Численные методы решения задач оптимизации. Учебное пособие

3)

(

)

x

ffy

x

y

xxy

xy fxy

y

,

не преобразуется ни к первому, ни ко второму виду.

0xy

Вычислим полную производную функции z по переменной x (считая y зависящей от x):



Так как

d dx



   ,

yx

dz

В точке экстремума 0

 ,

dx

или

где  – некоторая константа.

Получили систему уравнений:





fxy xy

 

xx





fxy xy

 



yy



xy









dz

dx

а 0





yx

ddx

 , то

.



y





dz

и





dx

следовательно,







ff



xy



f

x







xy

,,0,

 

,,0,

 

x

0





y



f

y

,

,0,





ff

xy





x



y

.

откуда находим искомые значения x, y, т.е. точку, подозрительную на экстремум.

Если ввести следующее обозначение:

,, ,,

 

 

x

то систему можно записать в более удобной форме:







0,

x







 





0,

y





0.

Заметим, что после определения точки, подозрительной на экстре мум, выяснить, является ли эта точка точкой минимума, максимума или стационарной точкой, можно, как правило, после дополнительного анализа поведения целевой функции в окрестности найденной точки.

81

Пример 18

(

)

f

y

xy

(

)

f

y

(

)

()

X

Найти максимум функции

22

, 1 0; 0, 0

xy

xy x y



методом множителей Лагранжа.

82

Решение.

,

x

xy при ограничениях

Построим функцию





,

 :



22



,1

xy xy

xy



82



Для решения ЗНП запишем систему





x



y

 



 

xy

 

22

xy









82

Одно из решений этой системы: 2, 1, 2

0,

4

0,

10.

. Определим,

является ли эта точка точкой максимума.

22

Кривая

xy

 описывает эллипс на плоскости xOy, причем

10

82

,

x

0

 в точках пересечения эллипса с осями Ox и Oy. В точке

.

P(2,1)

,

; следовательно, P(2,1) – точка максимума.

0fxy

6.2. Метод штрафных функций

Рассмотрим задачу нелинейного программирования в виде

fX

Рис. 9. Функция (t)

min,

Xxx x при ограничениях

, , ...,



12

n

0, 1, 2, ..., .

Xi m



i

Введем в рассмотрение функцию

удовлетворяющую следующим условиям:

   

t



82



t

.lim



t (рис. 9),





,0при0

tt



,0при0

tt



,0при

tttt

1212

()

m

f

()

Функция

,

XR r x

, где

  

ii

i

1



называется штрафной функцией.

Rrr r , 0

, , ...,



12

m

r  ,

i

Нетрудно заметить, что и

,0XR при их невыполнении.



,0XR



при выполнении ограничений

Идея метода штрафных функций заключается в преобразовании задачи нелинейного программирования по минимизации функции с ограничениями к решению последовательности задач безусловного минимума вспомогательной функции

   

XXR  .

Очевидно, что при достаточно больших значениях величины

min X достигается тогда, когда выполнены все ограничения 0

и функция



X принимает возможно минимальное значение.



,X

r

i



i

Методы штрафной функции делятся на методы внутренней и внешней точки.

Методы внутренней точки используются тогда, когда заранее известна точка X

В этом случае в качестве

(0)

, для которой выполняются все ограничения 0

,XR можно выбрать одну из функций:



 .

i

m

()

,ln,

XR r X

 

 

1



,.

XR r



2

k

()

k





i

m



i

1



1



i

1

X



i

(30)

Алгоритм метода внутренней точки

1.

Задать начальную точку x

(0)

из области допустимых значений

целевой функции и малое число  > 0 – точность решения.

2.

Выбрать начальное значение вектора

чтобы компоненты его были сравнимы со значением функции

(0) (0) (0) 0

Rrr r так,

, , ...,



12

m

(0)

fx .



Принять 0k  .

3.

Составить вспомогательную функцию

*()

4.

Найти точку

k

xr безусловного минимума функции

   

XXR  .

,X

X с

помощью какоголибо метода минимизации нулевого, первого или

83

второго порядка. В качестве начальной точки взять

x

()

() ()

X

(

)

x

*() ()

штрафную функцию

5.

Проверить условие окончания: если достигнута требуемая

*() ()

точность



kk

(),

xr r, процесс поиска закончить:



kk

(),

xr r .

()k

. Вычислить

**()

fx fx r .

  

В противном случае изменить значения вектора R:

(1) * ()

kk

c  ; принять

1



xxrkk

 и перейти к шагу 3.

,1

k

(1) ()kk



rcr

 , где

Метод внешней точки необходимо использовать, когда начальные

приближения вестны. В качестве

(0) (0)

,xx, для которых ограничения выполняются, неиз

12

,XR в этом случае можно принять, например,



функцию

m

()

X,R r X X

 



k





ii

1



i

2

.

(31)

Алгоритм метода внешней точки аналогичен алгоритму метода

внутренней точки.

Пример 19

2

Решить ЗНП



112

жением

(0)

X  .

0,Xxx

2, 1

22

FX x x   при ограничениях



212

10 2 min

12

22



0Xxx с известным начальным прибли

Решаем методом внутренней точки. Составим штрафные функции

по формулам (30):

,ln ln ,

XR r x x r x x

 

  

1112212

11

 

,.

XR r r



21 2

xx



12

22



22

xx



12

Теперь для решения задачи необходимо минимизировать одну из

функций:

, 10 2 ln lnxx x x r x x r x x



11,2 1 2 1 1 2 2 1 2

22 22



2



или



,102 .xx x x r r



21,2 1 2 1 2

22



2

11



xx

12

22

x



12

84

Функция

F

(

)

x

j

yy y y j

(

)() ()

y

(

)

(

)

)(,)

(0) (0)

,xx при различных значениях ir таким образом, чтобы

12



или

1

минимизируется из начального приближения



2

X



было минимальным и выполнялись ограничения 0

 .

i

Если начальные приближения, для которых ограничения выпол няются, неизвестны, используем метод внешней точки. В этом случае, в

соответствии с формулой (31), функция

,102 .xx x x rx x x x rx x x x



1,2 1 2 112 12 21 2 1 2

22 2222



2



,xx примет вид:



1, 2



6.3. Седловая точка для задачи нелинейного программирования

Рассмотрим задачу на отыскание минимума функции

при заданных ограничениях:

min ( , ..., );



xx

 





Fx x

n

, ...,

1

x

,...,

1

jn

n

0, 1, , ;



m





0, 1, 2, ..., .

xk l

i



k





,,,

Fx x x



12

n

Построим функцию Лагранжа аналогично функции Лагранжа для решения задач выпуклого программирования. Для этого введем в рассмотрение вектор

Y

, , ..., , 0, 1, 2,...,



12

mj

m

и определим функцию

m

(32)

.

x

Точка

,

LXY F X

(0) (0) (0) (0)

Xxx x называется точкой Куна – Таккера

, , ...,

12

  

n



j



jj

1

для задачи нелинейного программирования, если существует точка

(0) (0) (0) (0)

Yyyy ,

, , ...,

12

m

(0)

y  для которой выполняются следующие

0,

j

условия:

L



1

x

XY

i

00

0



для

x 

i

0;

85

)(,)

L

)(,)

j

F

j

(

)

x

(

)



2

x

3

xXY



4

y



000

5

yXY

00

XY

i

L



000

j

x

i

L

j

XY

j

L



y



j

00

0

для 0;



0



для

0



0



для 0;

для 1, 2,..., .

x 

i

x 

i

1, 2,..., ;jm

m

Теорема.

Если точка *X является оптимальным решением задачи

нелинейного программирования, а функции

и

 дифферен

цируемы, то точка *X является точкой Куна – Таккера задачи нелинейного программирования.

Пример 20 Решить ЗНП методом, основанным на теореме Куна – Таккера:

,

fx x xx 

12 12

при ограничениях

22

xx

12

49

1; 0 ; 0 .

xx  

12

Решение. Составим функцию Лагранжа по формуле (32):



xx

,,

Lx x y xx y

121 12 1

   

12



49



Запишем условия теоремы Куна – Таккера:

L



1

2

3

  

x

2

L



  

x

1

L



xxxxy

22121

x



2

0;

2 9

0;

;

0x 

2

0;x 

1

0;

xxy

121

9

xy

x

 

11

2

 



0x ;

2

min

x

,

12

22

1.

86

22

)

y

)

(

)

f



L



4

y



1



5

yy

11

y



xx

   

L

1

12



49





   

 

10;

22

xx

12

49

10;

0.



1

Получим систему уравнений и неравенств.

 

  

1

  

  

2

  

xx xy

3

   

4) 1 0;



   



5



2

xxy x

121 2

9

xy

xx

21 21

11

21

2



 

 

22



xx

12



49



22



xx

12

y



1

49



0; 0;

2

0;

9

10.

Рассмотрим возможные варианты решения этой системы урав нений и неравенств.

0;

x





2



1)

 



0;

x



1

y

1

0.



Это решение удовлетворяет всем соотношениям (1)–(5). Значение целевой функции



 



xy

x

11

2

0, 0)0f .

0;

 

2)

 

 

y

 



2

xxy

121

9

0.



1

0;

Из этой системы следует также

0;

x





2



  .

0;

x





1



y

1



0.



0, 0

0

87



(

)

f

 

 



3)

 

  

xx

 

49

xy

x

11

2

0;

2

xxy

121

9

22

12



0;

10.

Решим эту систему:

22

xx

yxx xxx

112 121

22



       ;

xx

11

242

0;

22

993

2

т.к.

последнее уравнение системы, получим:

2

xx

21

, то, следовательно,

0x 

2

xx . Подставив это выражение в

12

3

323

;2.

22

3

Значение целевой функции в найденной

12



  



43 9



2

x

2

x

2



1;

точке





f

 

3

2, 3

2

минимума функции

, следовательно, точка

,

xx xx

12 12

.





 

2,

3

– точка

2

Контрольные вопросы и задания

1. В чем отличие задачи нелинейного программирования от задачи

линейного программирования?

2.

Можно ли решать ЗНП методом множителей Лагранжа, если

ограничения на переменные заданы в виде неравенств?

3.

В чем отличие методов внутренней и внешней точки?

4.

Можно ли решать ЗНП методом штрафных функций, если

ограничения на переменные заданы в виде равенств?

5.

Какими свойствами должны обладать функции, участвующие в постановке ЗНП, чтобы для решения ЗНП можно было применять теорему Куна – Таккера?

6.

Решите ЗНП методом, основанным на теореме Куна – Таккера:

22 22

10 2 min; 0; 0.

xx xxxx 

12 1212



xx

,

12

88

Часть II. ПРАКТИКУМ.

x

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ

В СРЕДЕ MATHCAD

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Лабораторная работа 1. Общая схема исследования функций

методом дифференциального исчисления (входной контроль)

Исследовать функцию, заданную в табл. 11 в соответствии с номером

варианта, методами дифференциального исчисления и построить график.

Таблица 11

№

варианта

f(x)

1 2 3 4

3

1

2



y

2

y

x



x



21



1



3

2

№

варианта

11

12

y

f(x)



3

2

3



4

3

1



3

4

5

6

7

8

9

10

y



21

xx

 



2

x



y

2



y

1



2

x



y

2



y

2



y



y

2



y

2

1





1



1

2



1



1

2

1



2



1

2

1



3

1



13

14

15

16

17

18

19

20

21

x



y

x



4



y

3



y



24

y





14

2



xx



y

4



y



3

2



xx



y

2



xx



y



2



1

3



1

3

1



2

1



1

2

33



41



1

4

89

Окончание табл. 11

x

1 2 3 4



81

x





y



x

1



2

21

2



y

2

x



2

26

22

23

24

25

12



y

9

 

4

y



2

y

x



x



1





12 3



2



12

2

3

2

27

28

29

30

y



y



y

4

2

23



3



2



69

xx



x



4

31x



x



4x

2

1



3

Лабораторная работа 2. Градиентное исследование функции

m

10

;

12

2

00

0,01xx , провести прямую в

Для функции

1)

определить

 выполнить следующее*:

направлением ,

из точки

2)

,

xx x x



12 1 2

ed – единичное направление, совпадающее с

d

m





dn



10



000

,xxx, где



12

направлении d (написать уравнение этой прямой);

3)

вычислить градиент функции  в точке определить производную по направлению e в точке

4)

выявить точки, подозрительные на экстремум, т.е. точки, в

5)

000

,xxx;



12

000

,xxx;



12

которых 0  ;

6)

найти

T

d .

Лабораторная работа 3. Задача линейного программирования

Составить смесь, содержащую три химических вещества:

Известно, что составная смесь должна содержать вещества

b (1,2,3i  ) единиц.

i

*

S не менее

,,SSS.

123

i

90