Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы решения задач оптимизации. Учебное пособие
.pdf
Дайте определение выпуклого множества и приведите примеры
()
f
4.
выпуклых и невыпуклых множеств.
5.
В каком месте допустимой области ЗЛП находится ее оптималь
ное решение?
6.
Какие решения ЗЛП называются опорными?
7.
Как можно определить опорные решения ЗЛП аналитически и
графически?
8.
К какому виду необходимо привести ЗЛП для решения ее сим
плексным методом?
9.
Как выбирается генеральный элемент в симплексметоде?
10.
Имеются листы бумаги размером 10 10 см. Из этой бумаги
необходимо вырезать 5 равносторонних треугольников со стороной 6
см; 8 кругов диаметром 4 см; 7 прямоугольников со стороной 5 см.
Сформулируйте ЗЛП для определения оптимального плана раскроя
листов бумаги, минимизирующего функцию отходов. Решите задачу
графически. Определите опорные решения.
11.
Решите ЗЛП симплексметодом
при ограничениях
xxxxxx
2623 min
12345
92 4;
x xxx
1345
3233;
xxxxx
123 4 5
,,,, 0.
xxxxx
12345
41
4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
(
)
x
x
f
[
]
((1)) ()(1)()
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
4.1. Основные определения
Как нам уже известно, множество
если вместе с парой точек
соединяющий.
Таким образом, множество X называется выпуклым, если для лю
бой пары точек
где 01 .
Точка x из множества X называется внутренней точкой, если
существует е – окрестность этой точки, которая целиком содержится во
множестве X.
Точка x из множества X называется граничной точкой, если для нее
существует окрестность, часть которой лежит в множестве X, а часть –
за его пределами, но не существует окрестности, которая целиком
содержится в множестве X.
Функция
X, называется выпуклой, если для любых точек
значения
0,1
выполняется неравенство
,xxX выполняется включение
12
)(
, определенная на некотором выпуклом множестве
,xx X оно содержит отрезок, их
12
XR называется выпуклым,
n
1
12
,xx X и для любого
12
xX ,
xxfx
121 2
Если неравенство строгое, то функция называется строго выпуклой:
11
xxfx
Если неравенство нестрогое, но развернуто в другую сторону, то
функция называется вогнутой:
для строгого неравенства – строго вогнутой:
Можно доказать, что функция является выпуклой тогда и только тогда,
когда для любой пары точек из области определения выполняется
неравенство
121 2
11
xxfx
121 2
11
xxfx
121 2
11 1 1
xx
12 1 2
22 2 2
x
x
.
x .
x ,
x .
x
.
42
Квадратичной формой относительно переменных
x
f
()
()
(
)
()
f
()
f
(
)
x
(
)
()
f
f
() ( )
f
f
()
f
f
,,,
xx
12
назы
n
вается числовая функция от этих переменных, имеющая вид
nn
cxx cxx cxx
11 1 1 12 1 2
ij
11
ij i j
.
Квадратичная форма называется положительно (отрицательно)
определенной, если
(
0fx
) для всех значений переменных
0fx
xxx x , кроме 0x .
,,,
12
n
Квадратичная форма называется положительно (отрицательно)
полуопределенной, если
чений переменных
набор переменных
xxx x
,,,
xx x
12
,,,
12
одновременно равны нулю, что
0
x (
и, кроме того, существует такой
n
, где не все значения переменных
n
.
x
0
x ) для любого набора зна
0
Квадратичная форма является выпуклой функцией, если она
положительнополуопределенная, и вогнутой функцией, если она
отрицательнополуопределенная.
4.2. Теоремы о выпуклых функциях
Будем рассматривать функции
множестве
XR .
n
Теорема 1.
x , выпуклые на выпуклом
Выпуклая функция, заданная на некотором выпуклом
множестве, непрерывна в любой его внутренней точке.
Условие для непрерывности функции:
Без доказательства).
(
lim
xx
0
x
.
x
0
Теорема 2.
Выпуклая функция
x , определенная на некотором
выпуклом множестве, имеет в любой внутренней точке этого
множества производную по любому направлению.
xsfx
f
lim
s
Без доказательства).
(
–
0
производная по направлению s.
43
Теорема 3.
()
f
y
(()
)()()
f
y
fy f
()
f
(())()[()()]
f
y
f
fy f
(())((1)) () (1)()
f
y
fy
fy f
(())())(()())
f
y
f
fy f
fy f
(())
f
y
()()
f
y
f
() ()
fy f
()| ( ) ( ()
)
y
f
y
(()
)()()
f
y
fy f
Функция
x , дифференцируемая в точке x на выпуклом
замкнутом множестве X , выпукла в том и только в том случае,
если для любой пары точек ,x
x
,
X выполняется неравенство
x
.
x
Докажем необходимость выполнения условия теоремы для
выпуклости функции
x .
Запишем условие выпуклости в виде
x
x
x
.
x
Действительно,
x
x
() () () () (() ()).
fy fx fx fx fy fx
x
x
Таким образом,
x
x
x
.
x
То есть
(())fx y x fx
Рассмотрим функцию
Тогда
() (0)
() (0)
и
lim
0
Рассмотрим
nn
ff
0
xx
11
ii
Следовательно, получим:
x
i
ii
x
x
x
,
x
x
0
x
ii
.
x
x
.
x
.
x
,
x
x
.
.
x
(13)
44
Теорема 4.
()
f
() ( )
f
f
(
)
[
]
() ( (1)) ()(1)( )
() ( )
f
f
()
f
x
x
()
f
x
()
g
g
()
y
()
g
()
gy
g
y
()
f
Локальный минимум
*
xX выпуклой функции
выпуклом множестве X совпадает с ее глобальным минимумом.
Доказательство.
Допустим, что в области определения функции f(x) существует
точка xX
такая, что
,
x
*
x
где
*
x – точка локального ми
нимума.
Выберем точку
xx x
1
*
,
0,1
и рассмотрим функ
цию f(x) в этой точке:
x на
fx f x x fx fx
***
()(1 )() (),
fx fx fx
т.е. получим для любой точки x, лежащей на отрезке
ство
x
*
. Это означает, что значение функции
x
как угодно близких к точке
чение функции
*
x ; следовательно, точка
**
,xx
*
( 0
), может быть меньше, чем зна
*
не является точкой
локального минимума, что противоречит условию теоремы.
Теорема 5.
Система неравенств
где
0, 1,..., ,
xim
i
– вогнутые функции, определяет выпуклое множество
i
Xxgxim
:
i
0, 1,..., .
Доказательство.
Пусть ,x
X , тогда
x и
i
0
i
0
. Так как функции
*
,
неравен
в точках,
x
i
– во
гнутые, то для любой точки
gx y gx gy
iii
110.
Следовательно, точка
0,1 имеем:
1.x
Теорема 6.
Функция
x , определенная и дифференцируемая на вы
пуклом множестве X , выпукла тогда и только тогда, когда
матрица Гёссе этой функции является положительнополуопре
деленной в любой точке множества X .
(Без доказательства).
X
45
Напомним, что матрица Гёссе
()
H
f
()
f
()
f
f
f
()
f
()
(
)
j
g
j
f
g
(
)
g
j
рых производных функции
2
xx
ij
– симметричная матрица вто
x
, а необходимыми и достаточными
условиями положительной определенности симметричной матрицы
являются: либо положительность определителя и всех главных
миноров матрицы, либо положительность всех ее собственных чисел.
Теорема 7.
Сумма любого конечного числа выпуклых функций является
выпуклой функцией.
(Доказательство методом математической индукции).
Теорема 8.
NN
Если функция
x выпуклая, тогда для
xs
ii
,1
ii i
11
выполняется неравенство
NN
x
s
ii i i
11
ii
.
s
(Без доказательства).
4.3. Задача выпуклого программирования (ЗВП)
Пусть X – выпуклое множество. Задача выпуклого программи
рования заключается в следующем: найти min
xX
0, 1, ..., ,
x
mx x x
0, 1, ..., ,
xin
i
где
(),
x
x – выпуклые функции на множестве X.
j
4.3.1. Условие регулярности Слейтера
Область
регулярной, если существует точка
что
(0)
xin и
i
, являющаяся допустимой областью ЗВП, называется
0, 1, ...,
(0) (0) (0) (0)
xxxx
(0)
x
j
0, 1, ...,
,
m .
,...,
1
x
при ограничениях
,
n
,...,
1
n
такая,
Слейтера.
Говорят, что для регулярной области выполняется условие
46
4.3.2. Функция Лагранжа
()
(
)
f
j
(,)() ()()(,)
f
f
(),()
()
g
g
g
j
(
)(,)(,)
(
)
L
(
)
x
(
)
(
)
Пусть
задача выпуклого программирования сформулирована в
канонической форме:
( ) 0, 1, 2, ..., ;
gx j m
j
xi n
i
Рассмотрим вектор
1, 2, ,
m . Построим функцию Лагранжа L(x, u) для задачи выпук
лого программирования:
Lxu
Здесь
а компоненты вектора
G
x
12
uuu u – множители Лагранжа.
xxxxx
min;
x
0, 1, 2, ..., .
uuu u , у которого juR и 0,
x
,,,
12
xugx
, ...,
m
,,,
12
x ;
, , ...,
12
;
n
(14)
m
m
(15)
jj
j
1
,Gu – скалярное произведение,
m
xGu
.
u
j
4.3.3. Седловая точка
**
,xu называется седловой точкой функции Лагран
u
j
жа
Пара
векторов
,Lxu, если вектор x* принадлежит области *,0,1,2,...,
и выполняется неравенство
****
,
Lx u Lx u Lxu. (16)
Это неравенство означает, что
а следовательно, и глобальный минимум в точке x
функция по переменной x) при
uu
имеет и глобальный максимум в точке
можно записать, что
**
,
Lx u Lxu
minmax
x
u
*
,
xu имеет локальный минимум,
*
(так как L – выпуклая
*
. Кроме того, функция
0
j
*
u при
.
,
*
x . Следовательно,
На рис. 5 показаны пример функции с седловой точкой и линии
уровня.
m ,
*
,
Lx u
47
Lxu()x2u2
(
)
x
(
)
j
x
(
)(,)(,)
y
() () () () () ()
f
f
f
j
()
L
L
Рис. 5. Седловая точка L(0, 0) и линии уровня
4.3.4. Теорема Куна — Таккера
Пусть
область является областью, удовлетворяющей условию
регулярности Слейтера для задачи выпуклого программирования (14).
Вектор
*** *
, , ...,
xx x
12
будет решением задачи выпуклого про
n
граммирования (14) тогда и только тогда, когда существует вектор
*** *
uuuu такой, что
и пара векторов
, , ...,
12
m
**
,
u является седловой точкой функции Лагранжа
**
0, 0,
xu где 1, 2,...,in и 1, 2, ...,
ij
m ,
для задачи выпуклого программирования (14), то есть выполняется
неравенство
****
,
Lx u Lx u Lxu.
Докажем достаточность условия теоремы.
Подставив выражения для функции
,Lx
из равенства (15) в
неравенство (16), получим:
mmm
***** *
xugx
Так как
jj jj jj
111
jjj
u – произвольная неотрицательная величина, то можно
xugx
заключить, что:
1)
*
gx (так как
j
0
mm
ug x ug x u
jj jj j
11
jj
****
() ()и 0
48
xugx
. (17)
);
()
m
j
()
()
() () () ()
f
f
() () ()
f
f
() ()
f
f
x
()
f
()
g
)
)
)
)
)
xj
2)
следует, что
Это возможно, только когда
**
ug x
jj
1
j
m
**
ug x
jj
j
1
, так как при 0, 1, 2, ,
0
но
0,
gx , а
j
u
j
*
m
1
j
0
**
ug x
jj
*
u
Тогда из правой части неравенства (17) получим:
mm
*** *
xugx
jj jj
jj
11
xugx
m из пункта 1
0.
j
.
0
,
m
jj
1
j
; следовательно,
x
.
*
Так как
x
*
gx , то
j
0
**
xugx
*
x
минимума.
4.3.5. Теорема Куна — Таккера для дифференцируемых функций
Если функции
x и
x из задачи выпуклого програм
j
мирования (13) непрерывно дифференцируемы в области ,
то, для того чтобы пара векторов
**
,xu представляла собой сед
ловую точку функции Лагранжа для данной ЗВП, необходимо и
достаточно выполнение следующих условий:
*
L
1
2
x
*
3
0; 1, 2, , ;
0;
x
*
L
*
,0;
x
n
– точка
*
L
4) 0;
5
u
*
6
ui m
0, 1, 2, , .
i
u
*
L
*
,0;
u
49
x
*** *
L
f
(
)
f
f
)(
)
uuu u
LL L
,,,
12
.
m
Здесь
*** *
***
,LLxu ,
LLL L
,,,
xx x
12
,
n
Данная теорема дает возможность решать задачу выпуклого про
граммирования путем сведения ее к решению системы уравнений и
неравенств.
Пример 7
, min,fxx x
12
,82;
xx x x x x
12 1 2 1 2
gx x x
112
gx x x
212
22
22
10;
20,50;
0; 0.
xx
12
Решение.
Проверим, является ли вогнутой целевая функция. Это можно
сделать разными способами:
С помощью матрицы Гёссе
1)
20
Hx
02
.
Определитель и главные миноры матрицы положительны; следо
вательно, матрица является положительнополуопределенной. Это
доказывает выпуклость функции
2)
С помощью собственных значений матрицы Гёссе
,fxx
12
.
20
0;
2
02
Это доказывает выпуклость функции
3)
Функция
сумму линейной функции
,fxx является выпуклой, т.к. представляет собой
12
112
вать как выпуклую) и квадратичной формы
2
0; 2 0.
82
xx (которую можно рассматри
1,2
,fxx .
12
22
xx
212
, которая яв
ляется положительноопределенной и, следовательно, также выпуклой.
Система ограничений задачи включает только лишь линейные
неравенства. Следовательно, можно воспользоваться теоремой Куна –
Таккера. Составим функцию Лагранжа по формуле (14):
,82(1
Lxu x x x x u x x u x x
22 22
12 1 2112 2 1 2
0,5 2
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]