Численные методы. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Пусть отрезок [,]ab разбит на сегменты



x



P



f



1kx

а б

(см. рис. 6, а). При этом ρ() 1x  ,

1,kn

Рис. 6. Кусочно-квадратичное интерполирование (а)

и локальный сегмент длины



Путём замены переменных любой отрезок резку

/2, /2hh



, как показано на рис. 6, б. Восстановим уравнение па-

раболы, которая аппроксимирует функцию

bx c, тогда

2

(0) (0)

cf

3

Ph a b c fh

3

,

Ph a b cfh

( / 2) ( / 2)

3

2

(/2) (/2)

hh

42

hh

42

,

x

с длиной

1

kk



() /2, /2fx С hh

h (б)

,

x



kk



приводится к от-

1

()fx . Пусть

hx

kk

4



()Pxax

3

,

.

2

откуда

2 ( /2) 2 (0) ( /2)fh f fh

 



a



2

h

,

( / 2) ( / 2)fh f h

b





h

.

Каноническая формула метода парабол имеет вид

/2 /2

hh

() () ()

xdx P xdx h



/2 /2

hh



h

( / 2) 4 (0) ( / 2) ( ),



6



hffh h  

3

31

(43)

где δ()h – остаточный член (погрешность аппроксимации)



x

5

h

(4)

hf 

() ()

,

2880

/2; /2hh 



. (44)

В сумме по всем сегментам получим общую квадратурную формулу метода парабол (метод Симпсона)

b

fxdx f

() ( )



a



1

62



где

iii

() () 4 ( ) ( ),

 

hf a h f b hf h h f x



11

Ni iii



,

x



.

1



  

NN



11

ii



5

N

h

(4)

i



2880

1

i





xx



1

ii



 

i



1



(45)

Замечание. Квадратурная формула парабол (метод Симпсона) имеет третий порядок точности и четвёртый порядок аппроксимации.

Замечание. Аналогично строятся другие квадратурные формулы семейства Ньютона–Котеса. При чётных степенях интерполирующего полинома происходит повышение порядка аппроксимации.

КВАДРАТУРЫ ГАУССА

Для квадратурной формулы (29) необходимо найти такие коэффициенты

и узлы



i

, чтобы она обладала m-свойством для многочлена

i

максимальной степени.

Любой отрезок

2( )

xa







ba

1

можно привести к отрезку [–1, 1].

[, ]ab с помощью замены переменных 

Предположим, что нам удалось построить квадратурную формулу

m

по n точкам, которая является точной для полинома

()

fq

 

k



k

сте-

k

0



пени m. Тогда

32

11 1

f

() () () 1 ()

fd qd q d

       

 

11 1

 

Для удобства обозначим

уравнений относительно

m



k

0



mn

q





kii

01



ki

1

μρ()



k





1



и



i

m

kk





k

0



k

. (46)

k

d

. Из (46) получаем систему

1,in

0,km



    

12 0

     

11 1 2 1

... ,

n

... ,

nn

(47)

...

mm m

     

11 12

Система (47) содержит совместной только в том случае, если

... .

nn m

1m  уравнений, 2n неизвестных и является

21mn.

Замечание. Максимальная степень точности квадратур Гаусса

21n  , где n – число узлов квадратурной формулы.

Известно, что по n точкам можно построить интерполяционный полином Лагранжа степени

()g – интерполяционный полином Лагранжа степени 1n  , ()v  –

где полином степени

.

n

Потребуем, чтобы

1n  , тогда

() ()()

gv  , (48)

1

ρ() ()() 0gvd







1

. Тогда квадратурная фор-

мула примет вид

1

() ()() ()() 0

gd gv

      



1





i

n

i

1



. (49)

Остаточный член квадратурной формулы (49) равен 0, значит, она является точной для любого многочлена степени

33

21n  .

Замечание. Квадратура Гаусса будет построена, если удастся

x

f

1

()()

найти такие



, что

i

() 0

v 

i

   

и

ii





1

ld

0,in

. Здесь

базисные полиномы Лагранжа.

Введём в рассмотрение полиномы Лежандра

n

1

d

2

Пример.

() 1P 

0

() ( 1)

P

  

n

,

()P 

1

(2 )!!

n

,

n

d



P  

() (3 1)

2

n

. (50)

1

2

и т. д.

2

Утверждение. Полиномы Лежандра ортогональны на отрезке [–1, 1] любому многочлену степени m < n.

Утверждение. Полиномы Лежандра n раз меняют знак на отрезке [–1, 1].

Утверждение. Полиномы Лежандра имеют n различных вещественных корней на [–1, 1].

Если в качестве

()v  выбрать полиномы Лежандра, то каноническая

формула квадратур Гаусса определится как

1

() ()



1



ld

   

где

ii

Пусть отрезок

hxx



(1)

h





2



1kkk

x

k

1

() ( )

fd f

  



1



;

– корни полинома Лежандра.



i

,ab

разбит на сегменты



. Выполним обратную замену переменных

1,kN

. Квадратурная формула метода Гаусса примет вид

1



b

xdx h

() ( ) ( )



a

Nn

1





2

ki



n





ii

i

1



xOh



kiik

11

(51)

,

x

1

с длиной



kk



n

2

,

, (52)

()

l 

i

–

34

(1)

x



x

h



ki

где



,1

ik k

2

в систему координат сегмента

x

– узлы квадратурной формулы, переведённые



,

x



kk

1



Погрешность аппроксимации квадратур Гаусса

21 4

n

N

 



1

k







() (!)

hn

k

3

(2 )! (2 1)

nn



f

(2 )

n

()

k

.

1,kN

,



,

kkk

x



1



. (53)

Пример. Рассмотрим класс непрерывных функций

торых

ρ() 1x  . Построим квадратуру с одним узлом (Гаусс – 1). Так как

()P 

1

, то на [–1, 1] существует один корень

ный полином состоит из одного слагаемого

0

1

() 1l  при любых пере-

,Cab



. Интерполяцион-

менных ξ. Значит,

11

() 1 2ld d

1



11



разбит на сегменты

(1)

hxx

 

11

kkk

22



.

,

x



1

kk



0

1



,

с длиной

Пусть отрезок

hxx





1kkk

   

,ab



. Заметим, что при

1,kN



xx

kk

1, 1

получаем квадратурную формулу метода Гаусс – 1

b

fxdx h f hf

() 2



a

1



22 2

1

NN

 

kk

11 1

ki k

 

 



xxx



11



kk kk



. (54)

Замечание. Квадратурная формула Гаусс – 1 совпадает с методом прямоугольников.

Пример. Рассмотрим класс непрерывных функций

торых

P  

ρ() 1x  . Построим метод Гаусс – 2 с двумя узлами. Так как

1

() (3 1)

2

, то на [–1, 1] существует два корня

2

,Cab



1/ 3

1,2

, для ко-

.

35

Интерполяционный полином состоит из двух слагаемых с базис-

x

f

x

f

x

ными многочленами

31

()

l

 

1

 

2



()

l

,

3

1

31

 

 

2

3



,

значит,

Пусть отрезок

hxx





  

11





1kkk

1,kN

1

() 1ld



1

,ab

разбит на сегменты

,

. Квадратурная формула метода Гаусс – 2 примет

1



1



() 1ld

  

22



.

,

x

1

kk



с длиной

вид

где



i

b

 

() ( )



a

(1)

h



ki



,

1

ik k

,1

2

1

dhfx



2

x

при



2

N



kiik

11

ki



1,2

, (55)

,

.

1/ 3

Замечание. Для реализации общего алгоритма численного интегрирования квадратурные формулы удобно строить на каноническом отрезке [–1, 1]. Тогда весь алгоритм будет сведён к реализации процедуры вычисления суммы вида

b

xdx h

() ( )



a

Nn

1





2

ki



kiik

11



x

,

где

h



,1

ik k

1





ki

x

2

,

– узлы квадратурной формулы.



i



Все рассмотренные методы можно свести в табл. 1.

1

6

Пример. Вычислить

dx

. Предположим, что мы не желаем строить



0

сеточное разбиение отрезка [0, 1]. Тогда нужно выбрать из табл. 1 такую

6

схему, которая является точной для полинома

36

.

Таблица 1



Квадратурные формулы на отрезке

 Веса i

Схема интегрирования Гаусс – 1 (метод прямоугольников) 0 2 Гаусс – 2

Гаусс – 3

Узлы

1/ 3

0 3/5

i

1

8/9 5/9

326/5/7



Гаусс – 4

326/5/7



0

1

5210/7



Гаусс – 5

Метод трапеций Метод парабол

(Симпсона)

Схема Гаусс – 4 точна для полиномов до 7-й степени включительно:

18 30 / 36 



1

18 30 / 36 



4

1

fxdx fx

Получаем

Пример. Вычислить

схемы интегрирования.

() 1 ( )



0

,

3,4

1

  

2

1



0

18 30 / 36 



2

(1)/2

x 

,1

ii

4



1

i



x

edx

с точностью ε = 0.01. Обосновать выбор

3

1

5210/7



3

1

0

1

,

1,2

326/5/7 



ii

0,14.

,1

18 30 / 36





18 30 / 36



3

326/5/7 



.





128/225

322 13 70



900

322 13 70



900

1

4/3 1/3

18 30 / 36 

,

37

Решение. Погрешность аппроксимации определяется величиной

x

f

остаточного члена квадратурной формулы.

Порядок аппроксимации квадратурных формул

Схема Вид остаточного члена

3

N

Метод прямоугольников

Метод трапеций

Метод парабол (Симпсона)

Квадратуры Гаусса

n точкам)

(по

N



1



k



h

k

f



24

1



k

3

N

h

k

f



12

1



k

5

N

h

k



2880



k

1

21 4

n



() (!)

hn

k

3

(2 )! (2 1)

nn

Пусть N – число сегментов разбиения;

точка сегмента разбиения. Функция





()





()

(4)

f

()



k



k

(2 )

n

()

f



k



kkk

()

xe

на отрезке [0, 1] имеет

Порядок

точности

1 2

3 4

2

n – 1 2n

,

x



1



Порядок

метода

– внутренняя

ограниченные производные, так как

()

max ( ) max

xx



Если

и

M  . При h = 1 схемы методов средних прямоугольников и трапе-

mx

xee

[0,1] [0,1]

> 0, то

h

k



N

M

hh





k

1



k

и

xx

, где h – длина отрезка интегрирования

() 0

min ( ) min 1



mx

fx ee

[0,1] [0,1]



.

ций не дадут требуемой точности, так как для метода средних прямоугольников и метода трапеций имеют место оценки

3

N

11

24 24 24

h

k



fe





k

1



() 0,11

k

11

,

12 12 12

3

N

h

k



fe





k

1



() 0,23

k

.

Для этих схем требуется измельчение шага интегрирования, что яв-

ляется не самой лучшей стратегией (увеличивается число действий).

38

При h = 1 схемы методов парабол и Гаусс – 2 дадут требуемую точ-

x

f

ность, так как для схемы Гаусс – 2 при n = 2

21 4

n

1116

33

(2 )! (2 1) (2 )! (2 1)

nn nn

 



N





1

k





() (!)

hn

k

n

(2 )

() 6,29 4

fee



k

69120

и для метода Симпсона

5

N

11

2880 2880 2880

h

(4)

k



k

fe

( ) 9,44e 4

1



k

.



Применим квадратурную формулу по схеме Гаусс – 2:

где

1

x

edx h x x



0

1/ 3

1,2

Nn

11



 

22

ki i

 

,



exp exp

ki iki i ii

11 1

1

и

1,2

,1

ik i k

() ()

 

,,1

h

 



2

(1)



ki

2

,

x

.



Округлим результат так, чтобы абсолютная погрешность прибли-

жённо равнялась 0,01:

1

x

edx e e





0

xx



1

 

2



1/ 3 1/ 3

 

,1 ,1

ii

1 1 1,71



.

Оценим абсолютную погрешность вычисленного интеграла. Так как

1

x

edx e



0

1

, то

1 1,71 0,008e   

.

ПРАВИЛО РУНГЕ. УТОЧНЕНИЕ ПО РИЧАРДСОНУ

Пусть

*

– точное значение интеграла

I

приближённое значение с шагом

*

hk km

IIChOh

где формулы,

()C С h – константа, k – порядок аппроксимации квадратурной

m   определяется остаточным членом.

 

39

b



a

0h  , тогда



()

xdx

h

,

– вычисленное

I

, (56)

Для сетки с шагом h/2 имеем

R

kkm

hh

*/2

h

II C O

 

   

22

 



 

 

, (57)

Вычтем из (56) равенство (57), получим

k

h

hh k km

/2

 

IIC Oh



(2 1) ( )



2





, (58)

откуда

k

/2

hII



COh



2



hh





k

21



km



()

(59)

Из (57) с учётом (59) можно вывести правило оценки погрешности

по Рунге

/2

hh

II

*/2

hkm

II Oh

 



k



21



()

, (60)

На вложенных сетках (h, h/2, h/4 …) оценка порядка аппроксимации

метода из соотношения (60) имеет вид

/2

hh

II

log 1

k



2



*/2

h

II



. (61)

Из правила Рунге можно вывести уточнение по Ричардсону

/2

hh

II

/2

hkm

II Oh

 



k



21



()

. (62)

Замечание. Применимость правила Рунге имеет ограничение. Погрешность должна падать хотя бы в первой значащей цифре при вычислениях на вложенных сетках. Это условие эквивалентно требованию

2/2

hh

1

II

10,1,



2



kh h

II

/2



или

40

II

k

210,1

II

/2

hh



2/2

hh





. (63)