Численные методы. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

/2 1 /4 1

p



NN

BR R

ff

  

21 42

kk

... .

RR

fg

pp

  

22

kk



00

kk



pp

/2 1 /2 1

NN



pp



00

kk

...

(131)

Формула (131) задаёт p-этапный вэйвлет-базис пространства

2

()

l 

, если B – ортонормированное множество. Ортонормирован-

N

ность данной системы векторов следует из теоремы.

Теорема. Пусть

1

l



/2 1

N

и

R

g

1

l





2

1

l



k



0

k



ментов. Предположим, что

тарны. Рекурсивно определим

ll

/2 1 /2 1

NN

Тогда

из

RR

ll

  

22

kk

1/2lN

элементов.



ll

fg

00



kk

без остатка делится на 2l,

N

– ортонормированное множества из

2

,

l

uv 

ll



N

fg v

ll l

U

1



и матрицы (117) уни-

1

l



/2

1

l



()

gg u

и

ll l

– ортонормированное множество

1

lN

N

U

1



2

()

lg 

1/2l



эле-

1

l



()

.

Вывод. Всякое подпространство, порождённое сдвигами вида

12lR

некоторого вектора, можно разбить на два ортогональных подпространства, которые порождены сдвигами вида

R

другого вектора.

l

2

В литературе для определения вэйвлет-базиса принято использовать следующие обозначения базисных элементов:

 f

R

,

jk j



2

 g

,

j

k

R

,

jk j



2

. (132)

j

k

В этих обозначениях p-этапный вэйвлет-базис, порождённый векторами

,,.. )., ( ,,

12

2

lff f g 

pN

B

  



... .

  (133)

 

имеет вид

/2 1 /4 1

NN



1, 2 ,

kk



00

kk



pp

/2 1 /2 1

NN



,,

pk pk



00

kk



...

71

Элементы данного ортонормированного базиса называются вэйвле-

p

тами на множестве

 .

N

Замечание. Отрицательные нижние индексы в (133) – классическое обозначение, которое показывает, что при движении индекса к нулю возрастают соответствующие подпространства. Очевидно, что

2

()

p = 0 мы получим

при

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ВЭЙВЛЕТ-БАЗИСА

l 

.

N

Пусть дан исходный вектор сигнала

2

лится на

Построим p-этапную последовательность вэйвлет-фильтров

1.

, , ..., ,

uv u v

22

.

так, что системные матрицы (117) являются унитар-

pp

N

z  и

без остатка де-

N

ными.

, , ..., , , , ...,

Построим векторы

2.

Определим вэйвлеты

3.

Коэффициенты разложения вектора сигнала базису находятся как свёртка по набору фильтров

ff f gg g

12 1 2



pp



и

,jk

по формулам (132).

,jk

по формуле (125).

z по данному вэйвлет-

 

, , ..., ,

ff f g

12



p

. Вос-

становление вектора сигнала реализуется как свёртка по набору фильтров

12

(см. рис. 16).

pp

ПОСТРОЕНИЕ ВЭЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ

, , ..., ,

ff f g

Построим p-этапную последовательность вэйвлет-фильтров

, , , , ..., ,

uvuv u v

112 2

,uuvv.

11

Теорема о наложении. Пусть

2

),(

11

luv 

. Определим векторы

N

на базе отцовского и материнского вэйвлета

pp

без остатка делится на 2,

N

2

(),

22 /2

luv 

с периодом

N

/2N

и их дискретные преобразования Фурье:

() () ( /2), ( ) (2 ),

nnnN m m

 

uuu u u

где

,0,/21mn N

211 2 1

() () ( /2), ( ) (2 ),

nnnN m m

 

vvv v v

211 2 1

.

72

ˆˆ

(134)

Пусть N без остатка делится на 2l, торы

где

,

luv 

ll

() , () ,

uu vv

ll

,0,/21

mn N



2



21 21

nnnn

 

uu vv

l



и их дискретные преобразования Фурье:

1

l

N

/2

11

ll





11

00



kk

ˆˆ ˆˆ

() (2 ), () (2 ),

mmmm



ll

1

.

kN kN

   

ll

22

 



ll

11



11

luv 

. Определим век-

N

(135)

2

),(

Замечание. Дискретное преобразование Фурье элементов

,

вэйвлет-базиса, построенного по набору фильтров

jj

ˆ

uu u u v

,0

j



ˆ

uu u u u

,0

j



ˆˆ ˆ ˆ ˆ

nnnn n n

() ()(2)(4)...(2 )(2 )

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

nnnn n n

() ()(2)(4)...(2 )(2 )

j

22/

im k N

ˆˆ

 

() ()

,,0

jk j



ˆˆ

 

 

,,0

jk j





me m

j

22/

im k N



me m



jj



uv, имеет вид

ll

21

, (136)

, (137)

, (138)

. (139)

ПРИМЕРЫ ВЭЙВЛЕТ-БАЗИСОВ

Система Хаара определяется родительскими вэйвлетами

u

1



22



11



, , 0, 0, ..., 0



По формуле (135) имеем

N

при

n

21

 

2

при

21

N

n

 

2

. По аналогии

1

l



. По формулам (125) находим

1

l



T



v

,

1

ll

(0)

l

73

11



, , 0, 0, ..., 0



22



(0) (1)

uu

1

,

v

2

v

(1)

l

T

1

и () 0

2

1

и () 0

2

. (140)

n u

l

n v

l

/2 1

ll





2 , 0,1,..., 2 1,



f

( ) 2 , 2 , 2 1,..., 2 1,

nn

l

g

l



   

 

0, 2 , 2 1, ..., 1,







2 , 0, 1,..., 2 1,



()

n





0, 2 , 2 1, ..., 1,







n

/2 1 1

lll l

ll

 

nN

/2

ll



n



ll

nN

 

где

1,lp

. Тогда элементы вэйвлет-базиса имеют вид

/2 1

lll ll





2, 2,2 1,...,2 2 1,



   

,

lk





,

lk



0,1, ..., / 2 1

kN



() 2, 22,221,...,221,

nnkk k

 

0, 0, 1, ..., 2 1, 2 2 , ..., 1,









2 , 2 , 2 1, ..., 2 2 1,



()

n



0, 0, 1,..., 2 1, 2 2 , 2 1, ..., 1,





Для построения

nkk k

/2 1 1

lllll ll



nkkN

/2

lll ll

nkk k



nkk N



l

.

вэйвлетов Шеннона используют выражения

для DFT вэйвлет-фильтров:



2, при 1,



()

l

()

l



n



 

0, при 01 и 1,







2, при 01 и 1,



n



 

0, при 1,





ˆ

v

ˆ

u





NN

ll

22

   

NN

ll



22

lll

llll

3

n

 

11



(141)

NNN

nn

111

lll



222

NNN

nn

111

lll



222

3

n

 

11

3

(142)

где

1,lp

.

74

DFT элементов вэйвлет-базиса определяются как

j

 

2, 1 и 1,

 

ˆ

 

,0

l





nn nN

() 0, 0 1,

 

NN N N

/2

l

nNnN

     

11

ll l l



22 2 2

NN N

1

ll l



22 21



  



и 1,

N

NnN



1

l



2



/2

l

2, 0 1 и 1,



ˆ



,0

l





n

()

 

0, 1.





NN

ll

22

NN

    

nNnN

11

ll



22

  

nN

11



Замечание. Вэйвлеты Шеннона хорошо локализованы по часто-



там: вектор вектор



2,0ˆ

вплоть до вектора

1/2pN

наименьших частот. То же самое касается их сдвигов



и

, которые вычисляются по формулам (138) и (139).

,ˆpk

Вэйвлеты Добеши на

отличен от нуля только для

1,0ˆ

отличен от нуля только для



, который равен 0 всюду, за исключением

,0ˆp

 в отличие от базиса Шеннона лучше лока-

N

лизованы в пространстве. Предполагается, что

2

()

построить отцовский вэйвлет

вить материнский вэйвлет

2

()

Выберем вектор

lu 

2

()

lv 

так, чтобы в нём отличны от нуля были

N

и по формуле (109) восстано-

N

.

N

наивысших частот,

/2N

наивысших частот,

/4N

p

/2 6

N 

. Необходимо

ˆ



,

только первые шесть компонент (такой вэйвлет-базис Добеши обозначается как D6). Предположим, что

.

2NM

k

75

Рассмотрим







cos sin 1

 

nn



 

22



 

NN

 

5

.

Раскроем скобки

cos 5 cos sin 10cos sin 10 cos sin

  

   

NN N N

   

nnn



  

28 10

5cos sin sin 1.

 

  

NNN

  

nn n n

  

   

10 826446

Введём обозначение

nn n

 

  

10 8 2 6 4

bn

Так как

и аналогично

()bn M

cos 5 cos sin 10 cos sin

 



sin cos



  

NN N

  

()

nM n n

   

 

cos 2 cos sin

 

NNN

 

()

nM n

 

 

NN





46

10cos sin

 



nN

NM

  



, то

nn n

 

  

28 10

5cos sin sin

  

NN N

  

2



.

2

ˆ

Значит,

рует выполнение условия (106), т. е.

() ( )bn bn M = 1. Выберем

ˆˆ

ˆ

( ) 2 cos 10 sin

ne

u





i



  

5210cos sin



5/ 2 2

in N



 

NN

 



 

NN



76

() 2()nbnu

22

() ( ) 2nnM uu

nn



. Это гаранти-

. Имеем

.

Применим тождество Эйлера и перепишем

3

,

T

   

где

110a 

Таким образом,

2



32

2

24/ 2 /

inN inN

ˆ

() 1

ne e

u

ab c

 

24 4



bcabc

2/ 2/ 2/ 2/

inN inN inN inN

 

ee ee



,

110b 

ˆ

() ()

nne

uu

(0), (1), (2), (3), (4), (5), 0, ..., 0uu uu u u u



,2 3 3 ,

8

,

5





k



0

 



5210c 



2/

.

ikn N

, при коэффициентах

642,642,abcabc  233,abc

, 0, ..., 0bc

T

.



По формуле (109) материнский вэйвлет имеет вид

(1), 0 , 0, 0, ..., 0, (5), (4), (3), (2)  vuu uu uu



T

.

С помощью теоремы о наложении можно построить p-этапную по-

, , , ... ,

следовательность вэйвлет-фильтров цовского и материнского вэйвлета

uvuv u v

112 2

,uuvv.

11

pp

на базе от-

Замечание. Следует отметить, что ни один из существующих вэйвлет-базисов не является лучшим для обработки всех типов сигналов. Выбор конкретного вида базисной вэйвлет-системы должен определяться на этапе анализа задачи и учитывать её специфику. Это вновь подтверждает главный постулат вычислительной математики: нет универсальных методов решения всех задач,

под каждую задачу должен

разрабатываться специальный алгоритм решения.

77

КРАТНО-МАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ

p

j

2

()

Пусть дан вектор исходного сигнала лится на

2

. Необходимо выбрать отцовский и материнский вэйвлет

и построить p-этапный вэйвлет-базис с элементами

lz 

и N без остатка де-

N





и

,jk

по

,jk

формулам (132).

Фаза синтеза на выходе содержит множество коэффициентов разложения исходного вектора сигнала по вэйвлет-базису. Множество

z

1,,k

z

,

, …,

2,,k

,

z

показывает локализацию высоко-

,

k

частотных компонент сигнала. Множество

,

z

нала. Здесь

показывает локализацию низкочастотных компонент сиг-

,

k

0,1,..., / 2 1

kN,

j

1,jp

– номер уровня.

Частичное восстановление сигнала на уровне

2

()

,

j

/2 1



0



k

lz 

N



,,

jk jk

ортогональная проекция вектора

j

/2 1

N

нутое на элементы





,

jk



P





0

k



N

() ,



zz

Подробности восстановления на уровне

нальной проекции вектора

j

/2 1

N

на элементы





,

jk



0

k



Q



lz 

,

N

() ,



zz

k

на подпространство, натянутое

N

j

/2 1





0



,,

jk jk

2

()

Тогда приближение сигнала на уровне

z

1,,k



z

,

2,,k

, …,

реализуется как

на подпространство, натя-

.

1j содержатся в ортого-

.

1j имеет вид

() () ()

PPQ

  

zz z

1

jjj

.

78

В качестве примера зададим N = 512 отсчётов сигнала

0, 0 127,

 

n



sin , 128 255,

 

( ) 0, 256 383,

zn n



 

n



sin , 384 447,

 

0, 448 511.





128



128

1,7

2

n



n



n



n



На рис. 17 представлен график данного сигнала, точками показаны компоненты вектора

()zn .

Рис. 17. Исходный вектор сигнала

()zn

Для кратномасштабного анализа будут использованы базисы Хаара, Шеннона и Добеши (D6) от первого до четвёртого этапа. Ниже показаны высокочастотные и низкочастотные вэйвлет-коэффициенты, а также восстановленный сигнал на каждом из четырёх этапов. С каждым последующим этапом ослабевает высокочастотная компонента сигнала. Наилучшей локализацией в пространстве обладает базис Добеши. Система Шеннона

позволяет точно оценить частотную локализацию сиг-

нала.

На рис. 18–20 показано вэйвлет-преобразование сигнала z(n) по базисным системам.

79

сигнал

Восстановленный

Низкочастотные

вэйвлет-коэффициенты

Высокочастотные

вэйвлет-коэффициенты

80

Рис. 18. Базисная система Хаара

Этап

1

2

3

4