Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы решения задач оптимизации. Учебное пособие
.pdf
Вещества
j
P
P
P
f
S содержатся в двух продуктах
i
( 1, 2j ) в концент
рациях
ветственно
a . Стоимость единицы продуктов
ij
C
1
и
рубля.
C
2
1
и
составляет соот
2
Смесь следует составить так, чтобы стоимость используемых
продуктов была наименьшей. Исходные данные для каждого варианта
приведены в табл. 12.
Таблица 12
Виды пи
Количество
питательных
тательных
веществ
Минималь
Стоимость
ная норма
единицы продукта
питательных
веществ
P
P2
1
n
S
1
3
n
S
2
10
n
S
3
10
n
10
n
2
n
6
веществ
1
n
n
1n
C
C2
1
n
4
n
6
1.
Записать математическую постановку ЗЛП.
2.
Решить задачу на компьютере с помощью системы Mathcad.
3.
Найти опорное решение.
4.
Решить задачу графическим методом.
Лабораторная работа 4. Одномерная оптимизация
Решить методом перебора, золотого сечения и с помощью системы
Mathcad
0,4; 0,6nn.
задачу минимизации функции
mxn m на интервале
2
Лабораторная работа 5. Многомерная оптимизация
Выполнить по 3 шага минимизации функции:
2
91
1
2
n
,
xx x x n
12 1 2
10 10
Начальное приближение взять из интервала
m
0,1 0,1 ; 0,5 2mx m nx n .
12
Решить методами покоординатного спуска, Хука и Дживса, гра
x
f
f
f
диентного спуска, сопряженного градиента, Ньютона и с помощью
системы Mathcad.
Лабораторная работа 6. Задача выпуклого программирования
, 0,1 0,2 0, 2 0,2 min;
fxx nx mx nx m
12 1 2 1
22
gx nx mx
112
0,1 0,2 0;
gx nx mx
212
0,1 0,2 0;
2
0; 0.
xx
12
n
mn
n
mn
Начальное приближение взять из интервала
0,1 0,1 ; 0,5 2mx m nx n .
1.
Доказать выпуклость функций f и g
2.
Нарисовать область допустимых значений и линии уровня.
3.
Проверить выполнение условия теоремы 3 для функции f:
4.
Сформулировать условия теоремы Куна – Таккера для данной
12
,.
xxx
121 2 1
x
задачи.
5.
Решить задачу.
x
,
12
.
i
x
Лабораторная работа 7. Задача нелинейного
программирования
Решить с помощью системы MathCAD задачу нелинейного про
граммирования:
1
mx y
,min
при ограничении
Fxy e
10 10 2nx my .
n
22
92
РЕКОМЕНДАЦИИ И ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ
yf
x
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Пример выполнения лабораторной работы 1.
Исследование функций
Чтобы исследовать все свойства функции
определить:
I. 1)
Область определения функции D(y); область изменения
функции Y; точки разрыва и интервалы непрерывности;
2)
поведение функции в окрестностях точек разрыва; верти
кальные асимптоты;
3)
точки пересечения графика с осями координат;
4)
симметрию графика (четность – нечетность функции);
5)
периодичность графика.
II.
Интервалы монотонности функции (промежутки, на которых
функция только убывает или только возрастает); точки
экстремума и экстремальные значения функции.
III.
Интервалы выпуклости и вогнутости; точки перегиба.
IV.
Поведение функции в бесконечности; наклонные (в частности
горизонтальные) асимптоты.
Пример 21
2
Исследовать функцию
fx
x
1
методами дифференциального
x
исчисления и построить график.
Решение.
Найдем область определения функции 10, 1xx , то есть
I.
x , необходимо
,1 1,x .
Функция определена и непрерывна на всей оси Ox, за исключением
точки 1x , где она терпит бесконечный разрыв. Следовательно, пря
мая 1x является вертикальной асимптотой, причем в точке
–
fx fx fx
fx fx fx
0lim lim
0
0 lim lim
0
xx
0
xx
0
0
0
xx
0
xx
0
xx
0
xx
0
Нулем функции служит только точка 0.
левосторонний предел;
–
правосторонний предел.
1x
0
93
Исследование функции на четность или нечетность: при
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x
x
(
)
)
(
)
x
x
(
)
(
)
(
)
(
y
(
)
x
Функция не является ни четной, ни нечетной. Следовательно,
функция общего вида.
Периодичность: если
функция с периодом T . Функция не является периодичной.
II.
Производная обращается в нуль при 0
точки); в интервале
x функция четная, при
2
x
x
Имеем (по формуле
fx
11
xx
21 1 2
xxx xx
,2
она положительна, в интервалах (2, 1
x
2
x
xrT
uuvuv
111
v
2
222
xxx
;
x
x то
v
)
2
2
xx
x – нечетная.
x
,
2
x – периодичная
и 2
(стационарные
x
.
.
и
1, 0
отрицательна (в точке 1
положительна. Значит, функция в первом интервале возрастает, во
втором и третьем убывает, в четвертом возрастает; 2x является
точкой максимума, причем максимальное значение функции равно –4,
а 0
является точкой минимума, в которой минимальное значение
функции равно 0.
Эти рассуждения удобно свести в табл. 13.
,2
III.
+ 0 –
Имеем
–2
x
y возрастает max = –4 убывает убывает min = 0 возрастает
она не определена) и в (0,) снова
Таблица 13
2, 1
– 1
не
опре
делена
2
3
1
x
1, 0
– 0 +
.
0
0,)
Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе x
через точку 1x меняет свой знак с минуса на плюс. Таким образом,
в интервале
,1
вторая производная отрицательна, в интервале
94
(
она положительна. В первом интервале график функции
(
)
(
y
y
x
x
x
y
()
f
1,)
выпуклый, во втором – вогнутый.
Составим табл. 14.
Таблица 14
x
– +
– 1
1,)
,1
y выпуклый точка разрыва вогнутый
IV. Так как
fx
lim lim 1
a
xx
xx
и
lim lim 1 lim 1,
bfxax x
xx x
то существует наклонная асимптота 1
Вследствие того, что разность
при 1
находится над асимптотой 1
и отрицательна при 1
x, а слева – под асимптотой.
xx
11
11
, график справа от прямой 1
x
1
2
xx
ax b x
2
x
xx
1
x
*
.
1
положительна
Приняв во внимание полученные результаты, легко построим
графикгиперболу (рис. 10).
6
5
2
x
1x
x1
x
6
Рис. 10. График исследуемой функции
505
5
66 xx x1
*
Если хотя бы один из указанных пределов не существует ( ), то линия
асимптот не имеет.
x наклонных
95
Примечание. При нахождении предела функции возможны
f
x
f
f
неопределенности различных видов:
0
00
.0;;1;;0;;
Для
0
раскрытия неопределенностей удобно воспользоваться правилом
Лопиталя.
Правило Лопиталя (теорема Лопиталя):
Пусть функции
x
и
x
при
x (или x ) совместно
0
стремятся к нулю или бесконечности. Если отношение их производных
имеет предел, то отношение самих функций также имеет предел,
x
.
равный пределу отношения производных, т.е.
x
lim lim
xx xx
xx
00
Примечание. Пример выполнения лабораторной работы 2
приведен в части I учебного пособия (см. пример 1).
Пример выполнения лабораторной работы 3.
Задача линейного программирования
Пример 22
Предприятие выпускает изделия двух типов путем после
довательной обработки каждого из них сначала в цехе А, затем в цехе В.
Обработка каждого изделия первого типа занимает 2,5N ч в цехе А и
1,5
N ч в цехе В. Обработка каждого изделия второго типа занимает N ч
в цехе А и 2N ч в цехе В. Цех А в состоянии работать в месяц не более
75
N ч, а цех В – не более 66N ч. Предприятие за каждое изготовленное
изделие первого и второго типа получает прибыль соответственно
150
N руб. и 100N руб. Определить, сколько изделий каждого типа сле
дует выпустить в месяц, чтобы обеспечить предприятию наибольшую
прибыль, и каковы размеры этой прибыли.
Исходные данные сведены в табл. 15.
Таблица 15
Время обработки изделия Типы
изделий
Цех А Цех В Прибыль
Изделие 1 2,5 1,5 150
Изделие 2 1 2 100
Количество
75 66
часов в месяц
96
Решение.
()
f
)
Математическая постановка задачи имеет вид:
xx x x – целевая функция;
12 1 2
150 100 max
2,5 75;
xx
12
xx
1, 5 2 6 6 ;
xx
12
0; 0
12
– ограничения.
Определим графически такую точку многоугольника решений, в
которой целевая функция принимает максимальное значение. Эта
точка существует, если многоугольник решений не пуст и на нем
целевая функция ограничена сверху.
Для построения многоугольника решений в неравенствах системы
ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки нера
венств заменим на знаки равенств. Построив полученные прямые, най
дем соответствующие полуплоскости и их пересечение.
Многоугольник решений (рис. 11) ограничен снизу осью Ox
осью Ox
21
, сверху – прямой
2
2,5 75xx .
12(1, 5 6 6
xx , справа – прямой
21
, слева –
1
Рис. 11. Графический метод решения ЗЛП
На этом же графике построим вектор градиента с координатами
(150; 100),
который лежит на прямой
100 150xx .
21
97
Построим линию уровня целевой функции
6
1, 5xx и будем
21
перемещать ее параллельно самой себе в направлении вектора гра
диента до тех пор, пока она не пересечет многоугольник решений в
максимальной точке. Эта точка и есть оптимальное решение ЗЛП,
приближенное значение которой можно определить по графику, а
точное – решив систему уравнений:
x1 1 x2 1
Given
2.5 x1 x2()75
1.5 x1 2x2()6
24
Find x1 x2()
15
Точкой оптимума является точка с координатами (24, 15).
На рис. 12 показано, как это графическое решение выглядит в
системе MathCAD.
87.5
2.5 x1 7 5
1
1.5 x1 6 6()
2
100
x1
150
1.5 x1
1.5 x1 3 4()
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
02040
505 x1
Рис. 12. Графическое решение ЗЛП в системе MathCAD
98
Решим это уравнение с помощью опорных решений в системе
x
x
MathCAD.
Для этого приведем систему к каноническому виду.
fx1x2 x3 x4( ) x1 150 x2 100 x3 0 x4 0()
2.5 x1 x2 x3()75
1.5 x1 2x2 x4()66
x2 0x1 0
Найдем возможные решения и выделим среди них опорные.
24
15
44
35
x2 0
x4 0
x2 1
x4 0
x1 1
x3 0
Given
2.5 x1 x2 x3()75
1.5 x1 2x2 x4()66
Find x1 x2()
x1 1
x3 1
Given
2.5 x1 x2 x3()75
1.5 x1 2x2 x4()66
Find x1 x3()
x1 1
x3 0
Given
2.5 x1 x2 x3()75
1.5 x1 2x2 x4()66
Find x1 x4()
x1 0
x3 1
x2 0
x4 1
30
21
x2 1
x4 0
99
Given
x
x
(
)
(
(
2.5 x1 x2 x3()75
1.5 x1 2x2 x4()66
Find x2 x3()
33
42
x1 0
x3 0
Given
2.5 x1 x2 x3()75
1.5 x1 2x2 x4()66
Find x2 x4()
x2 1
x4 1
75
84
x2 0
x4 1
75
66
x1 0
x3 1
Given
2.5 x1 x2 x3()75
1.5 x1 2x2 x4()66
Find x3 x4()
Запишем ЗЛП в системе MathCAD в канонической форме в
матричном виде
,
maxCX :
x1 A 1 x2 A 2 x3 A x4 A4 B
Здесь
A1
150,100,0,0 , 1, 2, 3, 4CXxxxx.
2.5
1.5
A2
1
2
A3
1
0
A4
0
1
B
75
66
Допустимыми, а также опорными являются решения
30,0, 0, 21);
0, 33, 42, 0); (24,15,0,0); (0, 0, 75, 66), поскольку они неотрицательны и
образуют систему независимых линейных векторов.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]