Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы решения задач оптимизации. Учебное пособие
.pdf
тельной переменной
x
x
j
f
(
)
f
:
ax a x ax x b
1n
11 22 1
ii innni
...
,
x
10n
При этом нужно помнить, что размерность задачи (число перемен
ных х
слагаемого в целевую функцию f(x) с коэффициентом
нулю (
) станет на единицу больше, а неизвестная
i
c
);
10n
г) если не задано ограничение вида 0
x на некоторую перемен
i
войдет в качестве
1n
c, равным
1n
ную, а оно необходимо для канонической формы, то вместо одной
переменной
x
и 0
0
i
x можно рассмотреть две переменные ix и ix, такие, что
i
x
, а
i
xxx
iii
.
Используя перечисленные приемы, произвольную задачу линей
ного программирования можно привести к основной канонической
n
форме: максимизировать целевую функцию
()
xcx
1
j
по пере
j
.
менным
,...,
xx при выполнении ограничений:
1
n
axax ax b
11 1 12 2 1 1
... ;
nn
axax ax b
21 1 22 2 2 2
... ;
nn
................................................
axa x axb
11 22
mm mnnm
x , j ,...,n
01.
j
... ;
(9)
В матричной форме задача записывается следующим образом:
,
CX
AX B
0.
X
max;
T
(10)
;
Всякое решение системы (9) называется допустимым решением.
Допустимое решение, при котором линейная функция f(x) принимает
оптимальное (в данном случае максимальное) значение, называется
оптимальным решением или оптимальным планом.
Пример 2
Привести к канонической форме задачу минимизации функции
34
xx
12
при ограничениях:
25;
xx
12
0.
3;
xx
12
x
1
21
Чтобы привести задачу к канонической форме, выполним сле
x
x
x
(
)
j
(
)
дующее.
1)
Задачу минимизации функции f заменим задачей максимизации
путем смены знака:
min 3 4 max 3 4
xx
12
Ограничение типа неравенства
2)
типа равенства путем добавления переменной
Вместо переменной x
3)
введем в рассмотрение две переменные
xx xx .
,
12 12
, для которой не задано ограничение
2
,
xx
12
25xx приведем к ограничению
12
0x :
3
0x
2
25xxx.
123
и
:
0x
2
222
xx
Для удобства записи задачи переименуем все переменные в
соответствии с порядком их вхождения в целевую функцию:
,,,
xx xx xx x
11223243
.
В канонической форме ЗЛП примет вид:
3440 max
xxx x
1234
,,,
xxx
123 4
при ограничениях
xxxx
25;
1234
xxx
123
xxx x
0, 0, 0, 0.
123 4
3;
0x ,
2
.
2.3. Формулировка некоторых типичных задач
линейного программирования
2.3.1. Задача о раскрое
Пусть
типов. Заготовок iго типа требуется в количестве
м способе раскроя
j
количестве
значим как
Xxx x представляет собой общий план раскроя. Тогда задача
по отысканию оптимального плана раскроя может быть записана
следующим образом.
имеется n вариантов раскроя листа жести на заготовки m
bi m . При
1, ,jn
a , а отходы (по весу, по площади и др.) равны jc . Обо
ij
получаются заготовки iго вида в
1, ..,
i
x количество листов, раскраиваемых по варианту j. Вектор
, ,...,
12
n
22
Определить вектор X, минимизирующий функцию отходов
j
f
j
n
()
Xcx
j
1
при ограничениях, направленных на выполнение плана
j
выпуска заготовок требуемых типов:
axax ax b
11 1 12 2 1 1
..............................................
ax a x ax b
11 22
ii inni
..............................................
axa x axb
11 22 ;
mm mnnm
... ;
nn
... ;
...
0, 1, ..., .
xjn
j
При постановке конкретной задачи удобно сначала все исходные
данные свести в таблицу (см. пример 3).
Пример 3
Имеется четыре варианта раскроя 1, 2, 3, 4
типов A, B (1,2i ) при заданных потребностях
образующихся отходах
12, 5, 3, 0cccc
1234
на заготовки двух
180b ,
1
2
.
Количество заготовок iго типа при использовании jго способа
432 1
производства a
задается матрицей
ij
.
04610
480b и
Для решения задачи минимизации отходов удобно применять
следующую таблицу (табл. 1).
Таблица 1
Заготовка Варианты раскроя (j) Потребность
(i) 1 2 3 4 bi
A 4 3 2 1 180
B 0 4 6 10 480
Отходы c
12 5 3 0
j
По этой таблице запишем математическую формулировку ЗЛП:
min 12 5 3 0
,,,
xxx x
1234
zxxxx
1234
при ограничениях:
xxxx
4 3 2 180;
1234
xxx x
0 4 6 10 480;
123 4
xxx x
,,, 0.
1234
23
2.3.2. Задача о планировании производства
(
)
jj
j
j
j
j
j
j
j
n различных технологий предприятие может использовать m
Для
видов ресурсов – сырье, энергию, оборудование. Запас ресурсов огра
ничен величинами
bi m . Известно, что при применении техно
i
1, ...,
логии с номером
единиц ресурса и производится
1, ,
n в единицу времени расходуется ija
c единиц продукта.
Требуется определить интенсивность (продолжительность) ис
пользования каждой технологии, чтобы выпустить максимальное
количество продукции, не допустив перерасхода ресурсов.
Пусть
x – время, затраченное на jю технологию.
Тогда справедлива следующая математическая формулировка рас
сматриваемой задачи:
n
Cx
j
1
jj
max
при ограничениях
n
xjn
xa bi m
jij i
1
j
0, 1,..., .
j
, 1, ..., ;
2.3.3. Задача о рационе
Пусть
питательных веществ. Обозначим символами
ных веществ iго типа (1,,im ) в jм продукте (1,,
имеется n видов продуктов, в которых содержатся m типов
a количество питатель
ij
n ). Потреб
ность организма в iм питательном веществе на протяжении опреде
ленного времени задается величиной
дукта равна
c .
b . Стоимость единицы jго про
i
Требуется определить количество каждого продукта в рационе так,
чтобы суммарная стоимость рациона была минимальной.
Пусть
общая стоимость jго продукта,
x – количество jго продукта в рационе. Тогда
n
– суммарная стоимость
cx
j
j
1
cx –
j
рациона.
24
Получаем следующую ЗЛП:
j
j
n
j
n
ax b i m
2.3.4. Транспортная задача
ij j i
1
j
xjn
j
cx
jj
1
min,
,1,...,,
0, 1,..., .
Пусть
имеется n строительных объектов, в которые поступают
строительные материалы, хранимые на m складах. Известна стоимость
c перевозки материалов с iго склада ( 1, ,im ) на jй строительный
ij
объект (
м складе и заказанный объем
i
1, ,jn
), количество
единиц строительных материалов на
a
i
b материалов для доставки на jй
строительный объект. Требуется составить план перевозок строитель
ных материалов со складов на объекты так, чтобы суммарная стои
мость перевозок была минимальной.
Пусть
везти с iго склада на jй объект. Тогда стоимость перевозки
x – количество материалов, которое планируется пере
ij
cx, а об
ij ij
щая стоимость S всех перевозок будет равна
mn
Scx
11
ij
ij ij
.
Строительные объекты должны быть обеспечены материалами в
точном соответствии с заказом. Поэтому планируемые объемы пере
возок
x должны удовлетворять условиям
ij
m
xb
ij j
i
1
,1,2,,.
n
Однако со склада нельзя вывезти строительных материалов боль
ше, чем там имеется. Следовательно, должны быть выполнены условия
m
xai m
ij i
i
1
,1,2,,.
Получаем следующую ЗЛП:
mn
,
ij
11
cx
ij ij
min
25
m
j
j
i
j
xi m
xbj n
ij j
1
n
xai m
ij i
1
ij
,1,2,,
, 1, ..., ,
0, 1, ..., , 1,..., .
n
Отметим, что сформулированная ЗЛП может иметь решение
только в том случае, если сумма заказов всех строительных объектов не
превышает суммарного запаса строительных материалов на всех
складах, т.е.
nm
.
i
ba
11
ji
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте задачу линейного программирования в общем
виде.
2.
Какой вид могут иметь ограничения в ЗЛП?
3.
Можно ли в ЗЛП ограничение типа неравенства привести к
ограничению типа равенства? Каким образом?
4.
Как привести известные вам типичные ЗЛП к каноническому
виду?
Определите, к одномерному или многомерному виду относится
5.
задача о раскрое из примера 3.
6.
Предприятие выпускает два типа продукции ( 1, 2j ) и исполь
зует при этом три вида ресурсов ( 1,2,3i ). Запас каждого вида ресурса
ограничен условными величинами: 270, 600, 240 соответственно. На
производство единицы jго продукта расходуется a
13
ресурса:
a
ij
46 .
32
Доход от реализации единицы 1го продукта
единиц
ij
iго
составляет 3 у.е., 2го – 2 у.е. Осуществите постановку задачи по
определению объема производства каждого продукта таким образом,
чтобы при имеющихся ресурсах получить максимальную прибыль.
26
Составьте математическую модель транспортной задачи,
7.
имеющей следующие условия.
В трех пунктах отправления сосредоточен однородный груз в
количествах 420 т, 380 т и 400 т соответственно, который необходимо
перевести в три пункта назначения в количествах, равных 260 т, 520 т и
420
т соответственно. Тарифы перевозок 1 т груза из каждого пункта
отправления в каждый пункт назначения задаются матрицей
243
758.
697
Найдите план перевозок, обеспечивающий вывоз имеющегося в
пунктах отправления и завоз необходимого в пунктах назначения груза
при минимальной общей стоимости перевозок.
8.
Сформулируйте задачу о передаче максимального количества
информации по разветвленной сети каналов связи между двумя
пунктами.
27
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
x
ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
3.1. Свойства решений задач линейного программирования
1) Множество допустимых значений задач линейного программи
рования является либо пустым, либо выпуклым множеством.
2)
Если множество допустимых значений не пусто и целевая функ
ция ограничена сверху на этом множестве, то задача максимизации
имеет решение.
3) Оптимальное решение ЗЛП всегда находится на границе
допустимой области.
Примечание
лым, если вместе с двумя точками
множество содержит и отрезок, их соединяющий (рис. 2).
. Множество в пространстве Rn называется выпук
11 1
xxx x ,
112
,,,
xxx x
212
n
22 2
,,,
n
Рис. 2. Примеры выпуклых (а) и невыпуклых (б) множеств
3.2. Опорные решения задач линейного программирования
Предположим, что ЗЛП приведена к канонической форме
n
cx
ii
i
1
axax ax b
11 1 12 2 1 1
.................................................
axa x axb
11 22
mm mnnm
xjn
0, 1,..., .
j
max,
D
i
... ,
nn
... ,
28
В векторном виде:
(
A
(
)
j
x
j
A
A
A
B
(
)
x
x
Ccc c AAA A A aa a
, ,...,), , ,, , , ,, ,
12 1 2 1 2
nniiimi
( , ,..., ) , ( , ,..., ),
Bbb b X xx x
(, ) max,
12 1 2 3
CX
T
m
T
xAx Ax B
11 2 2
0, 1, ..., .
xj n
j
... ,
nn
Допустимое решение задачи в канонической форме – вектор
Xx xx , где 0
шением (планом) ЗЛП, если векторы условий
0, , , 0, , 0, , 0, ...,
12
jj
– называется опорным ре
k
j
m
, , ,...,
AA A
jj j
123
, соот
k
ветствующие ненулевым координатам вектора X , образуют линейно
независимую систему векторов.
3.2.1. Свойства опорных решений
1) Если допустимое множество ЗЛП в канонической форме не
является пустым множеством, то ЗЛП имеет опорное решение.
2)
Опорные решения являются крайними точками допустимого
множества ЗЛП (вершины многогранника).
3)
ЗЛП в канонической форме имеет конечное число различных
опорных решений (либо не имеет их вообще).
4)
Если ЗЛП в канонической форме имеет оптимальное решение,
то это оптимальное решение является опорным.
Из свойств опорных решений следует, что искать оптимальное
решение задачи линейного программирования необходимо среди ее
опорных решений, что всегда можно сделать, так как опорных решений
конечное число.
3.2.2. Поиск опорного решения
того чтобы найти некоторое опорное решение ЗЛП, достаточно
Для
выбрать базис системы векторов
,,,
AA так, чтобы вектор ограни
12
n
чений B раскладывался по нему с неотрицательными коэффициентами,
то есть найти базис
причем все
,,,
dd d – неотрицательные числа
12
деления такого базиса опорное решение
, ,...,
AA такой, что
ii i
12
r
r
dA dA dA;
12
ii ri
12
0
d . После опре
j
...
r
записывается в виде
0,..., , 0,..., 0, , 0,..., 0,
ddd .
iii
12
r
29
Напомним, что базис векторов в nмерном векторном пространстве –
x
это множество линейно независимых векторов, такое, что любой
вектор из рассматриваемого пространства представим в виде линейной
комбинации векторов базиса.
Пример 4
Найти опорное решение задачи
min
при ограничениях:
Для этой задачи
112 12
AA A A B
12 3 4
,,,,
12 1 10
Составим систему уравнений:
dA dA dA dA B d
11 22 33 44
Получим:
xx xx
12 34
xxxx
1234
xj
j
xxx
1234
22;
20,
0, 1, 2, 3, 4.
.
;0.
i
dd dd
12 34
dddd
1234
22;
20.
.
Положим, не ограничивая общности,
Получим решение
14
1dd и, следовательно,
23
0dd.
1, 0 , 0, 1x – опор
ное решение.
Если принять
22
dd
,
34
53
, и соответствующее решение
0, 0dd, то решением системы будут значения
12
x
22
0, 0, ,
53
не яв
ляется опорным (заметим, что оно не является и допустимым в силу
того, что
0x ).
4
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]