Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
На отрезке [2, 3]:
x
x
x
сегмента
как
,
()gx
23
1h – длина сегмента,
2
2
25
12
1
22
, то получаем два уравнения:
3, [2,3],
xx
0, [2, 3],
x
2x – начальная точка
2
2
2
2, [2, 3]
xx
0, [2, 3]
x
. Так
222 2
23
121 1
, , f
,
222 2
23
122 2
, , f
.
После раскрытия скобок
222
22 22 2
23
iii
23
() () () () () ()
ii ii ii
11 21 1
111
222
22 22 2
iii
() () () () () ()
12 22 2
111
xxxfxx
ii ii ii
xxxfxx
,
.
Или в матрично-векторной форме
11
11 11
() () () () 0
ii
12
ii
xx xx
ii ii
11 21
00
1
11
() ()
11 2 2
() () () ()
xx x x
ii i i
12 21
01
0 ()() ()()
1
2
3
i
ii
1
i
0
12
ii
01
2
fx x
i
1
xx
ii
22
0
2
22
() ()
i
22
11
() ()
fx x
() () () ().
fx x fx x
() ()
xx
ii
11
1
22 22
xx xx
ii ii
12 22
1
ii
1
12
ii ii
21
2
ii
2
21
СЛАУ с учётом вклада от второго сегмента
g
f
x
x
x
x
p
020 4
001
откуда
Ответ:
1, 2, 1 .
12 3
11
12
()
gx
12
22
23
12
СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН
Потребуем гладкости функции ()
, [1,2]
x
,[2,3]
x
1100
1
2
3
,
1
, [1, 2],
xx
4, [2,3].
xx
.
x . Для этого необходимо мини-
мизировать функционал
n
Параметр сглаживания
φ (1 ) ω () () + ()
pfxgxpgxdx
ii i
i
0
задаёт компромисс между наилуч-
0,1p
шим приближением и гладкостью функции
x
n
2
x
0
2
. (28)
()gx . Функция ()gx – сгла-
живающий сплайн.
Замечание. Теперь ω
и
0p влияние компоненты ()
играют роль фильтров. При ω 0
i
x будет нивелироваться.
k
k
Процедура построения сглаживающего сплайна основана на алгоритме аппроксимации функции по МНК с дополнительным вкладом
в матрицу СЛАУ (26).
Пример. Рассмотрим вклад в матрицу СЛАУ. На сегменте
определены
k
()
1
и
k
()
, поэтому в матрицу СЛАУ входят четыре
2
x
1,kk
дополнительных слагаемых:
k
AA A
=()()
kk kk kk
1, 1 1, 1 1, 1
pxxdx
x
k
1
kk
11
22
,
h
k
k
x
p
x
p
x
p
f
=()()
AA A
,, ,
kk kk kk
pxxdx
x
1
k
kk
22
,
h
k
k
AA A
AA A
=()()
,1 ,1 ,1
kk kk kk
=()()
1, 1, 1,
kk kk kk
pxxdx
x
1
k
k
pxxdx
x
1
k
kk
21
kk
12
,
h
k
.
h
k
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ
«ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ И СГЛАЖИВАЮЩИЕ СПЛАЙНЫ»
Изучить и реализовать алгоритмы построения полиномиальных интерполяционных и сглаживающих сплайнов.
1.
Разработать подпрограмму генерации регулярных и адаптивных
сеточных разбиений произвольного отрезка
[, ]ab в зависимости от
числа сегментов разбиения и величины коэффициента разрядки r (рис. 3).
Рис. 3. Примеры регулярной равномерной и адаптивной сетки (адаптивная
сетка – каждый последующий шаг h
отличается от предыдущего в r раз)
i
2. Кусочно-полиномиальная интерполяция. Разработать класс, реализующий интерфейс кубического интерполяционного сплайна с непрерывными первой и второй производной, удовлетворяющего краевым
условиям нулевой кривизны
3.
Для набора функций
() () 0Sa Sb
.
() ,,,,sin()
xxxxx x
234
провести иссле-
дования на вложенных сетках. Для этого выбрать шаг h и построить
равномерное сеточное разбиение отрезка
[, ]ab . Получить таблицу
значений сплайна и его двух первых производных в точках, которые
НЕ совпадают с узловыми (не менее 10). Повторить данные исследования на сетках с шагом h/2 и h/4. Полученные результаты сопоставить
23
с аналитической оценкой точности сплайн-аппроксимации: если
f
f
f
1
k
() ,
xC ab
,
03k
, то для интерполяционного сплайна ()Sx
выполнено
()
() 1 ()
max ( ) ( ) max ( )
xab xab
mkmm
[,] [,]
m
xS x Ch f x
, C – const,
т. е. погрешность аппроксимации ограничена сверху величиной
1
km
()
Oh
при ограниченной m-й производной аппроксимируемой
функции. Привести величину шага h и соответствующую норму погрешности аппроксимации.
4.
Выяснить, как влияет на вторую производную сгущение сетки
к концам отрезка
Сглаживание и аппроксимация МНК. Разработать класс, реализу-
5.
[, ]ab.
ющий интерфейс сглаживающего сплайна. На каждом сегменте разбиения использовать базисную систему финитных функций первого порядка. Сглаживающий сплайн
нимизации функционала в линейном подпространстве
()gx строить как решение задачи о ми-
,:Cab
(1 ) ( ) ( ) ( )pfx gx pgx
22
22
,
где p – параметр сглаживания.
Для функции
6.
( ) sin(10 000 )
xx x
, где x – радианы, на одной
диаграмме изобразить интерполяционный и сглаживающий сплайны.
Параметр сглаживания p варьировать от 0 до 1. Использовать равномерную сетку с шагом h и h/2.
7.
Выяснить, на что влияет варьирование весовых коэффициентов
в дискретном скалярном произведении при построении сглаживающего
сплайна.
Привести выводы. Для более глубокого понимания темы рекомен-
дуется литература [6–8].
24
xf
f
x
x
x
f
x
x
f
P
f
f
3. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Квадратурной формулой называют приближённое равенство
b
() () ( )
где
ρ()
мулы;
– весовая функция, фиксированная для квадратурной фор-
()fxF – класс функций, для которого произведение ρ()()
a
интегрируемо по Риману;
xdx
– коэффициенты;
i
формулы.
()
Если
x задана дискретным набором значений, то построить
i
квадратурную формулу можно на базе алгебраического интерполирования. На отрезке
... }
1
()
x . По набору из (n + 1) точек на
xb , в опорных точках которого заданы значения функции
n
i
степени n такой, что
Выберем в качестве
[, ]ab введём сеточное разбиение 0ω {
() ()
Px fx
ni i
()
Px интерполяционный многочлен Ла-
n
гранжа, т. е.
() () ( )
xlxfx
nii
i
N
x
i
1
, (29)
ii
fx
– узлы квадратурной
i
a
определим интерполянт ()
ω
.
0,in
n
Px
n
,
0
где
()
lx – базисный полином такой, что в k-м узле сетки ()
i
Так как
() ()
xPx , то
n
n
. (30)
xlxfx
)() ( )(
ii
i
0
25
lx .
ik ik
Умножим скалярно (30) на весовую функцию ρ():x
xf
xf
x
xf
f
x
x
bb
ρ() () ρ() () ( )
aa
xdx xl xfxdx
n
i
ii
0
. (31)
Интеграл обладает свойством аддитивности, значит,
bb
ρ()() ρ() () ()
aa
xdx xl xfxdx
n
i
0
i
, (32)
откуда из формулы (29) следует, что
b
()()
ii
Замечание. В зависимости от степени полинома
lxdx
a
. (33)
0,in
реализу-
()
lx
i
ются разные интерполяционные квадратурные формулы.
Пусть
()fx – многочлен степени m. Говорят, что квадратурная фор-
мула (29) обладает m-свойством, если она обращается в точное равенство. Тогда m – порядок точности. Погрешность квадратурной формулы
вычисляется по формуле
b
() () ( )
a
xdx
i
N
1
x
. (34)
ii
Минимизация функционала (34) достигается за счёт надлежащего
выбора коэффициентов
Пусть отрезок
и узлов
i
,ab
разбит на сегменты
i
.
,
x
kk
1
1,kn
с оди-
наковой длиной h. Порядок аппроксимации (порядок метода) – это по-
рядок малости
формула имеет порядок аппроксимации k, если
k
()
oh
при 0h .
относительно длины h. Говорят, что квадратурная
– величина порядка
26
МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
f
x
x
f
x
x
x
f
f
Метод прямоугольников можно интерпретировать как квадратур-
ную формулу, в которой
интерполируется кусочно-постоянными
()
x
i
функциями.
,
Пусть отрезок
ной
hxx
и
() /2, /2fx С hh
а б
2
Рис. 4. Кусочно-постоянное интерполирование (а)
На каждом отрезке
[, ]ab разбит на сегменты
1kkk
(см. рис. 4, а). При этом ρ () 1x
1,kn
.
и локальный сегмент длины
,
x
kk
вычислим значение функции ()
1
h (б)
x
1
kk
с дли-
x
в его середине. Построим прямоугольник с длинами сторон
x
12kk
f
x
k
fxdx hf
()
x
1
k
и
hxx
kk
1
k
2
. Тогда по определению интеграла
1kkk
x
, что в сумме по всем отрезкам даёт фор-
мулу метода прямоугольников
b
()
fxdx hf
a
n
i
1
i
x
1
ii
. (35)
2
Замечание. Формула (35) реализует метод средних прямоуголь-
ников. Если выбрать
или
()
x
1
i
, то можно получить метод ниж-
()
x
i
них и верхних прямоугольников соответственно.
27
Путём замены переменных любой отрезок
x
f
f
F
f
x
к отрезку
/2; /2hh
где
δ()h – остаточный член (погрешность аппроксимации).
Определим первообразную
() ( 1)
nn
() ()
Fxf x
и
, как показано на рис. 4, б. Тогда
/2
h
() (0) δ()
xdx h
/2
h
x
() ()
x
tdt
0
. В окрестности точки
h
, (36)
и заметим, что (0) 0F
рассмотрим ряд Тейлора
0
с остаточным членом в форме Лагранжа
()
n
()
Fx
0
!
n
1
n
,
23
где
() () ()( )... ( )
Fx Fx F x x x x x
,xx
, тогда с учётом
0
hhhh
FxFff f
22848
000 0
(1)
n
()
F
0(0) (0) (0) ()
0
()
xx
!
n
остаточный член
() /2, /2fx С hh
2
0
,
x
приводится
1
kk
n
запишем
, (37)
где
,
/2,0h
.
0, / 2h
Перепишем (36) в виде канонической формулы
/2
h
( ) ( / 2) ( / 2)
fxdx Fh F h
/2
h
33
hf hf f
hh
(0) (0) ( ),
24 2 24
/2h
здесь
.
() ()
ff
28
h
δ()
(38)
В сумме по всем сегментам получим общую квадратурную формулу
x
f
f
x
метода прямоугольников
3
, (39)
где
iii
b
fxdx hf f
() ( )
a
,
x
.
1
NN
ii
xx h
1
ii i
ii
224
11
Замечание. Квадратурная формула прямоугольников имеет второй порядок аппроксимации и первый порядок точности, так как она обращается в равенство (39) только в том случае, если
(2)
или линейная функция, т. е.
СЕМЕЙСТВО ФОРМУЛ НЬЮТОНА–КОТЕСА
() 0fx
.
()
x – константа
Класс квадратурных формул, которые строятся на базе интерполирования с базисными полиномами не ниже первого порядка, называется
формулами Ньютона–Котеса.
Метод трапеций
Метод трапеций можно интерпретировать как квадратурную формулу, в которой
интерполируется кусочно-линейными функци-
()
x
i
ями.
,
Пусть отрезок
hxx
1kkk
[, ]ab разбит на сегменты
(рис. 5, а). При этом ρ () 1x ,
1,kn
x
() 0,fx С h
с длиной
2
.
1
kk
а б
Рис. 5. Кусочно-линейное интерполирование (а)
и локальный сегмент длиной
29
h (б)
Путём замены переменных любой отрезок
x
f
f
x
f
сти к отрезку
0, h
, как показано на рис. 5, б. Тогда
,
x
kk
можно приве-
1
h
xdx h h
δ()h – остаточный член (погрешность).
где
() δ()
0
(0) ( )
ffh
2
, (40)
Выполним те же самые действия, что и в методе прямоугольников,
и запишем каноническую формулу метода трапеций
3
h
δ()
(41)
где
h
() (),
fxdx h f
0
0, h
.
(0) ( )
ffhh
212
В сумме по всем сегментам получим общую квадратурную формулу
метода трапеций
b
()
где
iii
1
NN
1
() ( ) ( ) () ( ),
hf a h h f x h f b f
11
212
,
x
1
ii i N i
11
ii
.
a
xdx
3
h
i
(42)
Замечание. Квадратурная формула трапеций имеет второй порядок аппроксимации и первый порядок точности, так как она обращается
в равенство (42) только в том случае, если
(2)
ная функция, т. е.
() 0fx
.
()fx – константа или линей-
Метод парабол (метод Симпсона)
Метод Симпсона можно интерпретировать как квадратурную формулу, в которой
интерполируется кусочно-квадратичными функ-
()
x
i
циями (параболами).
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]