Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы решения задач оптимизации. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ КУРСОВЫХ РАБОТ

1. Постановка и решение задач линейного программирования

разработать процедуру поиска опорных решений, использовать их в

(

качестве начальных приближений ЗЛП).

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

градиентным методом.

Исследование эффективности методов решения СЛАУ (в том

числе и плохо обусловленных) 10го порядка: провести сравнительный анализ методов Гаусса (LUразложения), простой итерации, Зейделя, релаксации.

Решение плохо обусловленных СЛАУ с использованием метода

регуляризации матрицы коэффициентов.

Решение недоопределенных и переопределенных СЛАУ (ис

пользовать процедуру умножения матрицы коэффициентов и правой части на транспонированную матрицу коэффициентов).

Решение линейных неравенств.

Исследование эффективности методов решения систем нелинейных

алгебраических уравнений (СНАУ): провести сравнительный анализ методов Ньютона, Ньютона – Рафсона, Левенберга – Марквардта.

Отыскание корня таблично заданной функции с использо

ванием полиномов Ньютона и Лагранжа.

Приближение таблично заданной функции по методу

наименьших квадратов функциями специального вида.

Решение двухточечной задачи для обыкновенных диффе

10.

ренциальных уравнений 2го порядка методом стрельбы.

Постановка и решение задач выпуклого программирования.

11.

Минимизация функций различными методами.

12.

Многомерная оптимизация нулевого порядка (сравнить эф

13.

фективность методов покоординатного спуска и случайного поиска).

Одномерная оптимизация первого и второго порядков

14.

сравнить эффективность методов градиентного поиска и Ньютона).

(

Постановка и решение задач нелинейного программирования

15.

методами внутренней, внешней точки и методов Лагранжа

разработать процедуры решения, оформить в виде пакета программ,

(

сравнить результаты).

Решение некорректных задач методами регуляризации.

16.

Постановка и решение задач оптимального управления.

17.

Оптимизация недифференцируемых функций с помощью

18.

методов интерполяции.

121

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены численные методы и алгоритмы решения задач математического программирования.

Настоящее учебное пособие подготовлено в результате перера ботки и дополнения курса лекций, читаемых студентам специальности

230400 «

дарственного университета архитектуры и строительства. Здесь изла гаются основные вопросы по элементам линейного программирования, выпуклого программирования, рассматриваются методы безусловной оптимизации и методы нелинейного программирования. Авторы стремились изложить основной материал этой части таким образом, чтобы он мог служить практическим руководством к решению задач, в том числе с использованием интегрированного пакета Mathcad.

Предложенные в данном учебном пособии контрольные вопросы и задания призваны закрепить теоретические основы и способствовать развитию практических навыков, полученных в результате изучения курса «Численные методы и методы оптимизации». При усвоении данной дисциплины у студентов и слушателей курса формируются знания о численных методах алгебры и математического анализа, о методах отыскания экстремумов функций и их применимости в про фессиональной деятельности, а также умения использовать численные методы для решения линейных уравнений и систем, методы оптимизации для отыскания точек экстремума функций без ограничений и при их наличии. Вырабатывается умение реализовывать численные методы и методы оптимизации в интегрированной математической среде MathCad.

Необходимыми предпосылками для успешного усвоения дисци плины являются знания, умения, навыки, компетенции, сформиро ванные у студентов при изучении таких курсов, как математика, дискретная математика, дифференциальные уравнения, информатика, вероятность и статистика, вычислительная математика.

При изложении материала соблюдались требования государствен ных стандартов и использовались дидактические единицы: основные этапы численного эксперимента, требования к алгоритмам, задачи ли

нейного программирования, геометрическая интерпретация, опорные

решения, численные методы решения задачи выпуклого програм мирования, функция Лагранжа, теорема Куна – Таккера, методы отыскания экстремумов функций без ограничений, методы численного решения задачи нелинейного программирования и др.

Учебное пособие может быть полезным студентам всех направ лений, а также аспирантам, инженерам и экономистам, желающим быстро овладеть основами численного решения задач оптимизации.

Информационные системы и технологии» Пензенского госу

122

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и

задачах [Текст]: учеб. пособие / И.Л. Акулич. – 2е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

Аттетков, А.В. Введение в методы оптимизации [Текст]: учеб.

пособие / А.В. Аттетков, В.С. Зарубин, А.Н. Канатников. – М.: Финансы и статистика; ИНФРАМ, 2008. – 272 с.

Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс [Текст]: пер. с

англ. / Б. Банди. – М.: Радио и связь, 1988. – 128 с.

Васильков, Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в

математическом моделировании [Текст]: учеб. пособие / Ю.В Ва сильков, Н.Н. Василькова – М.: Финансы и статистика, 1999. – 256 с.

Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах

Текст]: учеб. пособие для вузов. В 2х ч. Ч. 1. – 7е изд., испр. /

[

П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – М.: Издво

Оникс»; Издво «Мир и образование», 2008. – 3688 с.

Зангвилл, У. Нелинейное программирование. Единый подход

Текст]: пер. с англ./ У. Зангвилл.; под ред. Е.Г. Гольштейна. – М.: Сов.

[

Радио, 1973. – 312 с.

Карманов, В.Г. Математическое программирование [Текст]:

учеб. пособие / В.Г. Карманов. – М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит.,

1975. – 272

Кошев, А.Н. Введение в численные методы [Текст]: учеб. пособие

А.Н. Кошев, С.В. Бакушев, И.Г. Гвоздева. – Пенза: ПГАСА, 2000. – 53 с.

Кошев, А.Н. Численные методы и методы оптимизации

Текст]: учеб. пособие: в 2х ч. / А.Н. Кошев, В.В. Кузина. – Пенза:

[

ПГУАС, 2004. – 136 с.

10.

мирование [Текст]: учебник / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Хо лод; под общ. ред. А. В. Кузнецова. – Мн.: Высш. шк., 1994. – 286 с.

11.

системы» [Текст]: методические указания для студентов специаль ности «Информационные системы и технологии» по выполнению кур совых работ / А.Н. Кошев, В.В. Кузина. – Пенза: ПГУАС, 2006.– 28 с.

12.

Текст]/ А.Д. Мышкис. – Изд. 2е, испр. – М.: Едиториал УРСС,

[

2004. – 192

с.

Кузнецов, А.В. Высшая математика: Математическое програм

Курсовые работы по направлению 230200 «Информационные

Мышкис, А.Д. Элементы теории математических моделей

с.

123

13.

Охорзин, В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD

Текст]: учеб. пособие / В.А. Охорзин. – 2е изд., испр. и доп. – СПб.:

[

Лань, 2008. – 352 с.

Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах

14.

Текст]: учеб. пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. – М.: Высшая

[

школа, 2002. – 544 с.

Плис, А.И. Mathcad. Математический практикум для инжене

15.

ров и экономистов [Текст]: учеб. пособие / А.И. Плис, Н.А. Сливина. –

е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656 с.

2

Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах

16.

Текст]/ Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. – М.: Наука. Гл. ред. физ.

[

мат. лит., 1975. – 320 с.

Ромакин, М.И. Математический аппарат оптимизационных

17.

задач [Текст]/ М.И. Ромакин. – М.: Статистика, 1975. – 112 с.

Самарский, А.А. Введение в численные методы [Текст]: учеб.

18.

пособие для вузов / А.А. Самарский. – 2е изд., перераб. и доп.– М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1987. – 287 с.

Самарский, А.А. Задачи и упражнения по численным методам

19.

Текст]: учеб. пособие / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А.

[

Самарская. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 208 с.

Супрун, А.Н. Вычислительная математика для инженеров

20.

экологов [Текст]: метод. пособие / А.Н. Супрун, В.В. Найденко. – М.: Издво Ассоциации строительных вузов, 1996. – 391 с.

Табак, Д. Оптимальное управление и математическое програм

21.

мирование [Текст]/ Д. Табак, Б. Куо; пер. с англ.; под ред. Я.З. Цып кина. – М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. Лит., 1975. – 280 с.

Тыртышников, Е.Е. Методы численного анализа [Текст]: учеб.

22.

пособие для студентов вузов / Е.Е. Тыртышников – М.: ИЦ

Академия», 2007. – 320 с.

Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование

23.

Текст] / Д. Химмельблау; пер. с англ. И.М. Быховской и Б.Т. Вави

[

лова; под ред. М.Л. Быховского – М.: Мир, 1975. – 534 с.

124

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгоритм 7, 34, 35, 54, 56, 59, 63, 66, 73, 74, 83, 84 Антиградиент 13, 68, 71 Аппроксимация квадратичная 76

Базис 29, 30, 35, 38, 6062

векторов 29, 30

–

Базисная

переменная 35

–

неизвестная 39, 40

–

Базисное решение 35, 36, 40, 113, 114

Вершина

вырожденная 31

–

симплекса 34

–

Выпуклость функции 9, 4450, 70, 9295, 111113

Генеральный элемент матрицы 3640 Градиент функции 1216, 31, 34, 6877, 90, 92

Допустимая область 31, 34, 46 Допустимое

множество 8, 11, 29, 111, 112, 119

–

значение 8, 29, 83

–

решение 11, 21, 29, 35

–

Допустимый многоугольник (решений) 31, 97

Задача

о планировании производства 24, 3234, 96

–

о раскрое 22

–

о рационе 24

–

транспортная 25

–

Задача оптимизации 8, 45

безусловной (условной) 8, 54

–

Задача программирования

выпуклого 8, 4250, 85, 92, 111

–

геометрического 9

–

динамического 9

–

125

–

дискретного 10 дробнолинейного 9

–

квадратичного 9

–

линейного 8, 1936, 90, 96

–

математического 8, 11

–

одномерная (многомерная) 9

– –

нелинейного 8, 11, 54, 8087, 92, 114

–

параметрического 10

–

сепарабельного 9

–

стохастического 9

–

целочисленного 9

–

Золотое сечение 55, 56, 101103

Комплекс 64

Комплексный поиск Бокса 64

Критерий оптимальности 5, 8, 12, 20

Линия уровня 12, 31, 34, 47, 48, 63, 69, 92, 98, 111, 112

Математическое

моделирование 6

–

программирование 8

–

Матрица Гёссе 4, 40, 45, 50, 69, 74, 75, 77,111, 112

Метод

безусловной оптимизации 4, 15, 47, 73

–

внешней точки 83, 84, 119

–

внутренней точки 83, 84, 117

–

второго порядка 76

–

градиентного спуска 6973, 77, 108, 109

–

золотого сечения 55, 56, 102, 103

–

комплексного поиска Бокса 5355

–

многомерной оптимизации 57, 91, 104

–

множителей Лагранжа 80, 82, 114

–

наискорейшего спуска 5964

–

Ньютона 76, 110, 117, 120

–

нулевого порядка 54

–

одномерной оптимизации 54, 91, 101

–

первого порядка 68

–

перебора 54, 101

–

повторяющегося случайного поиска 5557

–

126

–

покоординатного спуска 57, 104 прямого поиска 59, 60

–

симплексный 3440

–

случайного поиска 6668

–

сопряженного градиента Флетчера – Ривса 74, 75

–

Хука и Дживса 5963, 92

–

штрафных функций 82, 83

–

Минимум

локальный 12, 45, 47,

–

глобальный 12, 45, 47

–

Множество

выпуклое (невыпуклое) 9, 28, 31, 4245

–

допустимых решений (значений) 8, 11, 28, 100, 102, 107

–

Область

допустимая 46

–

регулярная 46

–

Объект 7 Оптимум 80

Параметры оптимизации 8 План оптимальный 19, 20, 36 Поверхность уровня 11 Позином 9 Правило Лопиталя 96 Производная по направлению 1317, 38

Решение

опорное 28, 30, 36, 80, 87, 90, 99

–

оптимальное 11, 15, 19, 24, 25, 32, 33, 36, 42, 46, 48, 76, 77, 86, 103

–

Симплекс 34

Теорема Куна – Таккера 4850, 85, 86, 92, 111, 112, 114 Точка

базисная (базис) 5962

–

внешняя 83, 84, 119

–

внутренняя 42, 43, 56, 83, 84, 77, 116, 117

–

граничная 42

–

допустимая 117

–

127

–

седловая 47, 48, 60,69, 81, 85, 102, 103 стационарная 13, 17, 69, 81, 94, 113

–

Форма

каноническая

–

ЗЛП 20 22, 28, 29, 34, 99

– –

ЗВП 47

– –

квадратичная 43, 50, 76

–

положительно (отрицательно)определенная 43

– –

положительно (отрицательно)полуопределенная 43

– –

линейная 19, 31

–

Функция

вогнутая 42, 45, 50

–

выпуклая 9, 4250, 70, 113

–

Лагранжа 47, 50, 86, 115

–

строго вогнутая 42

–

строго выпуклая 42, 43

–

целевая 811, 112, 120

–

штрафная 83, 54, 114, 116, 117

–

Условие выпуклости (регулярности) 46, 48

Центр тяжести 64

Экстремум 5, 8, 11, 12, 15, 16, 52, 81, 93, 114

128

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.......................................................................................................3

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

И СОКРАЩЕНИЙ ............................................................................................4

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................5

Часть I. Курс лекций............................................................................................... 11

1. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ....................... 11

1.1. Общие понятия.......................................................................................... 11

1.2. Теоремы о функции, имеющей производную

по заданному направлению................................................................... 13

Контрольные вопросы и задания ................................................................ 17

2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ................ 19

2.1. Общая постановка задачи ...................................................................... 19

2.2. Каноническая форма представления ЗЛП ...................................... 20

2.3. Формулировка некоторых типичных задач

линейного программирования............................................................. 22

2.3.1. Задача о раскрое ............................................................................ 22

2.3.2. Задача о планировании производства ................................... 24

2.3.3. Задача о рационе............................................................................ 24

2.3.4. Транспортная задача.................................................................... 25

Контрольные вопросы и задания ................................................................ 26

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ........................................... 28

3.1. Свойства решений задач линейного программирования ........... 28

3.2. Опорные решения задач линейного программирования............ 28

3.2.1. Свойства опорных решений ...................................................... 29

3.2.2. Поиск опорного решения ........................................................... 29

3.3. Графический метод решения ЗЛП ..................................................... 31

3.4. Симплексный метод решения ЗЛП.................................................... 34

3.4.1. Алгоритм симплексJметода ....................................................... 35

Контрольные вопросы и задания ................................................................ 40

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ................. 42

4.1. Основные определения........................................................................... 42

4.2. Теоремы о выпуклых функциях .......................................................... 43

4.3. Задача выпуклого программирования (ЗВП)................................ 46

4.3.1. Условие регулярности Слейтера............................................. 46

4.3.2. Функция Лагранжа....................................................................... 47

129

4.3.3. Седловая точка ............................................................................... 47

4.3.4. Теорема Куна – Таккера .............................................................48

4.3.5. Теорема Куна – Таккера для дифференцируемых

функций.......................................................................................... 49

Контрольные вопросы и задания ................................................................53

5. МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ (минимизация

без ограничений)............................................................................................... 54

5.1. Методы нулевого порядка...................................................................... 54

5.1.1. Методы одномерной оптимизации .........................................54

5.1.2. Методы многомерной оптимизации....................................... 57

5.2. Методы первого порядка ........................................................................ 68

5.2.1. Метод градиентного спуска ....................................................... 69

5.2.2. Метод сопряженного градиента Флетчера – Ривса..........74

5.3. Методы второго порядка ........................................................................76

5.3.1. Метод Ньютона ..............................................................................76

Контрольные вопросы и задания ................................................................78

6. ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ .......... 80

6.1. Метод множителей Лагранжа............................................................... 80

6.2. Метод штрафных функций.................................................................... 82

6.3. Седловая точка для задачи нелинейного программирования.. 85

Контрольные вопросы и задания ................................................................88

Часть II. ПРАКТИКУМ.

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ

В СРЕДЕ MATHCAD..................................................................................... 89

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ............................................. 89

Лабораторная работа 1. Общая схема исследования функций

методом дифференциального исчисления

(входной контроль).................................................................................. 89

Лабораторная работа 2. Градиентное исследование функции.......... 90

Лабораторная работа 3. Задача линейного программирования ....... 90

Лабораторная работа 4. Одномерная оптимизация.............................. 91

Лабораторная работа 5. Многомерная оптимизация ...........................91

Лабораторная работа 6. Задача выпуклого программирования....... 92

Лабораторная работа 7. Задача нелинейного программирования...92

РЕКОМЕНДАЦИИ И ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ........................................................................93

Пример выполнения лабораторной работы 1.

Исследование функций..........................................................................93

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]