Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Численные методы. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
07.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
5. ВЭЙВЛЕТЫ НА МНОЖЕСТВЕ
T
Рассмотрим вектор сигнала ются координатами в евклидовом базисе
11 1ze e e. В базисе Фурье его координаты – это вектор
123
ˆ
z
(3, 0, 0)
(1 , 1, 1)z
евклидовом базисе
ˆ
 z
(1 , , )
T
. Зададим возмущение первой компоненты данного вектора
T
. Изменению подвергается только первая координата в
(1 ) 1 1  zeee. В базисе Фурье имеем
T
.
(1, 1, 1)z
123
, компоненты которого явля-
N
, , ...,
ee e

12
N
, т. е.
Евклидов базис является хорошо локализованным в пространстве, а базис Фурье хорошо локализован по частотам. Свойство локализации означает, что только малое число компонент базисного вектора отлично от нуля при соответствующей характеристике (например,
e имеет
1
только первую ненулевую координату).
Возмущением может быть движение руки человека в видеоизобра­жении в то время, когда сам человек стоит на месте. При использовании преобразования Фурье для анализа такого сигнала малое возмущение влияет на весь спектр частот. Это негативно сказывается на сжатии дан­ных и скорости их передачи. Вэйвлет-
базисы характеризуются хорошей
локализацией как по пространству и времени, так и по частотам.
Вэйвлет (англ. wavelet – небольшая волна) – функция, отличная от нуля на малом промежутке, позволяет анализировать различные ча­стотные компоненты данных с привязкой к пространству или времени. Дискретное вэйвлет-преобразование в отличие от непрерывного ис­пользует базисные векторы на множестве
, которые хорошо локали-
N
зованы в частотной и пространственно-временной области.
61
ВЭЙВЛЕТ-БАЗИС ПЕРВОГО ЭТАПА
R
Пусть с помощью сдвигов, т. е. векторы
N
– вектор, порождающий ортонормированный базис
w
10N
R

k
1, 0,
k
ww
,
R
k
0, 1, 1.
kN
такие, что
w
k

Ортонормированные базисы характеризуются условием
ˆ
() 1n w
n . (99)
N
Вычисление коэффициентов разложения исходного вектора сиг­нала
z по ортонормированному базису реализуется как дискретное ска-
лярное произведение, сравните с формулой (76):
– оператор свёртки;
где
Замечание. и
()kzw
,()
kk
w
() ( ) ( )nnNn ww w
,()
,kRzw
.
– сопряжённое отражение вектора w:
2
lzw
k zwzw
верно, что
N
k , (100)
N
n . (101)
N
ˆˆ
() () ()nnww
Условие (99) эквивалентно локализованности базиса в простран­ственно-временной области. Частотная локализация достигается при построении вэйвлет-базиса в виде объединения сдвигов на чётные числа двух порождающих векторов.
Определение. Пусть
2
()
вого этапа в пространстве
u и v – отцовский и материнский вэйвлет соответственно.
где
l
N
BR R
vu
 
MM
22
kk
kk
,
2NM
M
. Вэйвлет-базисом пер-
называется
11

00

, (102)
Если базис (102) является ортонормированным, то вэйвлет-коэффи­циенты разложения вычисляются по формуле (100).
62
2
()
Разложение вектора сигнала
lz
по вэйвлет-базису первого
N
этапа (102) имеет вид
(/2)1 (/2)1
NN

,,

Пусть
zzvvzuu


kk
N
– вектор, порождающий с помощью чётных сдвигов
w
ортонормированный базис
RR RR
22 22
00
kk kk
1
M
R
w

2
k
, и
0
k
,
2NM
M
рованные базисы такого типа характеризуются условием
22
ˆˆ
Вэйвлет-базис первого этапа (104) в пространстве ортонормированным, если
унитарны, т. е.
Такое утверждение эквивалентно условиям
() ( ) 2nnM ww

1
()
n
A
1*
() ()nn
AA

2

.
22
ˆˆ
() ( ) 2nnM uu
0, 1nM
0, 1nM
ˆˆ
uv
ˆˆ
()()
nM nM
uv
матрицы
() ()
nn

, (106)
. (104)
l
(105)
0, 1nM
. (103)
. Ортонорми-
2
()
является
N
:
22
ˆˆ
() ( ) 2nnM vv
ˆˆ ˆ ˆ
()() ( )( ) 0n n nM nM uv u v
, (107)
. (108)
Следствие. Каждый потенциальный отцовский вэйвлет соответствующий материнский
v такой, что u и v порождают вэйвлет-
базис первого этапа (102). Они связаны соотношением
1
k
Можно выбрать вектор
2
гда
ˆ
() 0n v
и
ˆ
() (1) (1 )
kk
 vu
()2nMv
u таким, что
2
. В разложении по базису Фурье вектор
63
k . (109)
N
2
ˆ
() 2n u
и
ˆ
()0nMu
u имеет
2
, то-
1
R
R
N
nn
vvF
() ()
поскольку зация: вектор
сокочастотные компоненты.
Применение операции свёртки вать векторы u и v как низкочастотный и высокочастотный фильтры, так как оператор свёртки может обрезать различные частоты, если соот­ветствующий мультипликатор Фурье достаточно мал (см. раздел «Пре­образования, инвариантные относительно сдвига»).
Пример. Пусть
число отсчётов N = 4, поэтому M = 2. По формуле (105) составим си-
стему матриц
Столбцы каждой матрицы ортогональны, значит, матрицы явля­ются унитарными и стема
зисом первого этапа
ˆ
0
n
BRRvvu u
имеет нулевую компоненту в направлении вектора
n
2
ˆ
() 0n v
u содержит низкочастотные компоненты, вектор v – вы-
A
,,,
0, 1nM
ˆ
2,1, 0,1u


1
(0)
 
2
02

1*
() ()nn
22
является ортонормированным вэйвлет-ба-
k
. Так достигается частотная локали-
T
20
AA
,
. Согласно определению (102) си-
в формуле (100) позволяет тракто-
и
A
ˆ
(1)
0,1, 2, 1v
11

1

11
2

T
. По условию
.
F ,
n
v
2
˅
ˆ
uu
 
u
2
2, 2 2 , 2, 2 2

4
1
2, 2 2 , 2, 2 2

4
1
2 2,2,22,2


4
1
22,2,2 2,2

4
64
ii,
ii,
T
1
˅
ˆ
vv
T
T
T
,
.
ФАЗЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА
R
R
Если выбраны порождающие векторы u и v, то можно построить вэйвлет-базис первого этапа (102) и вычислить вэйвлет-коэффици-
N
енты
как дискретные скалярные произведения (100). Эта проце-
b
дура называется фазой анализа.
Замечание. Для вычисления вэйвлет-коэффициентов сигнала
N
z в базисе B потребуется
2
действий, так как формула
N
вектора
b
(100) реализует матрично-векторное произведение

zv
,
R
     
 
bUzUz
    
 
0
zv
,
R
2
...
zv
,
R
N
2
zu
,
R
0
R
zu
,
2
...
R
zu
,
N
2
          
 
zv
(0)
zv
(2)
...
zv
(2)
N

zu
(0)
zu
(2)
...

N
zu
(2)
1*
, (110)
где U – унитарная матрица перехода от вэйвлет-базиса B к евклидову базису E, столбцы матрицы перехода U – это векторы
, , ...,
RR
uu u.
22
N
, , ...,
RR
vv v,
22
N
Процедуру (110) можно ускорить, если скалярные произведения вы­числять как свёртку с помощью FFT по формуле (97). Вэйвлет-коэффи­циенты при базисных векторах
R v и 2kR u определяются в виде
2k
,(2)
2
k
kzvzv
, (111)
,(2)
2
k
kzuzu
. (112)
Вывод. Переход от евклидова базиса E к вэйвлет-базису B реали­зуется как вычисление двух свёрток по формулам (111) и (112) с отбра­сыванием нечётных индексов.
65
Определим оператор децимации (или сгущающей выборки)
D
M
M
22
() ( ):
Dl l
NM
для
()() (2)
2
()
lz
N
nnzz
0, 1nM
, (113)
где
Пример. Пусть
этому M = 2. По формуле (113) имеем
Вывод. На выходе фазы анализа получаются два набора вэйвлет­коэффициентов: высокочастотные компоненты
ные фильтров.
Из (110) следует, что по множеству вэйвлет-коэффициентов можно восстановить исходный вектор сигнала
Переход от вэйвлет-базиса B к евклидову базису E по формуле (114) реализуется как вычисление двух свёрток по двум восстанавливающим фильтрам. Такая процедура называется фазой синтеза.
Определим оператор разрежающей выборки для
,
2NM
M
()D zu
. Порождающие векторы u и v называют левым набором
2
()
lz
()()
Un
z
.
T
2,1, 0,1z

(/2), если чётное,
nn
z
0, если нечётное
. Здесь число отсчётов N = 4, по-
T
() 2,0D z

. (114)
zUb
.
()D zv
и низкочастот-
N
z как
22
() ():
Ul l
0, 1nN
n
b
N
, (115)
где
Пример. Пусть
муле (115) имеем
Утверждение.
,
2NM
M
.
T
. Здесь M = 2, поэтому N = 4. По фор-
2, 0z

T
() 2,0,0,0U z

() ()DU D Uzzz
.
.
66
BR R
p
Утверждение. Если
2
рованный базис в
l
()
N
vu
 
22
kk
,
,
2NM
M
ется восстановлением исходного сигнала
11
MM

00
kk

– ортонорми-
, то фаза синтеза заканчива-
при
tv
,
UD UD   zt zv s zu


. Векторы t и s называют правым набором фильтров.
su



(116)
Сравните восстановление (116) с формулой (103).
В прикладных задачах информативной является в основном низко­частотная компонента сигнала. Это означает, что фазу анализа можно применить к набору полученных низкочастотных вэйвлет-коэффициен­тов в базисе первого этапа. Процедура итерирования фазы анализа низ­кочастотной компоненты сигнала служит основой для кратно-масштаб­ного анализа.
ВЭЙВЛЕТ-БАЗИСЫ: ИТЕРАЦИОННЫЙ ЭТАП
На выходе фазы анализа первого этапа получены два набора вэйвлет-коэффициентов
равна величине
, нижний индекс у фильтров показывает их при-
/2N
()D zv
1
и
()D zu
1
. Длина каждого набора
надлежность рассматриваемому этапу.
Итерационная процедура строится для множества
()D zu
1
, кото-
рое содержит низкочастотные компоненты сигнала. Тогда на выходе

фазы анализа второго этапа будут два набора

и анализа для набора
до масштаба уровня p, где длина наборов составит
()DD zu u

12
длиной
()DD zu u

. Вновь продолжим процедуру фазы
/4N

12
. Рекурсивно можно спуститься
N
()DD zv v

1/2p
.
12
N
Вывод. Если исходный сигнал на
2
, то можно построить p-этапный вэйвлет-базис.
Утверждение. Пусть
без остатка делится на 2p. Последова-
N
z и
без остатка делится
N
тельностью вэйвлет-фильтров p-этапа называется последовательность
,, , ... ,
векторов
uvuv u v
112 2
таких, что для
pp
67
1,lp
матрицы
ˆˆ
y
uv
nn
A
l
n
()
1


2 ( /2 ) ( /2 )


() ()
ll
ˆˆ

uv
nN nN
ll
ll
(117)
l
унитарны
0, / 2 1
nN
,
ll
Оператор сгущающей выборки
2
()
lz
N
и
1,lp
задаётся как
ll
()() (2 )
Dn nzz
оператор разрежающей выборки
2
lz
l
N
/2
Un
и
l
()()
z
1,lp
определяется формулой
(/2), если делится на 2,
nn
z
0, если не делится на 2.
,
2
l
uv
N
.
1
l
/2
22
l
:( )
Dl l
N

/2
N
, (118)
22
l
:()
Ul l
ll
n
l

/2
N
N
(119)
l
Переопределённые операторы выборок имеют важные свойства при вычислениях
для любых
2
()
lz
N
DDU zw z w
lll
() ()()
UUU xy x y
и
,,

2
lwxy
l
N
/2
, (120)
, (121)
.
lll
() ( )
В фазе анализа первого этапа определим векторы
Dlxzv
11/2
,
N
()()
Dlyzu
11/2
2
()()
2
. (122)
N
для
l
для
Далее рекурсивно для каждого этапа с номером
2
здесь
– низкочастотные компоненты вектора
l
(*) ,
xD l
yv
lll
(*)
Dl
yu
lll
(1)
1
68
l
N
/2
2
y
l

N
/2
2,lp
, (123)
2
()
lz
.
N
Тогда в фазе синтеза каждого p-этапа имеем
p
yy
y
y
p
p
p
p
() () ,
UU

1
z
  
01111
uxv
pp pp
...
() () .
UU
uxv
(124)
Замечание. Сравните восстановление (124) с формулой (103).
Формулы (122) и (123) реализуют рекурсивные свёртки, что с точки зрения вычислений неэффективно.
Пусть фильтров p-этапа
для каждого
без остатка делится на 2p и последовательность вэйвлет-
N
, , , , ..., ,
uvuv u v
112 2
1,lp
. Положим
fg v
1
ll l
1111
1
l
()
U
такова, что
pp
, fvgu и далее
1
l
()
gg u
,
ll l
U
1
ll
. (125)
2
,
luv
Также заметим, что
1
l
()
fg v
ll l
U
1

()
gg u
,
ll l
1
l
U
1
. (126)
С учётом свойств (120) и (121) результат фазы анализа можно пере­писать как
1
l
/2
N
Вывод. Фазы анализа на разных этапах проводятся независимо. Могут быть реализованы параллельные вычисления.
На последнем p-этапе ветви фазы анализа получаются два вектора
p
Dxzf
становить димо выбрать два правых фильтра и вычислить две свёртки:
p
()
Ugy
вать вычисления одной свёртки вида
()
и
p
y
при использовании формул (124). Для этого необхо-
1p
и
p
l
Dlxzf
ll
Dlyzg
ll
p
()
Dyzg
p
()
Ufx
p
l
. По этим двум векторам можно вос-
p
. Каждая последующая ветвь будет требо-
69
2
)*(
2
)*(

Ufx
ll
, (127)
l
/2
N
. (128)
l
/2
N
l
()
,1lp
.
Фазы анализа и синтеза для p-этапного алгоритма показаны графи-
p
y
g
g
g
чески на рис. 16.
Рис. 16. Фазы анализа и синтеза:
щей выборки,
2m
– оператор разрежающей выборки
По формуле (100) выпишем компоненты векторов
ll
kN
где
() ( )() (2 ) ,
kD k k R  xzfzfzf
lll l
() ( )() (2 ) ,
kD k k R 
0,1, ..., / 2 1

pp

z
pp p
p
.
z
Вывод. Общее число компонент в векторах
2m
– оператор сгущаю-
x и
l
k
2
z
p
2
k
y
x и
l
y
l
:
p
1,lp
, (129)
, (130)
равно N. Эле-
p
менты данных векторов – координаты разложения исходного вектора сигнала z по ортонормированному базису B, порождённого векторами
,,.. )., ( :,
12
pp N
2
lff f g
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности