Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цифровая обработка сигналов сборник задач и упражнений. Учебное пособие
.pdf
II) операция умножения вектора (x, y,…) на скаляр ( , ,…)
x
x
x
M
x
M
M
xy
y
x
удовлетворяет следующим условиям:
а)
,:
LyxxL (замкнутость пространства от-
носительно умножения вектора на скаляр);
б)
,, :() ()
Lxx
(ассоциативность умножения
вектора на скаляр);
в)
,,,:()
yL xy x y , ()xxx (дис-
трибутивность сложения векторов и умножения вектора на скаляр);
г)
1xLxx , где
относительно операции умножения скаляров в поле
Метрикой (расстоянием) на произвольном множестве
ся вещественная функция (или функционал
ленная для любой пары элементов
– элемент поля (скаляр), нейтральный
1
.
называет-
4
:,dxy
)
, опреде-
,xyM и удовлетворяющая сле-
дующим условиям:
а)
(, ) 0dxy , и (, ) 0,dxy только если
б)
(, ) (, )dxy dyx (симметрия);
(, ) (, ) (, )dxz dxy dyz (неравенство треугольника).
в)
Множество
ческим пространством
Пусть
x
L
называется нормой вектора x (обозначается x), если она
, на котором задана метрика d, называется метри-
(,)
d .
– линейное пространство. Функция (функционал)
удовлетворяет следующим условиям:
а)
0x
, причем
0x
, только если
;
y
;
0x
б)
в)
x
x
(неравенство треугольника);
.
Пространство L, на котором задана норма, называется нормированным пространством.
4
Функционалом называется отображение множества функций на множе-
ство чисел. Примером функционала является определенный интеграл
.
()fxdx
71
Пусть L – линейное пространство над полем комплексных
xy
x
x
x
xy
xyx
или
вещественных чисел. Функция (функционал)
,()xy
называется скалярным произведением (обозначается
,
), если она
удовлетворяет следующим условиям:
(, ) (, )*
yyx ;
а)
(,)(,)(,)
б)
(, ) 0xx , причем (, ) 0xx , только если
в)
yz xz yz ;
.
0x
В пространстве со скалярным произведением выполняется неравенство Коши–Буняковского–Шварца
2
(, ) (, )(, )
yxxyy , или
на основе которого может быть введено понятие угла
рами (только для пространства над полем
cos
Совокупность векторов линейного пространства
1
K
но независимой, когда
k
при всех
0
0, 1kK
0
k
0
x
kk
(здесь K – количество векторов). Иначе
(, )
y
(, )
.
xy
,
), такого что
является линей-
L
между векто-
в том и только в том случае, если
говоря, совокупность линейно независима, если никакой принадлежащий ей вектор нельзя представить линейной комбинацией остальных.
Если в пространстве
ментов, а любые
мы, то пространство
можно найти n линейно независимых эле-
L
1n
элементов этого пространства линейно зависи-
имеет размерность n . Если в L можно указать
L
систему из произвольного конечного числа линейно независимых векторов, то говорят, что пространство
Базисом
n -мерного пространства
бесконечномерно.
L
называется любая система из n
L
принадлежащих ему линейно независимых векторов. Базисом бесконечномерного пространства является бесконечная совокупность векторов
такая, что любое ее конечное подмножество линейно независимо.
72
2. z-Преобразование и его свойства
x
X
x
R
x
R
x
f
x
x
Прямое z-преобразование последовательности
n
определяется
выражением
zxnz
n
область сходимости определяется неравенством
– неотрицательные вещественные числа. Обратное z-пре-
,
R
x
n
;
zR
x
, где
образование
1
[] ()
nXzzdz
2
i
C
C
где
– контур, принадлежащий области сходимости и охватывающий
1
n
,
начало координат; направление обхода контура – против часовой
стрелки.
Теорема о вычетах:
где
– изолированные полюсы, находящиеся внутри контура инте-
z
k
грирования. Если
res f z
1
2
– полюс порядка m , то вычет
z
k
() lim
k
zdz res f z
() ( )
i
C
1
1!
m
zz
k
k
d
dz
1
m
1
m
,
k
m
zz fz
k
()
.
Свойства z-преобразования:
а) линейность
[] [] () ()
nxn XzXz
11 2 2 1 1 2 2
;
область сходимости (ОС) результата содержит пересечение ОС слагаемых;
б) сдвиг последовательности
k
[] ()
nk z Xz
;
ОС не меняется;
73
в) отражение последовательности
x
x
R
x
x
x
x
x
R
j
nXz
1
()
;
ОС «отражается» относительно 1-окружности:
1/ 1/
г) умножение на экспоненту
n
[] ( )
axn Xa z
,
1
aR z aR
;
x
д) умножение на линейную последовательность
[]
nx n z
dX z
,
()
dz
ОС не меняется;
е) переход к комплексно-сопряженной последовательности
***
[] ( )
nXz ,
ОС не меняется;
ж) свёртка последовательностей
[] [] ()()
nyn XzYz ,
ОС результата содержит пересечение ОС операндов;
з) произведение последовательностей
[][] ()( /)
nyn X vYz vv dv
ОС содержит множество
1
2
i
C
RzRR
yxy
1
,
.
zR
;
x
3. Дискретно-временное преобразование Фурье
Прямое ДВПФ определяется рядом
j
Xxne
e
n
Для абсолютно суммируемой последовательности
n
.
[]xn ряд в пра-
вой части выражения сходится равномерно к непрерывной периодической функции аргумента
.
74
Обратное ДВПФ определяется интегральным выражением
x
j
j
j
1
nXed
2
jn
j
e
, ,n .
4. Формулы Эйлера
j
cos sin
ej
,
cos
ee
2
, sin
ee
j
2
j
5. Геометрическая прогрессия
Сумма геометрической прогрессии
j
.
aar , 0,1,j ,
где
0
j
aa r a
j
jj
00
j
00
– первый член,
a
0
1
1
грессии.
Частичная сумма геометрической прогрессии
, при
r
1r
,
– знаменатель про-
1r
1
n
n
aa
j
0
j
0
1
r
1
r
.
75
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Васюков В.Н. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры
в системах подвижной радиосвязи. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. –
392 с.
2. Оппенгейм А.В. Цифровая обработка сигналов: пер. с англ. / А.В. Оппенгейм, Р.В. Шафер. – М.: Техносфера, 2012. – 1048 с.
3. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов:
пер. с англ. / Д. Даджион, Р. Мерсеро. – М.: Мир, 1988. – 488 с.
4. Lathi B.P. Essentials of Digital Signal Processing / B.P. Lathi, R.A. Green. –
New York: Cambridge University Press, 2014. – 748 p.
5. Manolakis D., Ingle V. Applied Digital Signal Processing. Theory and Practice. – Cambridge University Press, 2011. – 991 р.
6. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. – М.: ООО «Бином-Пресс»,
2006. – 656 с.
76
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]