Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы решения задач оптимизации. Учебное пособие
.pdf
Пример выполнения лабораторной работы 6.
f
f
f
()
Задача выпуклого программирования
Пример 26
Решить ЗВП
,min,fxx x
12
fxx x x x
,412812;
12 1 2 1
22
gx x x
gx x x
112
212
412 0,40;
2
4120,40;
xx
0; 0.
12
Начальное приближение взять из интервала
0,1 0,1 ; 0,5 2 .mx m nx n
Доказать выпуклость функций f и g
1.
2.
Нарисовать график функции и линии уровня.
3.
Проверить выполнение условия теоремы 3 для функции f:
Сформулировать условия теоремы Куна – Таккера для данной
4.
12
.
i
,.
xxx
121 2 1
x
x
задачи.
5.
Решить задачу.
Решение.
fxx x x x
,412812;
12 1 2 1
22
gx x x
gx x x
112
212
412 0,40;
2
4120,40;
xx
0; 0.
12
1.
Докажем выпуклость функций f и g
. Для этого достаточно
i
показать, что матрица Гёссе этой функции является положительно
полуопределенной в любой точке допустимого множества.
Матрица Гёссе имеет вид
22
ff
xx xx
11 12
Hx
22
ff
xx xx
21 22
.
111
Определим матрицу Гёссе целевой функции
(()
)()()
f
f
f
()()()()
x
f
(
(
)
x
(
)(
80
024
.
Определитель и главные миноры матрицы положительны; следова
тельно, матрица является положительнополуопределенной. Это
доказывает выпуклость функции
,fxx .
12
Система ограничений задачи включает только лишь линейные
неравенства. Следовательно, можно воспользоваться теоремой Куна –
Таккера.
1.
График целевой функции и линии уровня приведены на рис. 14.
fx1x2()4x1212x2
2
8x1 12
f f
Рис. 14. График целевой функции и линии уровня
3. Проверим условие теоремы (3) о выпуклости функции, т.е. убе
димся, что для любой пары точек x
, x2 из допустимого множества X
1
выполняется неравенство:
,
xxx
121 2 1
x
x
или
ff
Возьмем две произвольные точки
11 2 2
xxxfx
21 21 2 1
12
xx
11
1; 2);
12
.
x
x и вычислим
2; 3
левую часть неравенства:
f
88;
x
1
x
1
ff
11 22
xx xx
21 21
12
xx
11
81 8)(21
82 8)(32)8.
112
Вычислим правую часть неравенства:
() ()(
)(
)(
)
)
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
22 22
21
42 123 82 12
41 122 81 12)64.fx fx
Условие (13) теоремы 3 о выпуклости функции выполняется
(8 64
); следовательно, целевая функция
,fxx – выпуклая.
12
4. Составим функцию Лагранжа по формуле (15):
,412812(4120,4
Lxu x x x u x x u x x
22 2
121 112 212
4120,4
и запишем необходимые и достаточные условия существования
седловой точки построенной функции:
L
1
2
3) 0; 0;
4) 4 12 0,4 0;
8848 0;
xuux
x
1
L
x
2
x x u xux x u ux
,
xx
12
L
u
1
L
u
2
1121
24 12 12 0;
xuu
212
*
L
8848
x
xx
2
4120,4;
xx
12
111212122
12
24 12 12
0;
L
5) , ( 4 12 0,4) (4 12 0, 4) 0;
uxxuxxu
6) 0, 0.
uu
12
u
12 11 2 2
2
Полученную систему линейных неравенств можно преобразовать в
систему равенств и найти ее базисное решение, которое и будет
седловой точкой функции Лагранжа для исходной задачи, т.е. искомым
оптимальным решением.
Приведем различные варианты упрощения системы:
xuxux
1)
8848
11121
24 12 12
xuux
2122
4120,4)0;
xx u
12 1
0
u
2
0;
0;
113
(
)
(
)
xuxux
(
)
(
)
(
(
(
(
)
f
8848
11121
24 12 12
xuux
2122
0;
u
1
2
(4 12 0,4) 0
xx u
12 2
2)
0;
0;
3)
8848
xuxux
11121
24 12 12
4120,4)0.
xuux
2122
4120,4)0;
xx u
12 1
2
xx u
12 2
0;
0;
Решая последовательно полученные системы уравнений, находим
точки, подозрительные на экстремум. Среди них выбираем опти
мальную.
Например, в системе уравнений (3), допуская
0,759x
1
и
0,314u
2
, т.е. находим базисное решение системы
12
0ux, получаем
0,759;0;0;0,314). Подставляя его в условия теоремы Куна – Таккера,
получаем, что это базисное решение является оптимальным решением
исходной задачи:
0,759;0
15,832
.
Пример выполнения лабораторной работы 7.
Задача нелинейного программирования
Пример 27
Решить ЗНП методами множителей Лагранжа и штрафных
функций:
xx
fxx e
при ограничении
Решение.
Метод множителей Лагранжа
Запишем ограничение в виде
,0,02 min
12
22
40 5 2xx.
12
22
40 5 2xx.
12
12
114
Ограничение в виде неравенства преобразуем в ограничение в виде
xy
x
x
равенства, добавив неотрицательную переменную u
22 2
40 5 2 0.xx u
12
2
:
Сформируем функцию Лагранжа
xx
,,, 0,02 40 5 2
.
xu e x x u
12 1 2
12
,
:
22 2
Необходимыми условиями, которые должны выполняться в ста
ционарной точке, являются следующие:
0,02 80 0;
x
1
0,02 10 0;
x
2
xx
12
ex
xx
12
ex
22 2
40 5 2 0;
xx u
12
1
2
20.
u
u
Перебрав все возможные решения системы
xx
0,02 80 0;
0,02 10 0;
20,
12
ex
ex
40 5 2 0;
xx u
u
xx
12
22 2
12
1
2
найдем среди них точку минимума (0,75; 0,596). Значение целевой
x
функции
,0,02
fxx e
12
в этой точке
12
0,075; 0,596 0,039f .
Приведем это решение в системе MathCAD:
x1 0 x2 1 0 u0
115
Given
(
)
0.02e
0.02e
2 u 0
Find x1 x2 u
x1 x2
x1 x2
2
40 x1
2 u2 0
fx1x2( ) 0.02 e
80 x1 0
10 x2 0
2
5x2
0.075
0.596
6.56 10
x1 x2
f1 x1 x2()40 x1
3
0
2
2
5x2
2
ff1
x1 0. 075 x2 0.596 fx1x2()0.039
116
Метод внутренней точки
F
x
r
,0,02 min
fxx e
12
xx
12
при ограничении
22
40 5 2xx.
12
Составим штрафные функции:
X, R r x x
112
X, R r
2
ln 40 5 2 ,
40 5 2
22
1
22
xx
12
.
Теперь для решения задачи необходимо минимизировать одну из
функций:
xx
,0,02 ln4052
xx e r x x
11,2 1 2
12
22
или
xx
xx e r
Функции
(0) (0)
,xx при различных значениях ir таким образом, чтобы
12
или 2 минимизируются из начального приближения
1
,0,02 .
21,2
12
40 5 2
1
22
xx
12
X
было минимальным и выполнялись ограничения
Зададим
(0) (0)
0,075; 0,596xx и проверим условие:
12
40 0,075 5 0,596 2,001 2.
22
Поскольку ограничение выполняется, то точка
ренней (допустимой).
Минимизируем
fx1x2( ) 0.02 e
, xx методом Ньютона при
211
x1 x2
40 x1
5x2
x1 0. 075 x2 0. 596 0.001
2
1
2
.
0
i
(0)
является внут
1
.
2
117
Sx1x1
r
r
r
x2 x2
i 1 1000for
X1
X1
g1
A
X1 X1 A
x1 X1
0
1
d
d
d
d
x1
x2
d
fx1x2()
d
x1
d
fx1x2()
x2
d
d
d
x1 x1
d
x2 x1
d
0
fx1x2()
fx1x2()
1
g1
d
d
x1 x2
d
x2 x2
d
d
fx1x2()
d
d
fx1x2()
d
x2 X1
break g1
C
C
C
C
Как видно из приведенного решения в системе MathCAD, точка
минимума равна (0,075; 0,596).
Минимизация при
Минимизация
точке минимума (0,075; 0,596).
i
0
x1
1
x2
2
1
g1
1
0.075
if
0
S
1
0.596
10
приводит к тому же результату.
, xx при
212
1
и при
118
10
также приводит к
fx1x2( ) 0.02 e
x1 0.075 x2 0. 596 0.001
Sx1x1
x2 x2
i 1 1000for
x1 x2
10 ln 40 x1
2
5x2
2
2
X1
X1
g1
A
X1 X1 A
x1 X1
x2 X1
0
1
x1
x2
d
fx1x2()
d
x1
d
fx1x2()
d
x2
d
d
x1 x1
d
d
d
d
d
d
x2 x1
0
1
fx1x2()
fx1x2()
1
g1
d
x1 x2
d
d
d
x2 x2
d
fx1x2()
d
d
fx1x2()
d
break g1
C
C
C
C
i
0
x1
1
x2
2
g1
if
0
1
1
S
0.075
0.596
Метод внешней точки
Выберем начальную точку за пределами допустимого множества,
например
(0)
(0,08; 0,59)x
, для которой
40 0,08 5 0,59 1,996 2.
22
119
Составим функцию
,0,02 40524052
xx e r x x x x
12 1 2 1 2
10
,xx :
12
xx
12
22 22
и минимизируем ее методом Ньютона при
fx1x2()0.02e
x1 0. 08 x2 0.59 0.001
Sx1x1
x2 x2
x1 x2
140x1
i 1 1000for
2
5x22 2 40 x12 5x22 2
(0)
2
1r
.
2
X1
X1
g1
A
X1 X1 A
x1 X1
x2 X1
break g1
0
1
x1
x2
d
fx1x2()
x1
d
d
fx1x2()
d
x2
d
d
d
d
x1 x1
d
d
x2 x1
d
d
0
1
fx1x2()
fx1x2()
1
g1
0
d
d
d
d
g11
if
d
d
x1 x2
d
x2 x2
d
fx1x2()
C
C
C
C
fx1x2( ) 0. 02 e
Значение целевой функции
i
0
x1
1
1
x2
2
x1 x2
x1 0. 079 x2 0.592 fx1x2( ) 0.039
S
0.079
0.592
21
02,0,
в точке минимума
xx
21
exxf
039,0596,0;075,0 f .
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]