Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численное моделирование. Учебное пособие
.pdf
!
! ! !
!
Для нестационарных задач время рассматривается как
дополнительная координата. Численные процедуры требуют, чтобы
данная координата также была дискретна, то есть весь временной
интервал разделяется на шаги по времени. Решение уравнений
сохранения происходит на разных шагах по времени, в результате чего
для получения решен ия на текущий момент врем ени, требуется
решение с предыдущих шагов. Схемы интегрирования различаются по
количеству предыдущих шагов, использованных для получения
значения на текущем.
По умолчанию временное слагаемое аппроксимируется по одной
из наиболее широко используемых схем – схемой первого порядка,
неявной схемой Эйлера. Для этого используется решение на текущем
временном шаге, + ( p, и решение с предыдущ е го ш а га по в р ем ен и , + :
q
q"
#Z%&'-
4@a5
rst
u4@a5
r
v"
vV.
Для второго порядка используется линейный многошаговый метод
(Backward Differentiation Formula, BFD2), который использует значение
с текущего шага по времени, + ( p, и двух предыдущих шаго в,
+ и + = p:
q"
q
#Z%&'-
4w @a
rst
ux @ary4@a5
rzt
Ov"
v&.
Для схемы второго порядка на первых двух шагах применяется
схема Эйлера, так как нет данных для предыдущих шагов по времени.
Стоит отметить, что в STAR-CCM+ возможно использование
большого количества временных шагов, основанных на линейной
комбинаций второго порядка и схем более высоких порядков.
Однако наравне со схемой дискретизации, а зачастую и более
важным параметром, является выбор правильного шага по времени.
Выбрать правильный шаг по времени можно с помощью числа Куранта
(критерий Фридрихса-Леви). Физический смысл данного критерия
означает, что жидкость за один шаг по времени не должна
продвинуться больше, чем на один пространственный шаг.
В одномерном случае условие имеет вид {|}
A\h"
hC
,
где 8?U?скорость жидкости; g1U?временной шаг; g;U?шаг разбиения
по пространству (размер ячейки контрольного объема).
4.2. Дискретизация временного слагаемого
31
!
! ! !
!
4.3. Дискретизация конвективного слагаемого
Рассмотрим следующее слагаемое в уравнении сохранения.
Конвективный поток для аппроксимации записывают в виде
#$Z \ %]^c #$Zg,h^c 4~Z5ic ~iZ
iS
jklmn
ioN
jklmn
ioN
где ~Z - #8g, – поток массы через грань b.
Данная запись требует определить неизвестные переменные на
гранях контрольного объема. При этом метод, каким образом этот
поток определяется, оказывает большое влияние на сходимость и
точность решения. Д ля этого принимаются различные предположения
о виде профиля или интерполяционной формулы.
В качестве иллюстрации на рис. 4.3 показаны два простых
профиля.
Рис. 4.3. Аппроксимации профилей: ступенчатый и кусочнолинейный
В простейшем случае предполагается, что значение Z в узловой
точке сохраняется для всего окружающего ее контрольного объема, то
есть профиль ступенчатый. Однако для такого профиля на границах
контрольного объема не определена производная. При этом эта
трудность не возникает для кусочно-линейного профиля, у которого
изменение Z между узловыми точками описывается линейными
интерполяционными функциями.
32
!
! ! !
!
Рассмотрим различные схемы, используемые для численной
аппроксимации конвективного слагаемого.
4.4. Противопотоковая схема первого порядка
Противопотоковая схема первого порядка (upwind differencing
scheme) а ппр окс им ир ует значение на грани контрольного объема в
предположении о ступенчатом профиле в контрольном объеме. В этой
схеме поток массы через грань b зависит от направления течения и
вычисляется следующим образом:
4~Z5i-
~iZ•?€•‚ƒ?~i„ 2
~iZ…?€•‚ƒ?~i† 2
.
Здесь положительное значение потока массы выходит из
контрольного объема, а отрицательное — входит в контрольный
объем. Эта схема дискретизации основана на свойствах потока,
которые переносятся только вниз по течению. Если направлени е
потока жидкости совпадает с линиями сетки, то точность вы сока, если
направление потока находится под углом к линиям сетки, то
противопотоковая схема дает погрешность. Д анн ая погрешность
называется численной диффузией. Пример численной диффузии будет
представлен ниже.
Большим преимуществом данной схемы является то, что она
позволяет получить устойчивое численное решение. Для многих
практических задач не всегда получается получить сходящееся
решение на схемах более высокого порядка. Можно сначала получить
решение на противопоточной схеме, а потом переключиться на схемы
более высокого порядка, что позволит получить более высокую
точность решения с сохранением численной устойчивости.
4.5. Противопотоковая схема второго порядка
В этой схеме поток массы через грань b вычисляется так:
4~Z5i-
~i‡Zj€•‚ƒ?~i„ 2?
~i‡Z…€•‚ƒ??~i† 2
,
33
!
! ! !
!
где значения ‡Z• и ‡Ze линейно интерполируются из центров
контрольных объемов на грани контрольных объемов:
‡Z•- Z•( v,•46Z5• ;
‡Z•- Ze( v,e46Z5e,
где g,• и g,ˆ – расстояния от центров ячеек P и N до центра грани
b соответственно.
Вычисление значений градиентов PZe и PZ• в ячейках P и
N соответственно будут описано далее отдельно.
4.6. Схема центрального дифференцирования
Схема центрального дифференцирования (Central-Differencing)
представляет значение потока массы через грани контрольного объема
как линейную интерполяцию между значениями в центрах двух
соседних ячеек. В этой схеме поток массы через грань b вычисляется
так:
4~Z5i- ~i‰Ze( p = ‰ Z•3
где ‰ – геометрический фактор, определяемый по формуле
‰ -
Š‹uŠ
Œ
Š‹uŠ
d
,
где ••, •ˆ и •i – векторы, опр еде л яю щие положение центр о в ячеек
P, N и грани b соответственно.
Таким образом, значение ‰ зависит от сетки. Для изотропной сетки
‰ = 0,5.
Формально схема центрального дифференцирования является
схемой второго порядка. Для данной схемы сложно получить
стабильное решение для стационарных задач. Также данная схема
может приводить к ошибкам, связанных с численной дисперсией. Э то
может быть критичным для строго положительных величин
(температура или кинетическая энергия турбулентности), где нельзя
допускать отрицательных величин.
Преимуществом данной схемы над схемой второго порядка
является то, что при дискретизации скорости данная схема не приводит
к завышенной диссипации кинетической энергии турбулентности.
Поэтому данная схема рекомендуется для использования с моделью
крупных вихрей (LES), где противопоточные схемы приводят к
34
!
! ! !
!
ускорению диссипации кинетической энергии турбулентности за счет
численных эффектов.
Диссипации кинетической энергии турбулентности за счет
численных эффектов.
В STAR-CCM+ имеется множество других численных схем,
используемых для конвективной составляющей.
Как отмечалось выше, противопотоковая схема второго порядка
наиболее применима для стационарных расчетов, а для
нестационарных расчетов с применением моделей крупных вихрей
лучше использовать схему центральных разностей. Поэтому в STARCCM+ реализована гибридная схема, основанная на противопотоковой
схеме второго порядка и центральных разностей. Используемые в этой
гибридной схеме коэффициенты сглаживания зависят от режима
течения.
Для модели отсоединенных вихрей (DES) численной схемой по
умолчанию является гибридная противопотокая схема второго порядка
и ограниченная центральных разностей (Bounded Central Difference).
Здесь также коэффициенты сглаживания зависят от режима течения.
Данная схема позволяет получить более устойчивое решение. Эта
схема может быть более диссипати вной, чем схема центральных
разностей, особенно на более грубых сетках.
Для уменьшения эффектов, связанных с численной дисперсией, в
STAR-CCM+ реализована гибридная схема дискретизации третьего
порядка MUSCL 3rd-Order/Central-Differencing. Данная схема лишена
недостатков противопоточных схем и центральных разностей. Но
данная схема использует сглаживающий коэффициент, что
предоставляет больше возможностей для пользователя, хотя может
влиять на сходимость задачи.
4.7. Дискретизация диффузионного слагаемого
Рассмотрим аппроксимацию диффузионного потока, которая
записывается в виде
Ki- Ž6Z%‰^c Ž6Zv,? c Ž6Zv,Rh^
35
!
! ! !
!
Рассмотрим вычисление градиента скалярной величины. В случае
если общая грань соседних контрольных объемов ортогональна линии,
соединяющей центры контрольных объемов, имеем:
6Zi-
a‹ua
d
q^
.
В случае использования неортогональных сеток вектор градиента
скаляра раскладывают на сумму двух векторов, один из которых
параллелен вектору, соединяющему центры соседних контрольных
объемов, а второй перпендикулярен общей грани соседних
контрольных объемов, как показано на рис. 4.7.
Рис. 4.7. Разложение векторов для неортогональной коррекции
В данном случае в правой части уравнения появляется добавочный
член, который еще называют кросс-диффузией. Существует несколько
видов разложения. В STAR-CCM+ для вычисления градиента скаляра с
учетом кросс-диффузии используется следующее уравнение:
6Zi- Z•= Ze‰ ( 6a= 6a* %] ‰ 3
где ‰ -
•
•*q^
7
%] - ;•= ;e7
6a-
46a‹u6ad5
O
.
Так как напрямую вычислить добавочный член, используя только
значения переменных в двух узлах, не представляется возможным, то
используют значения, полученные на предыдущих итерациях или
предыдущем шаге по времени.
4.8. Вычисление градиентов
Дополнительной величиной, используемой в вычислениях,
являются гради енты в центрах контрольных объемов и в центрах
36
!
! ! !
!
граней контрольных объемов. Градиенты используются для построения
значений переменных на гранях ячейки, расчета кросс-диффузии для
диффузионных членов, расчета градиентов давления для связи
давление-скорость, расчета скорости деформации для моделей
турбулентности и др.
В общем виде используется следующая процедура вычисления
градиентов:
1. Вычисляются градиенты в центрах граней контрольных
объемов.
2. Вводятся ограничения на рассчитанные градиенты, так как в
общем случае значения могут быть выше и ниже максимального и
минимального значений в соседних ячейках.
3. Определяются значения градиентов в центрах контрольных
объемов.
Для вычисления градиентов обычно используются метод Гаусса и
метод наименьших квадратов.
§ Метод Гаусса. Данный метод позволяет вычислить градиенты
величин в ячейках по значениям величин в гранях. Вычисление
градиентов величин в ячейках на произвольных неструктурированных
сетках опирается на теорему Остоградского-Гаусса.
Предполагая, что градиент функции 6a постоянен в контрольном
объеме, формула переписывается в следующем виде:
6Z%&'- 6Ze&e- Z%,^,
где величина 6Ze обозначает градиент функции Z в ячейке •R
Таким образом, градиент скалярной функции Z в ячейке P
вычисляется следующим образом:
6Ze-
p
&
e
Zi]i3
jklmn
ioN
где φf – значение величины на грани; f – индекс грани;
nFace – количество граней контрольного объ ема; Sf – вектор,
ориентированный к внешней нормали, модуль которого равен площади
грани.
Значения величин на гранях вычисляются как среднее
арифметическое значение для соседних ячеек с центрами в точках P и
N: Zi-
aŒya
‹
O
.
37
!
! ! !
!
§ Метод наименьших квадратов. В этом методе для определения
градиента функции φ в ячейке P рассматриваются все соседние по
граням ячейки:
6Ze-
%, * %,
%, * %,
jklmn
ioN
uN
*?
Ze( Zj%,
%, * %,
jklmn
ioN
3
%, - ;j= ;…3
где ;e?– центр узла P; ;j– центр узла соседней ячейки к грани f;
Ze – значение функции Z в ячейке P; Zj – значение функции Z в
соседних ячейках.
§ Гибридный метод Гаусса – наименьших квадратов. В STARCCM+ применен гибридный метод Гаусса – наименьших квадратов,
так как данный метод является более точным для значений градиентов
в ячейках общего вида (м но го гра нны х ячеек), чем метод
Остроградского-Гаусса. Данный метод использует оба описанных
выше метода для получения градиента с применением сглаживающей
функции.
4.9. Краевая задача
Граничные и начальные условия – это дополнение к основному
дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных
производных), задающее его поведение на границе рассматриваемой
области и в начальный момент времени.
Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а
целое бесконечное количество решений. Начальные и граничные
условия позволяют выбрать из них одно, соответствующее реальному
физическому процессу или явлению.
Приведенные выше дискретные выражения для конвективного и
диффузионного потоков действи тельны для всех внутренних
поверхностей ячеек. На гранях контрольных объемов, которые
совпадают с границами расчетной области, применяются граничные
условия. Интегралы по граничным поверхностям выражаются как
функции заданных граничных условий и значений в ячейках.
38
!
! ! !
!
Так, для граничных условий первого рода конвективная
составляющая будет определяться следующим образом:
#$Z * %]^c ~‘Z‘3
jklmn
ioN
где Z‘ – значение функции Z на границе.
А для диффузионного потока градиент функции Z :
6Zi-
4a’uad5
q^
.
Для граничных условий второго рода диффузионные потоки
рассчитываются непосредственно по значениям на границе.
В STAR-CCM+ по умолчанию все поверхности расчетной области
заданы адиабатическими стенками. Пользователь сам должен только
назначить граничные условия в расчетной области. Для несжимаемых
сред наиболее р аспро страненн ыми и стабильными является пар а
граничных условий «Velocity Inlet – Pressure Outlet» или «Velocity Inlet
– Outlet», для сжимаемых сред «Stagnation Inlet – Pressure Outlet» или
«Mass Flow Inlet – Pressure Outlet».
Начальные условия задаются в качестве распределения скалярных
величин и потоков в расчетной области.
По умолчанию в качестве начальных условий в STAR-CCM+
задано нулевое распределение полей скорости и давления. Чем ближе
начальное условие к тому, что получается в расчете, тем проще и
быстрее задача сходится. Поэтому по возможности необходимо задать
начальное приближение для решения (например, в виде давления по
высоте или начального распределения скорости при наличие
доминирующего направления течения).
4.10. Система линейных алгебраических уравнений
Из-за нелинейного характера задачи требуется итерационное
решение. При этом имеются два уровня итерации: «внешний »
итерационный цикл, управляющий обновлением решения, и
«внутренний» цикл, управляющий ИТЕРАЦИОННЫМ решением
системы алгебраических уравнений. Поскольку «внешние» итерации
повторяются многократно, система алгебраических уравнений
решается приблизительно на каждой итерации.
39
!
! ! !
!
Итак, имеем систему алгебраических ур ав н ен и й , которую запиш е м
в стандартном виде, в котором обычно представляются дискретные
аналоги:
?
`
…
V
6Z…( `j6Zj- •7
j“n””
joN
6Z…- Z
…
•st
= Z
…•3
где `… и `j – это коэффициент дискретного аналога в ячейках P и в
соседних ячейках n соответственно ; V – коэффициент релаксации;
k – индекс предыдущей итерации.
Правая часть • – это невязка и представляет дискретную форму
исходного уравнениях Навье-Стокса на предыдущей итерации k. Таким
образом, по определению, невязка становится равной нулю, когда
дискретное уравнение точно выполняется:
• -
%
%1
#Z& ( #Z$ * ,i= .6Z * ,i= ,a&ii- 2R
В STAR-CCM+ решение системы линейных уравнений происходит
с помощью метода сопряженных градиентов для симметричных
матриц и би-сопряженных градиентов для асимметричных матриц с
применением многосеточного метода (AMG) для предобуславливания.
Контрольные вопросы
1. В чем особенность метода контрольного объема?
2. Какие интегралы необходимо вычислить для граней
контрольного объема?
3. Каким образом определяются значения в центрах граней
контрольного объема?
4. Какие существуют схемы интерполяции из центров
контрольных объемов?
5. Что такое дискретизация временного слагаемого?
6. Что такое дискретизация конвективного слагаемого?
7. Какие используют схемы для численной аппроксимации
конвективного слагаемого?
8. Что такое краевая задача?
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]