Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численное моделирование. Учебное пособие
.pdf
!
! ! !
!
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В STAR-CMM+
STAR-CCM+ является одним из самых мощных CFD кодов,
позволяющих решать сложные мультифизичные задачи, изучать
физические процессы и явления. Код постоянно развивается и
совершенствуется. В общем случае огромный пласт
гидрогазодинамических процессов (движение вязкой ньютоновской и
неньютоновской жидкостей) описывается уравнениями Навье-Стокса.
3.1. Уравнения Навье-Стокса
Над созданием современного кода работают сотни специалистов
по всему миру, проводят тестирование и отладку. Пользователю
остается только применять код. Далее будут рассмотрены
применяемые в коде уравнения и методы их решения, а также общие
вопросы решения уравнений вычислительной гидродинамики.
Рассмотрим уравнения Навье-Стокса. В общем случае эта система
уравнении описывает движение вязкой ньютоновской и
неньютоновской жидкостей.
Существуют 72 варианта записи этих уравнении, и все эти
варианты эквивалентны с точки зрения математики.
Основные классификации записи уравнений Навье-Стокса:
• интегральная или дифф еренциальн ая форма;
• в стационарной или подвижной системе координат;
• в зависимости от выбора базиса векторов и др.
Запись уравнений сохранения в интегральной форме:
!
!"
#$%&'( #$$)* + %, - .)* + %, ( #/%&';
0
01
# %&'( #$)* + %, - 23
где V – замкнутая область произвольного объема, dV – зам кнутая
поверхность объема; dS= n*dS – элем ент поверхности S, умноженный
на единичную нормаль n к ней; # – плотность; р – давление;
$ – скорость; t – время; T – температура.
21
! ! !
!
Иногда для решения задачи используются разные записи
уравнений для различных частей расчетной области. Например, запись
для стационарной системы координат в области с неп одвижн ыми
границами и запись для подвижной системы координат в областях с
подвижными границами. Осн о в н о й це л ью ис по л ьз о в ан и я раз ны х фо р м
записи уравнени й Навье-Стокса обычно является расширение
возможностей стационарных расчетов. Тако й подхо д примен я етс я для
моделирования вращения рабочих колес насосов, корабельных винтов
и др. Однако применяя такие подходы, могут возникать
дополнительные численные проблемы (например, связан ные с
сохранением компонент скорости на интерфейсах).
3.2. Ньютоновская жидкость
В предыдущем пункте учебного пособия 3.1 было указано, что
система уравнений Навье-Стокса описывает движение вязкой
ньютоновской жидкости.
Ньютоновская жидкость – это жидкость, подчиняющаяся закону
вязкого трения Ньютона. То есть касательное напр яжен ие линейно
Запись уравнений сохранения в векторной форме:
04#$5
( 6 * #$$ - 6 * . ( #/7
01
04#5
!
( 6 * #$ - 23
01
где 6-оператор на
Запис
ь уравнений сохра
декартовой системы коорди
бла.
нения в дифференциальной форме для
нат:
04#8
01
04#8
5
9
(
0;
:89
:
0<
5
0;
9:
0>
=
:
0;
( #;9?7
9
(
!4@AE5
!F
(
!4@AG5
!H
- 2.
Однако, с
!4@5
!"
(
!4@AB5
!C
B
-
!4@5
!"
(
!4@AD5
!C
точки зрения применения, для CFD некоторые из них
менее удобны.
22
!
! ! !
!
пропорционально градиенту скорости, где тензор вязкостных
напряжений зависит от скорости, выраженной через тензор скорости
деформации:
. - IJK =
I
L
J 6 * $ M7
K -
N
O
4P$ ( 4P$5Q5,
где µ – динамическая вязкость.
Для несжимаемых сред второе слагаемое в тензоре скорости
деформации равно нулю.
. - IJKR
Данному закону подчиняются такие среды, как воздух, вода, ртуть,
глицерин, лимфа, плазма крови.
Для многих сред закон вязкого трения Ньютона не справедлив.
Примером таких сред являются суспензии, краски, кровь, эмульсии,
крем, майонез и др.
Модель ньютоновской жидкости — это простейшая
математическая модель для описания вязкостного члена для многих
жидкостей. STAR- CON+ позволяет рассчитывать и неньютоновские
жидкости, пользователю надо только выбрать соответствующую
реологию. Для упрощения изложения далее будут рассмотрены только
ньютоновские жидкости.
Замыкание уравнений Навье-Стокса происходит уравнениями
состояния (самое простое — несжимаемая ньютоновская жидкость с
постоянной вязкостью и плотностью).
В большинстве случаев при решении практических задач
уравнения Навье-Стокса дополняются моделями турбулентности.
3.3. Дополнение уравнений Навье-Стокса
Течение жидкости очень сложное явление, которое описывается
как наличием крупных упорядоченных структур, так и множеством
мелких хаотических структур. При переходе от упорядоченного
движения течение теряет устойчивость и переходит в турбулентное
движение. Поэтому одной из основных проблем уравнений Навье-
23
!
! ! !
!
Стокса это описание именно пульсационных, хаотических структур –
турбулентности.
Теодор фон Карман дал следующее определение турбулентности –
это неупорядоченное движение, которое в общем случае возникает в
жидкостях, газообразных или капельных средах, когда о ни обтекают
непроницаемые поверхности или же когда соседние друг с другом
потоки одной и той же жидкости следуют рядом или проникают один в
другой.
Питер Брэдшоу описал турбулентность следующим образом – это
трехмерное нестационарное движение жидкости, в котором вследствие
растяжения вихрей создается непрерывное распределение хаотических
пульсаций параметров потока (скорости, давления и т. д.) в интервале
длин волн от минимальных, определяемых вязкими силами, до
максимальных, определяемых граничными условиями течения.
Существует еще множество понятий турбулентности, но они
отражают лишь часть этого сложного явления. Но в общем случае
турбулентное течение можно разделить на осредненную
(детерминированную) и пульсационную составляющие 8 - 8 ( 8S.
А так как большинство практических задач являются
турбулентными, то для дости жени я высокой точности при их расчете
требуется высокая точность моделирования турбулентности.
Примером сложности математического описания являются
уравнении напряжении Рейнольдса: при записи 6 новых уравнений для
момента 2 порядка получаем 22 новые неизвестные (моменты 3-го
порядка). Из-за нелинейности уравнений Навье-Стокса нам требуется
получить уравнение пульсаций все более высокого порядка, которые в
свою очередь порождают дополнительные неизвестные.
Вследствие необходимости описания пульсационных
составляющих требуется введение дополнительных условии, или иначе
моделей турбулентности. Применение тех или иных моделей
турбулентности напрямую связано с развитием вычислительных
мощностей.
Здесь не будем подробно останавливаться на особенностях
моделей турбулентности, но приведем краткое описание основных
подходов.
Первые вычислительные модели типа RANS (Reynolds Averaged
Navier-Stokes), уравнения Навье-Стокса, осредненные по Рейнольдсу
24
!
! ! !
!
(выведены О. Рейнольдсом в 1895 году) и базирующиеся на гипотезе
вихревой вязкости Буссинеска. Их можно разбить на следующие типы:
1. Алгебраические модели турбулентности
Это модель Буссинеска, модель длины пути смешения, модель
Сибеси, модель Болдуина-Ломакса, модель Ван Дриста. Простейшей
является модель Буссинеска, когда п ри расчетах турбулентных течений
коэффициент турбулентно й вязкости принимается постоянным.
Однако это грубое допущение, и на самом деле коэффициент
турбулентной вязкости зависит от локальных параметров течения.
Поэтому модели получили дальнейшее развитие.
2. Однопараметрические модели турбулентности
К данным моделям относятся модели Брэдшоу-Фэрриса-Атвела
(1967), Гуляева и др. Из данного семейства моделей наибольшее
распространение получила модель Спалларта-Аллмараса (1992),
которая, благодаря своей простоте и достаточно высокой точности при
расчете многих аэродинамических течений, быстро стала одной из
наиболее популярных моделей турбулентности. Однако данные м одели
являются не замкну тыми, так как описывают только генерацию
кинетической энергии турбулентности.
3. Двухпараметрические модели турбулентности
Замкнутыми моделями являются двухпараметрические модели
турбулентности, которые описывают генерацию и диссипацию
турбулентности.
Первая двухпараметрическая TU V модель была предложена
Колмогоровым в 1941 году. Наиболее популярными сейчас являются
модели семейства WU X и W U V. О д н ако существует и ряд других
моделей турбулентности, например, k– kl Rоtta.
Так, k–Y модель хорошо зарекомендовала себя при расчете
свободных и струйных сдвиговых течений, для анализа которых
собственно и была предназначена ее первая версия, предложенная
Харлоу, а k-Y модель обеспечивает существенно более точное описание
пристеночных пограничных слоев.
Для большинства моделей вихревой вязкости Буссинеска имеются
проблемы, связанные с решением таких задач, как течений с наличием
вторичных течений, с отрывом пограничных слоев, вращающихся
потоков и др. Для этого в уравнения вводятся различные
25
!
! ! !
!
«ограничители» (например, учет коррекции кривизны) или для особых
типов течений разрабатывается свой набор коэффициентов.
4. Модели Рейнольдсовых напряжений
Данные модели не основываются на теории вихревой вязкости
Буссинеска и лишены недостатка, связанного с описанием сложных
течений. О днако основным недостатком является большое коли чество
замыкающих соотношений, а также сл ож ности , связанные с
получением сошедшегося численного решения.
Также существуют и другие подходы к моделированию
турбулентности, базирующиеся на первых принцип ах аэродинамики
(метод прямого численного моделирования – в англоязычной
литературе Direct Numerical Simulation или DNS и метод
моделирования крупных вихрей – Large Eddy Simulation или LES), а
также метод моделирования отсоединенных вихрей (Detnched-Eddy
Simulation или DES). Однако из-за крайней вычислительн ой
трудоемкости этих подходов их широкое практическое использование
на данный момент достаточно ограничено.
Все основные модели турбулентности имеются и реализованы в
STAR-CCM+.
Моделирование турбулентности – это очень сложный и обширный
раздел вычислительной гидродинамики.
В STAR-CCM+ реализованы несколько методов численного
интегрирования дифференциальных уравнений, которые выбираются в
зависимости и от математической модели:
– метод контрольного объема (конечных объемов) для задач
механики жидкости;
– метод конечных элементов для задач структурной механики.
В данном учебном пособии мы не рассматриваем применение
метода конечных элементов, а рассмотрим наиболее часто
встречающийся в задачах гидрогазодигнамики метод конечных
объемов.
Эти методы используют принцип дискретизации для
преобразования системы дифференциальных уравнении в набор
3.4. Реализация числе
нного решения
26
!
! ! !
!
дискретных алгебраических уравнений, которые уже в свою очередь
могут быть решены с использованием численных методов.
В общем случае методы дискретизации подчиняются общей
процедуре:
1. Непрерывная расчетная область делится на конечное число
подобластей (ячеек или элементов).
2. Неизвестные переменные вычисляются в определенных местах
сетки (вершины, центры ячеек, центры граней или ребер).
3. Для пространственной дискретизации используется
интегральная или слабая (обобщенная) форма дифференциальных
уравнений.
4. После дискретизации по времени образуется связанная система
алгебраических уравнений (в общем случае нелинейная), которая
решается на каждом шаге по времени.
Далее будет рассмотрен метод контрольного объема для решения
задач механики жидкости.
Контрольные вопросы
1. Какие существуют основные уравнения вычислительной
гидродинамики?
2. Что такое ньютоновская жидкость?
3. Для каких сред справедлив закон вязкого трения Ньютона?
4. Для каких сред не справедлив закон вязкого трения Ньютона?
5. Как замыкают математическую формулировку задачи
турбулентных течений?
6. Из каких составляющих складывается скорость турбулентных
течений жидкости?
7. Какие существуют модели турбулентности?
8. Какие методы численного интегрирования дифференциальных
уравнений реализованы в STAR-CCM+?
27
!
! ! !
!
4. МЕТОД КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА
Выше было показано, что теоретическое исследование физических
явлений имеет значительные преимущества перед экспериментальным.
Рассматриваемые в этом учебном пособии процессы описываются
дифференциальными уравнениями, которые можно представить в виде
обобщенного уравнения для переменной Z. Теперь наша основная
задача заключается в выборе способа решения этого уравнения.
Рассмотрим обобщенную запись уравнения сохранения в
интегральной форме:
!
!"
#Z %$[( #$Z \ %]?^= _PZ %`)( ,a%&',
где Z представляет транспортируемую скалярную величину;
S – площадь поверхности конечного объема; ds – вектор нормали к
поверхности.
Первое слагаемое в левой части уравнения — нестационарный
член, который описывает скорость изменения скалярной величины
внутри контрольного объема.
Второе слагаемое в левой части уравнения — конвективный поток,
который описывает перенос скалярной величины через границы
контрольного объема вследствие конвекции.
В правой части уравнения первый член — это диффузионный
поток, который описывает перенос скалярной величины через границы
контрольного объема вследствие диффузии.
Второе слагаемое в левой части уравнения — источниковый член,
который описывает генерацию или уменьшение скалярной величины в
контрольном объеме.
Основная идея метода контрольного объема поддается прямой
физической интерпретации. Расчетную область разбивают на
некоторое число непересекающихся между собой контрольных
объемов таким образом, что каждая узловая точка содержится в одном
контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируют по
каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов
используют кусочные профили, которые описывают изменение Z
между узловыми точками. В результате находят дискретный аналог
дифференциального уравнения, в который входят значения Z в
нескольких узловых точках.
28
!
! ! !
!
Полученный подобным образом дискретный аналог выражает
закон сохранения Z для конечного контрольного объема точно так же,
как дифференциальное управление выражает закон сохранения для
бесконечно малого контрольного объема (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Контрольный
объем
Одним из важных свойств метода контрольного объема является
то, что заложено точное интегральное сохранение таких в еличин , как
количество движения и энергия на любой группе контрольных объемов
и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство проявляется
при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае
очень большого их числа.
Результат решения дискретных урав нени й относительно значений
в узловых точках можно рассматривать двояко. В методе конечных
элементов и больш инстве методов взвешенных невязок в качестве
приближенного решения используется предполагаемое изменение Z,
состоящее из значений в узловых точках н интерполяционных функций
(или профилей) между узловыми точками. Напротив, в конечноразностном методе в качестве решения рассматриваются только
значения Z в узловых точках и не делается никаких явных указаний о
характере изменения Z между этими точками. Интерполяционные
29
!
! ! !
!
формулы или профили в данном случае рассматриваются как
вспомогательные, необходимые для расчета интегралов.
4.1. Вычисление интегралов
Так как различные члены уравнений Навье-Стокса определяются
для граней контрольного объема и для самих контрольных объемов, то
необходимо вычислять поверхностные и объемные интегралы, в основе
дискретизации которых лежит теорема о среднем. В качестве среднего
значения по объему принимаем значение в центре ячейки, а в качестве
среднего значения на грани – значения в геометрическом центре грани
b.
Вычисление объемных интегралов. Источниковый член в
уравнении сохранения требует вычисления интеграла по объему
ячейки. Для этого объемный интеграл представляется в виде
произведения среднего значения функции в центре контрольного
объема на объем ячейки:
]a%&'c ,
a
d
\ &e.
Это приближение имеет точность второго порядка.
Вычисление поверхностных интегралов. Поверхностные
интегралы определяются с помощью квадратурных формул.
Поверхностный интеграл выражается через значения переменных на
поверхности ячейки.
fa\ %]^c fag,h^c f
ai
jklmn
ioN
\ ,i,
где fa — конвективный или диффузион ный поток скаляра Z, ,i, —
вектор, нормальный к поверхности b.
Значения в центрах граней контрольного объема неизвестны и
определяются посредством интерполяции из центров контрольных
объемов. Эти схемы интерполяции, обычно называемые схемами
дискретизации, описаны далее в разделах «Дискретизац ия
конвективного слагаемого», «Дискретизация диффузионного
слагаемого».
Далее рассмотрим каждый из членов уравнения по отдельности.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]