Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ
x
f
R
R
«ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ»
Изучить и реализовать алгоритмы построения квадратурных формул интерполяционного типа и квадратур Гаусса.
1.
Разработать класс, реализующий схемы численного интегрирова-
ния. Среди реализованных алгоритмов должны быть: схема средних прямоугольников, схема семейства Ньютона–Котеса и две квадратурные
формулы Гаусса (с нечётным и чётным числом узлов интегрирования).
2.
Задать отрезок [, ]ab и построить две вложенные сетки с равно-
мерным шагом h и h/2. Для каждой из четырёх реализованных схем численного интегрирования выполнить оценку порядка аппроксимации относительно шага равномерного сеточного разбиения. В качестве подынтегральной функции использовать любую неполиномиальную функцию
(
, sinx).
e
Пусть m – порядок точности квадратурной формулы. Задать отре-
3.
зок
[, ]ab и построить три вложенные сетки с равномерным шагом h, h/2
и h/4. Заполнить следующую таблицу (значения в экспоненциальной
форме)
*
Степень
полинома
1m
* h
()
x
Шаг
II
h
h
II
*/2
h
II
m
1m
– формула полинома;
()fx
чение интеграла на равномерной сетке с шагом h; k – порядок малости остаточного
члена (аналитический порядок аппроксимации).
*
I – точное значение интеграла; hI – вычисленное зна-
II
/2
hh
k
21
I
*
II
4. Выполнить исследования из п. 3 для неполиномиальной функции
sin (10,000 )xx , [0,1]x . Исследовать влияние измельчения шага сетки
к концам отрезка
[0,1] на относительную и абсолютную погрешность
численного интегрирования. Сделать выводы.
Для более глубокого понимания темы рекомендуются следующие
источники: [1, с. 237 – метод прямоугольников, методы семейства Ньютона–Котеса, с. 254 – квадратурные формулы Гаусса], [9, с. 67].
41
f
j
4. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Рассмотрим в гильбертовом пространстве H ортогональную систему
, , ..., , ...
элементов
разложение
Умножим скалярно (64) на
в силу ортогональности элементов
01 1
N
k
и запишем для произвольного
f
0
j
, т. е.
k
k
(, ) (, )
ff
kk
(, )
kk
. (64)
j
,,
f
kjjk
0
j
получим, что
. (65)
2
k
H
. Тогда
Числа
элемента f в системе
называются координатами или коэффициентами Фурье
k
, а ряд (64) – рядом Фурье.
k
Пусть f описывает сигнал. В момент j его величину обозначим че-
()zj . Последовательность
рез
(), 0, 1zj j N
можно трактовать
как дискретный сигнал в виде вектора значений
(0), (1), ..., ( 1)zz zNz
T
. (66)
Будем полагать, что дискретный сигнал является периодическим и
через каждые N отсчётов его значения повторяются, т. е.
() ( )zj zj kN , k . (67)
42
Теперь ()zj можно считать периодической функцией с областью
определения
0,1,2, ..., 1
N
N
(68)
и областью значений
Тогда вектор
ства
N
. Будем обозначать такое пространство как
2
lzzNzjjN z
N
Пример. Рассмотрим дискретный сигнал
– поле комплексных чисел.
– это элемент N-мерного векторного простран-
z
(0), ..., ( 1) | ( ) , 0, 1()
T
(0,1)z
. (69)
T
с периодом
2N . Тогда (0) 0z , (1) 1z , (2) (0 ) (0) 0zzNz , (1)z
(1 ) (1) 1zNz , (10) (0 5 ) (0) 0zzNz и т. д.
В пространстве
l
определим дискретное скалярное произве-
N
2
()
дение
1
N
,()()
zw
m
zmwm
0
(70)
и ассоциированную с ним норму
1
N
22
zzz
2
()
l
N
,()
Замечание. Любое комплексное число
zm
0
m
. (71)
zxiy
можно предста-
вить в виде
i
(cos sin )
zz i ze
, (72)
где модуль (или амплитуда) определяется как
zxy, (73)
22
аргумент (или фаза)
arctg ( / ), если 0,
yx x
arctg ( / ), если 0, 0,
arctg ( / ) , если 0, 0,
sign ( ) / 2, если 0.
yx x y
yx x y
yx
43
(74)
Введём в
N
базис по формуле
()
En e
m
1
N
2/
imn N
,
,0, 1mn N
Пример. При 2N по соотношению (75) получаем
. (75)
1
(0), (1) (1,1)
EEE
00 0
T
2
T
,
EEE
11 1
(0), (1) (1, 1)
1
T
T
.
2
Базисы, построенные по формуле (75), являются ортонормирован-
0,
mn
ными, т. е.
,
ΕΕ
mn mn
1,
mn
и
1mΕ
,
,0, 1mn N
. Тогда
вектор значений дискретного сигнала можно представить в виде разложения
1
N
z Ε
m
где по формуле (65) коэффициенты
0
, (76)
mm
z Ε
,
mm
.
Следствие. Из (76) следует, что
1
N
m
0
,
mm
zzΕΕ
,
,,,
zw zΕ w Ε
1
N
m
mm
0
,
zzΕ
1
N
2
0
m
2
,
.
m
При использовании формулы (70) можно показать, что
1
N
,()
z Ε
mm
1
zne
N
0
n
imn N
2/
. (77)
Дискретным преобразованием Фурье (DFT – Discrete Fourier Trans-
22
() ():
form) называют отображение
ˆ
zm zne
() ()
ll
1
N
n
0
NN
imn N
2/
такое, что
, (78)
при этом
ˆ
zm N z Ε
() ,
, сравните с (77).
m
44
1
2/
N
ˆ
– координаты вектора
()zm
:
F
m
imn N
, (79)
Замечание. Коэффициенты
(0), (1), ..., ( 1)zz zNz
T
в базисе Фурье
ne
F
()
m
поэтому
1
N
zF
ˆ
zm
()
0
m
. (80)
m
Вектор
Замечание. Функция
с помощью DFT переводится в вектор
z
ˆ
ˆˆ ˆ
(0), (1), ..., ( 1)zz zN
z
ˆ
также обладает свойством периодич-
()zj
T
.
ности.
22
:( ) ( )
(IDFT)
lZ lZ
Следствие.
NN
() ().zzn
N
1
() ( )
zn zme
N
m
ˆ
1
ˆ
0
imn N
2/
. (81)
Замечание. Прямое и обратное преобразования Фурье являются
линейными операторами. Определим матрицы этих операторов.
2/
iN
Введём обозначение
2/mni N
e
. Матрица
W
N
we
N
mn
w
W
NN
11 1 ... 1
12 1
ww w
1...
NN N
1...
1
N
ww w
N
,
тогда
(1)(1)
NN
we
N
имеет вид
..
2( 1) ( 1) ( 1)
NNN
NN
2/mn mni N
N
и
. (82)
mn
w
N
45
Столбцами матрицы
являются базисные векторы Фурье. По-
W
N
этому формулу (78) можно переписать
ˆ
zWz
. (83)
N
Из формулы (81) автоматически следует, что
где матрица
W
.
N
рицы
состоит из комплексно-сопряжённых компонент мат-
W
N
Пример. Рассмотрим дискретный сигнал
дом
4N . Выполним DFT по формуле (78):
zWz Wz
N
N
3
ˆ
zm zne
() ()
n
0
, (84)
N
(1, 0, 3, 4 )z
2/4
imn
,
1
1
ˆˆ
откуда
33
3
ˆ
zzne zzeze
(1) ( ) (0) (1) ( 2)
n
0
и по аналогии
ˆ
zzne zn
(0) ( ) ( ) 2
nn
00
2 1 /4 2 /4 4 /4
in i i
ˆ
(2) 6z
ˆ
,
(3) 4 4zi
Строим базис Фурье по формуле (79):
(1,1,1,1) F
2
T
(1, , 1, )iiF
,
3
20/4
in
. Выполним DFT по формуле (83).
(1,1,1,1)F
0
T
. Вычисляем
T
T
с перио-
,
6/4
i
(2) 4 4
ze i
(1, , 1, )iiF
,
1
T
,
11 1 1
ii i
11044
ˆ
zWz
N
111 1
ii
11
46
12
36
444
.
i
Пример. Рассмотрим дискретный сигнал
j
j
с периодом
по формуле (79):
(1, , 1, )iiF
3
3
m
4N . Выполним IDFT по формуле (80). Строим базис Фурье
T
(4 4 ) 6 (4 4 ) (1, 0, 3, 4)iiFF F
(1, , 1, )iiF
,
1
12 3
ˆ
zm
0
T
. Вычисляем
Fz
()
m
(1,1,1,1)F
0
2 F
0
Выполним IDFT по формуле (84):
(2,4 4 , 6,4 4 )iiz
T
,
(1,1,1,1) F
2
T
T
,
T
.
11
Wzz
44
Следствия. Для всех
1) равенство Парсеваля
zw zw
2) формула Планшереля
Замечание. Функция
при этом
1111
11440
N
,,
111 1
11
N
11
NN
m
iii
ii
2
,()
lzw
1
0
zz
ˆˆˆ
zmwm
1
22
ˆ
21
63
44 4
i
выполнено:
N
.
; (85)
. (86)
N
()z
обладает свойством периодичности,
11
ˆˆ
())(()jzjzzN
. (87)
NN
47
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЧАСТОТНОГО БАЗИСА ФУРЬЕ
F
F
Рассмотрим поведение вещественных гармоник базиса Фурье,
Re
() cos(2 / )
т. е. функций вида
Fn mnN
m
Вид мнимых компонент
, при
Im
() sin(2 / )
Fn mnN
m
0,100n
(рис. 7 и 8).
будет таким же с точ-
ностью до сдвига аргумента на величину π/2.
Рис. 7. Функция
Re
() cos(2 / )
nmnN
m
при m = 0, 1, 2
Рис. 8. Функция
Функции
Re
()
Fn
с ростом m имеют всё больше и больше колеба-
m
Re
() cos(2 / )
nmnN
m
при m = 2, 4, 8
ний на отрезке [0, 100], см. рис. 7 и 8. Существует предельное значение
/2mN , после которого наблюдаемые колебания замедляются
и значения функций
Fn
m
начинают совпадать со значениями
Re
()
на предыдущих частотах, см. рис. 9 и 10.
48
F
F
N
Рис. 9. Функция
Re
() cos(2 / )
nmnN
m
при m = 10, 90
Рис. 10. Функция
Re
() cos(2 / )
nmnN
m
при m = 20, 80
Такая особенность связана с дискретностью области определения
функций, поскольку мы не можем наблюдать осцилляции между целыми значениями аргумента n.
Если значение m близко к
/2N . Сделаем замену kNm и тогда по свойству периодичности
к
2/ 2()/ 2/
imn N i N k n N ikn N
ee e
/2N , то и значение
22
cos sin
NN
m также близко
kn kn
i
.
49
Замечание. При /2mN мнимая компонента функции
F
2/imn N
e
2/imn N
e
меняет знак на противоположный, так как значения функций
На рис. 11 показаны функции
и
2/imn N
e
являются сопряжёнными.
Im
() sin(2 / )
Fn mnN
m
при m = 20
и 80. Их значения совпадают по модулю, но отличаются знаком.
Рис. 11. Функция
Вывод. В DFT каждый вектор
ется как частотный вектор. Если m близко к
Im
() sin(2 / )
nmnN
m
ne
()
m
при m = 20, 80
1
2/
imn N
F
интерпретиру-
N
/2N , то вектор называется
высокочастотным. Если m близко к 0 или к N – низкочастотным.
АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ В DFT
В преобразовании Фурье последовательности амплитуд и частот
называются амплитудным и фазовым спектром соответственно.
Пример. Рассмотрим 10 отсчётов сигнала вида ( ) cos(2 / 10)zn n ,
на рис. 12 он показан точками.
Выполним DFT этого сигнала по формуле (78). Результаты приведены в следующей табл. 2.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]