Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
сигнал
Восстановленный
Низкочастотные
вэйвлет-коэффициенты
81
Рис. 19. Базисная система Шеннона
Высокочастотные
вэйвлет-коэффициенты
Этап
1
2
3
4
сигнал
Восстановленный
Низкочастотные
вэйвлет-коэффициенты
Высокочастотные
вэйвлет-коэффициенты
82
Рис. 20. Базисная система Добеши (D6)
Этап
1
2
3
4
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
A
ПО ТЕМЕ «ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
И ДИСКРЕТНОЕ ВЭЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ»
Изучить и реализовать алгоритмы дискретного преобразования
Фурье и дискретного вэйвлет-преобразования для исследования одномерных сигналов.
1. На языке программирования С++ реализовать алгоритмы прямого
и обратного преобразования Фурье (DFT и IDFT), быстрые алгоритмы
прямого и обратного преобразования Фурье для вектора чётной длины
(FFT и IFFT). Арифметические операции выполнять при использовании
std::complex<double>.
2. Задать последовательно N = 256 и 512 отсчётов сигнала вида
() cos(2 / )zj j N, где
лочисленных положительных значения
0, 1jN
. Для каждого из N выбрать три це-
: близкое к 0, близкое к N / 2
и близкое к N.
Например, при
имеем () cos(2 / )zj j N.
1
3. Выполнить для каждого из сформированных наборов значений
сигнала дискретное преобразование Фурье. Замерить время выполнения
кода при использовании DFT и FFT.
4. Для каждого из наборов сформировать таблицу.
ˆ
m
Re( z ) Re(
ˆ
z
) Im(
)
Амплитуда,
ˆ
z
z
Фаза, φ
В таблице необходимо отразить только те частоты, на которых от-
личны от нуля амплитудный или фазовый спектр.
5. Провести анализ амплитудного и фазового спектра: определить
число частот, которые присутствуют в исследуемом сигнале, является
ли исходный сигнал высокочастотным или низкочастотным?
6. Задать N = 512 отсчётов сигнала
где
0, 1jN
. Сформировать два набора значений сигнала при A < 0
() cos(2 / )zj A j N,
и при A > 100.
1
Например, при
имеем () cos(2 / )zj j N .
83
7. Выполнить для каждого из сформированных наборов значений
A
A
сигнала дискретное FFT.
8. Для каждого из наборов заполнить таблицу.
ˆ
)
Амплитуда,
m Re( z )
Re(
ˆ
)
z
Im(
ˆ
z
z
Фаза, φ
В таблице необходимо отразить только те частоты, на которых от-
личны от нуля амплитудный или фазовый спектр.
9. Провести анализ амплитудного и фазового спектра: определить
число частот, которые присутствуют в исследуемом сигнале; как меняется амплитуда гармоник при разных A?
10. Задать N = 512 отсчётов сигнала
() cos(2 / )zj j N,
где
и при
0, 1jN
> 0.
. Сформировать два набора значений сигнала при < 0
Например, при
имеем () cos(2 / )zj j N.
11. Выполнить для каждого из сформированных наборов значений
сигнала дискретное преобразование Фурье (FFT).
12. Для каждого из наборов заполнить таблицу.
ˆ
)
Амплитуда,
m Re( z )
Re(
ˆ
)
z
Im(
ˆ
z
z
Фаза, φ
В таблице необходимо отразить только те частоты, на которых от-
личны от нуля амплитудный или фазовый спектр.
13. Провести анализ амплитудного и фазового спектра: определить
число частот, которые присутствуют в исследуемом сигнале, установить величину смещения гармоник по фазе.
14. Задать N = 512 отсчётов сигнала
где
и при
0, 1jN
0
Например, при
. Сформировать два набора значений сигнала при
> 0.
1A имеем () cos(2 / ) 1zj j N.
0
() cos(2 / )zj A j N ,
0
< 0
0
15. Выполнить для каждого из сформированных наборов значений
сигнала дискретное преобразование Фурье (FFT).
84
16. Для каждого из наборов заполнить таблицу.
ˆ
z
)
Амплитуда,
m Re( z )
Re(
ˆ
)
z
Im(
ˆ
z
Фаза, φ
В таблице необходимо отразить только те частоты, на которых от-
личны от нуля амплитудный или фазовый спектр.
17. Провести анализ амплитудного и фазового спектра: определить
число частот, которые присутствуют в исследуемом сигнале, установить величину смещения сигнала относительно оси абсцисс.
18. Задать N = 512 отсчётов зашумлённого сигнала вида
()zj
cos(2 / ) 0, 01cos(2 / )jN jN . Сформировать два набора значений
сигнала при N / 4 <
Например, при
< N / 2.
200
имеем сигнал вида () cos(2 / )zj j N
0,01cos(2 200 / )jN.
19. Выполнить для каждого из сформированных наборов значений
сигнала дискретное преобразование Фурье (FFT).
20. Для каждого из наборов заполнить таблицу.
ˆ
z
)
Амплитуда,
m Re( z )
Re(
ˆ
)
z
Im(
ˆ
z
Фаза, φ
В таблице необходимо отразить только те частоты, на которых от-
личны от нуля амплитудный или фазовый спектр.
21. Провести анализ амплитудного и фазового спектра: определить
число частот, которые присутствуют в исследуемом сигнале, найти высокочастотные шумовые компоненты сигнала и обнулить их коэффици-
ˆ
енты
в DFT.
z
22. Вычислить IDFT от модифицированного результата DFT (с обнулёнными шумовыми компонентами). Изобразить на одном графике
исходный набор значений и результат фильтрации после IDFT. Графики
должны быть непрерывными, используйте сплайны.
23. На языке программирования С++ реализовать алгоритмы кратномасштабного анализа на базе вэйвлетов Шеннона и Добеши (D6).
24. Задать N = 512 отсчётов сигнала
85
0, 0 127,
n
sin , 128 255,
( ) 0, 256 383,
zn n
n
sin , 384 447,
0, 448 511,
128
128
128
128
n
n
n
n
где
1, 5; 1, 9
,
2,3
.
25. Выполнить 4-этапный кратно-масштабный анализ этого сигнала:
привести графические изображения скалярных произведений
z
2,,k
z
,
3,,k
z
,
4,,k
и
z
. Проанализировать эти гра-
4,,k
z
1,,k
фики при использовании вэйвлетов Шеннона и Добеши (D6).
26. Выполнить частичное восстановление сигнала на каждом из эта-
пов:
ного восстановления
()Pz , 2()Pz ,
3
()Pz
. Дополнительно привести результат пол-
1
()P z и ошибку восстановления
0
()EzP z .
0
Проанализировать эти графики при использовании вэйвлетов Шеннона
и Добеши (D6).
,
86
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Березин И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков. – М.,
1966. – Т. 1. – 632 с.
2.
Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович,
И.А. Марон. – М., 1966. – 638 с.
Баландин М.Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности /
3.
М.Ю. Баландин, Э.П. Шурина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. – 70 с.
4.
Рояк М.Э. Программирование вычислений: учебное пособие / М.Э. Рояк,
С.Х. Рояк. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. – 60 с.
5.
Писсанецки С. Технология разреженных матриц / С. Писсанецки. – М.:
Мир, 1988. – 410 с.
Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы: моно-
6.
графия / В.А. Василенко. – Новосибирск: Сибирское отделение изд-ва «Наука»,
1983. – 215 с.
7.
Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций; Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов,
В.Л. Мирошниченко / под ред. Н.Н. Яненко. – М.: Наука, 1980. – 352 с.
8.
Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам; пер. с англ. /
К. Де Бор. – М.: Радио и связь, 1985. – 304 с.
9.
Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов / В.И. Крылов. – М.:
Наука, 1967. – 500 c.
Фрейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М. Фрей-
10.
зер. – М.: Бином, 2008. – 490 с.
87
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Погрешность результата
Равенство вещественных чисел ........................................................................... 4
Особые ситуации .................................................................................................. 5
2. Аппроксимация функций ................................................................................. 6
Кусочно-полиномиальная интерполяция. Сплайны .......................................... 7
Кубический интерполяционный сплайн ............................................................. 7
Значение сплайна в произвольной точке .......................................................... 11
Аппроксимация по МНК .................................................................................... 12
Сглаживающий сплайн ....................................................................................... 22
Практическое задание по теме «Интерполяционные
и сглаживающие сплайны» ................................................................................ 23
3. Численное интегрирование ............................................................................ 25
Метод прямоугольников .................................................................................... 27
Семейство формул Ньютона–Котеса ................................................................ 29
Метод трапеций .................................................................................................. 29
Метод парабол (метод Симпсона) ..................................................................... 30
Квадратуры Гаусса.............................................................................................. 32
Правило Рунге. Уточнение по Ричардсону....................................................... 39
Практическое задание по теме «Численное интегрирование» ....................... 41
4. Дискретное преобразование Фурье .............................................................. 42
Интерпретация частотного базиса Фурье ......................................................... 48
Амплитудный и фазовый спектры в DFT ......................................................... 50
Быстрое дискретное преобразование Фурье .................................................... 55
Преобразования, инвариантные относительно сдвига .................................... 58
.................................................................................. 3
88
5. Вэйвлеты на множестве .................................................................................. 61
Вэйвлет-базис первого этапа ............................................................................. 62
Фазы анализа и синтеза ...................................................................................... 65
Вэйвлет-базисы: итерационный этап ................................................................ 67
Алгоритм построения вэйвлет-базиса ............................................................... 72
Построение вэйвлет-фильтров ........................................................................... 72
Примеры вэйвлет-базисов .................................................................................. 73
Кратномасштабный анализ ................................................................................ 78
Практическое задание по теме «Дискретное преобразование Фурье
и дискретное вэйвлет-преобразование» ............................................................ 83
Библиографический список .................................................................................. 87
89
Иткина Наталья Борисовна
Марков Сергей Игоревич
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка Л.А. Веселовская
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
__________________________________________________________________________
Подписано в печать 27.05.2022. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз.
Уч.-изд. л. 5,34. Печ. л. 5,75. Изд. № 50. Заказ № 187. Цена договорная
__________________________________________________________________________
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
ЧАСТЬ 1
Учебное пособие
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]