Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы решения задач оптимизации. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Часть I. Курс лекций

(

)

1. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Общие понятия

Задача математического программирования состоит в том, чтобы найти экстремум (min, max) некоторой функции, зависящей от одной или нескольких переменных при выполнении ряда ограничений на эти переменные. Ограничения могут быть заданы в виде равенств и неравенств:

,,, min

xx x



xx k N





,..., 0; 1, , ;

,..., 0; 1, ,

,,,



M

;

(1)

Задачу (1) называют задачей математического программирования,

,,,

а функцию данном ограничениями, – целевой функцией. Переменные

это параметры оптимизации, каждая точка ляется допустимым решением, а множество

xx x 



, определенную на множестве

,,,

xxx x яв

,,,

R – множеством

допустимых решений, или допустимым множеством. Точка

xx

R , за

x , в

–

которой целевая функция принимает экстремальное значение, называется оптимальным решением. Обозначим

Xxx x ;

, , ...,





fx x











 







fx x

gx x









;







 





gx x





Тогда задачу нелинейного программирования можно записать в

()

векторной форме:





min;





(2)

В дальнейшем частные задачи оптимизации будем рассматривать в основном как задачи поиска минимума функции. Однако при решении реальных практических задач очень часто встречаются задачи и на максимум. Легко перейти от одного вида экстремума к другому путем

смены знака у критерия оптимальности:

Точка функции

вектор

    такой, что для любых значений

ющихся неравенству

,, ,,



*** *

Xxx x  называется точкой локального минимума

X в некоторой окрестности этой точки, если существует



xxx.

,,,



,,,

xxx    , выполняется неравенство

iii ii



min max

XX  .

 



, подчиня

Локальный минимум функции, который соответствует самому наименьшему значению функции из области значений, называется

глобальным минимумом.

Поверхностью уровня функции

в которых функция принимает постоянное значение, т.е.

X называется множество точек,



constX .

Если 2n  , поверхность уровня изображается линией уровня на плоскости.

Рассмотрим некоторую точку и вектор

1, 0

Dd.

Ddd d  , задающий направление в пространстве nR :

Совокупность точек

,,,



XX D ( – некоторый одномерный пара

X из области определения функции

метр) образует прямую, если      , и луч, если 0 .

Градиентом функции

,,,

xx  называют вектор



X ,



приложенный в точке X и имеющий направление нормали n к по верхности уровня функции в данной точке, а также длину, равную

 , где



 

XXX X

   

  



 

xx x



,,, .



То есть градиент представляет собой вектор частных производных

()



 



        

 















(3)



Вектор

антиградиентом функции.

Точка, в которой градиент функции

стационарной.

X , противоположный вектору градиента, называется



()0k

fx, называется



1.2. Теоремы о функции, имеющей производную по заданному направлению

Пусть

Величина показывающее мгновенную скорость изменения функции  вдоль

направления D и равное производной от функции  в направлении D:

Теорема 1.



  



XD XD    – скалярное произведение,

  

– некоторое заданное направление.

dddD ,,,

XD X





lim







. (4)

Производная по направлению D равна произведению

градиента на вектор D:

Доказательство.

Рассмотрим

ZX

ции







  .

XD X







XD X  – полное приращение функ

lim









Известно, что полное приращение функции ΔZ может быть пред

()





ставлено в окрестности точки X следующим образом:

 





 

, (5)

cos

где cos

xd , (6)

ii i

– направляющие косинусы единичного вектора D.

Подставив выражения (5) и (6) в формулу (4), получим:



cos( )













 

lim



Теорема 2.

Если

которой

XD   , то существует такая величина σ, при



XD X для любого



0,  .



Доказательство. Первое неравенство в условии теоремы означает, что производная

от функции  по направлению D положительна.

XD X





lim 0







Так как 0 , то, для того чтобы предел отношения был поло

жительным, необходимо, чтобы числитель был не меньше нуля для всех , достаточно близких к нулю, что доказывает утверждение теоремы.

Теорема 3.

Градиент

возрастания функции  в точке

X показывает направление наискорейшего



X .

Доказательство. Рассмотрим все направления

,,,

dd d  , в которых наблюда



ется возрастание функции, т.е.

XD   .



Так как

() ()

(

)

(

)

(

)

TT T

XD X D D        , то свое наи

cos

большее значение эта величина примет при угол

направлением градиента.

Так как величина производной по направлению показывает скорость возрастания функции в данном направлении, то отсюда следует утверждение теоремы.

Теорема 4.

В точке максимума X* функции (X) градиент равен нулю:

D  и, следовательно, направление D совпадает с



Доказательство.

Предположим, что

       

Следовательно, направление

****

   



0X  . Зададим направление



cos

0X  .

 

X есть направление, в кото

D 

, т.е. когда

DX .

0XD X X X



ром возможно возрастание функции (X) в сравнении со значением функции в точке

Значит, предположение о том, что

Пример 1.

Задана функция

Определить единичное направление e , совпадающее с направ

лением вектора D.

Из точки

сать уравнение этой прямой.

Вычислить градиент функции

Определить производную функции  по направлению :e



 .



Найти точки, в которых

на экстремум.

X , что невозможно, так как *X – точка максимума.



,0,5

xx x и направление



12 1 2

1; 1X провести прямую в направлении D и напи



0X  , неверно.

1; 0 , 5D  .



X .



0X  , т.е. точки, подозрительные

Решение.

Определим единичный вектор:

1; 0 , 5

  

Для построения прямой в направлении вектора D найдем еще





10,5

 

1,116 1,116



; 0,8944; 0,4472 .



одну точку на искомой прямой, например точку

10 0



1122

;Xxdxd , и запишем уравнение прямой, проходящей через

две точки в виде:

xxx



11 2 2

10 10

11 22



xxx



XXD, т.е.

Для точек

Градиент функции в точке

В точке

Производную функции  по направлению e вычислим, исходя

1; 1X  и



xx



21 1,51



  



1, 1X



 



из утверждения теоремы 1:

2; 1,5X  уравнение будет иметь вид:



или





  

 











 ,













0,5 0,5.xx

,Xxx находим по формуле (3):

 



где

X  ;



1; 1



0,8944; 0,4472e  .



Вычислим скалярное произведение двух векторов (как сумму

произведений соответствующих координат):



 

Определим точки, подозрительные на экстремум:



 

1; 1 0,8944; 0,4472 0,8944 0,4472 1,3416.

  



 



Видим, что и при подозрительных на экстремум. Область изменения функции

0x  ); следовательно, для данной функции не существует точек,

X не обращается в 0 ни в одной точке (в том числе



,  .



Контрольные вопросы и задания

1. Какие задачи решают и где применяются методы оптимизации?

На какие этапы можно разделить процесс принятия решений в

исследовании операций?

Что такое информационное моделирование?

Сформулируйте в общем виде задачу математического програм

мирования.

По каким признакам классифицируются задачи математического

программирования?

Что в задаче математического программирования называют

допустимым решением, а что – оптимальным решением?

Приведите пример задачи дробнолинейного программирования.

Какая функция называется целевой?

Чем задача безусловной оптимизации отличается от задачи

условной оптимизации?

Можно ли задачу поиска максимума функции преобразовать в

10.

задачу поиска минимума?

Приведите пример задачи математического программирования,

11.

не имеющей решения. Можно ли утверждать, что задача математи ческого программирования имеет решение, если допустимое мно жество замкнуто и ограничено?

Как построить линии уровня целевой функции?

12.

Что такое градиент функции?

13.

Что показывает вектор градиента, антиградиента?

14.

Как определить производную по направлению D?

15.

Чему равен градиент функции в точке экстремума?

16.

Нарисуйте локальный и глобальный минимумы функции в

17.

некоторой области.

Какая точка называется стационарной?

18.

Определите стационарную точку функции

19.

,fxx x x x x

(



12 1 2 1 2

на интервале

20.

Задана точка

0, 2);

1, 1X и определено направление



0, 2).xx

21D  . Точ



ки на прямой, соответствующие направлению D и проходящие через заданную точку, выражаются уравнением

XD

Напишите уравнение прямой, проходящей через заданную точку. Для функции

,0,1

xx x вычислите направление наиско



12 1 2

рейшего возрастания в точке

Определите точки экстремума функции Вычислите производную по направлению D в точке

1, 1X .



,xx .



X .

2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

(

)

()

2.1. Общая постановка задачи

Рассмотрим множество векторов

цию

Функция

, ,...,

()

xcx







  

xx, то есть представляет собой линейную форму.

, где jc – некоторые числовые коэффициенты.

,,,

xx x  линейна относительно переменных

XR ,

Xxx x и функ

, ,...,

Предположим, что на компоненты векторов X наложена система ограничений в виде линейных равенств и неравенств. Совокупность векторов X, удовлетворяющих этим ограничениям, составляет неко

торое множество

Говорят, что в пространстве мирования (ЗЛП), если определена линейная целевая функция

R .

R поставлена задача линейного програм

подлежащая минимизации, а также задана система линейных ограничений на компоненты векторов X в виде равенств и неравенств, определяющая

некоторую область

R

fx c x







; (7)

min







  

 



 

xlL

 



 

ax a iI

ij j i



 

bx bkK

kj j k



0, .



(8)

Здесь I, K, L – заданные целочисленные множества индексов.

Заметим, что решение такой задачи методом приравнивания к нулю частных производных и решения соответствующей системы невозможно, так как все производные равны константам.

2.2. Каноническая форма представления ЗЛП

()

Задачи линейного программирования возникают в различных обла стях науки, техники, экономической теории, медицине, социологии и т.д. В зависимости от целей решения, ЗЛП могут быть записаны в том или ином виде, однако существуют стандартные формы представления задач линей ного программирования, для которых разработаны методы и алгоритмы решения.

Канонической формой записи ЗЛП называют задачу

;

fx c x











 





 

ax a i m

ij j i



0, 1, , .



То есть в канонической форме ЗЛП все ограничения системы (8)

кроме неравенств, выражающих условие неотрицательности пере

(

менных) представлены в виде равенств и требуется найти максимум целевой функции.

Приведение задачи к стандартной или канонической форме легко осуществить, если использовать следующие положения.

1) Задача минимизации может быть преобразована в задачу мак

симизации путем смены знака у критерия оптимальности:

max



,1,,;



min

max

x и наоборот,



max

min

x .



2) Ограничения типа равенств и неравенств можно привести к

необходимой форме, используя следующие приемы:

а) ограничение типа  можно привести к ограничению  путем

умножения обеих частей неравенства на –1;

б) ограничение типа = приводится к двум ограничениям типа

неравенств  и , если потребовать их одновременного выполнения. Например, равенство

эквивалентно системе двух неравенств

1xx











в) ограничение типа неравенства можно всегда привести к ограничению

типа равенства путем добавления еще одной переменной неравенства. Так, например, ограничение

ax a x ax b   

11 22

ii inni

x в левую часть

...

можно привести к ограничению типа равенства добавлением положи

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]