dl
где
++
-= = = =
21
Iv
r
0
== =◊
– элемент длины l отрезка проводника; 1, 0
dr
ln ln 2 10
220,2
Bvdr r
ÚÚ
dd
4 10 1,042 0,2 0,5
+ ◊◊◊◊ +
dl
d
Iv v
00
rr
22
7
-
37
dr
r
ln
= .
r
dl
+
d
6
-
В,
Пример 1.16
x
B
x
x
x
x
В направлении, перпендикулярном бесконечно длинному проводнику с током 50I = А, движется квадратная рамка со стороной
0,6h = м, расположенная с проводником в одной плоскости (рис. 1.19).
Получить зависимость ЭДС электромагнитной индукции, наведенной
в рамке, как функцию расстояния
удаления с постоянной скоростью v . Определить величину ЭДС, индукции в рамке при ее удалении со скоростью 0, 5v = м/с в точке с ко-
0, 4x =
ординатой
0
м.
для случая ее поступательного
I
v
h
1, 0
r
0
0
dx
Рис. 1.19
Решение. Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС, ин-
дуцируемая в рамке, равна
ddS
eB
отсюда элементарный магнитный поток
Изменение магнитного потока в рамке идет за счет изменения величины вектора
магнитной индукции в зависимости от координаты x
(рис. 1.19).
Магнитная индукция в произвольной точке поля на расстоянии
от бесконечно длинного проводника с током
=- =- ,
dt dt
dBdS = .
I
02r
B
= .
38
Элементарный магнитный поток через элемент площади рамки
x
x
x
xhx
x
x
I
0
dBdS hdx
==
r
2
,
x
где
dS hdx=
– элемент площади рамки.
Магнитный поток через площадь всей рамки в точке с координатой
x= вычислим по формуле
0
xh xh
++
00
dhdxx
== = =
ÚÚ
xx
00
= ,
IIh
rr
00
x
22
Ih x h
00
r
2
ln
+
0
ln
h
+
0
x
0
при произвольном положении рамки
Ih
0
r
= .
2
ln
+
Индуцированная в рамке ЭДС электромагнитной индукции в
функции расстояния
где
dx
vdt= – скорость рамки.
dddx
=- =- =
e
dt dx dt x h x
2
Ih v
0
r
2( )
+
,
Величина ЭДС электромагнитной индукции в точке с координатой
=x
:
0
0
e
r
== =◊
xhx
2 ( ) 2 (0, 4 0, 6) 0,4
++
x=x
410 1,0500,60,5
0
2
Ih v
72
-
◊◊◊◊◊
39
4,5 10
6
-
В.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
E
F
B
E
Пример 1.17. Перемычка с длиной активной части
м
0, 25l =
скользит без трения по двум параллельным проводникам (рис. 1.20),
замкнутым с одного конца на внешний источник ЭДС 1
v
делить максимальную скорость
перемычки, если ее скольжение
max
= В. Опре-
выполняется в плоскости, перпендикулярной линиям однородного
магнитного поля с индукцией
0, 2B
=
0
Тл.
0
v
l
Рис. 1.20
Ответ:
vBl
Замечание. Условием достижения максимальной скорости в систе-
ме может считаться равенство между индуцируемой в контуре ЭДС электромагнитной индукции и ЭДС
max
E
м/с.
20
0
E
внешнего источника.
Пример 1.18. Перемычка с длиной активной части
скользит с трением
0,8F = Н под действием внешней силы по двум
тр
м
0, 2l =
параллельным проводникам, замкнутым с одного конца на внешнее
сопротивление 0,06R = Ом (рис. 1.21). Скольжение перемычки вы-
полняется в плоскости, перпендикулярной линиям однородного магнитного поля с индукцией
0,6B = Тл. Определить внешнюю силу
0
,
0
которую необходимо приложить к перемычке, чтобы скольжение выполнялось с постоянной скоростью
5v =
м/с. Сопротивлением пере-
0
мычки и проводников следует пренебречь.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]