Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цифровая обработка сигналов сборник задач и упражнений. Учебное пособие
.pdf
5.4. Проверьте каузальность цепей, описываемых уравнениями
y
y
0k
(
):
а)
[] [ ]exp( )yn xn k nk ;
б)
[] [ ]exp( )yn xn k nk ;
в)
[] [ ]exp( )yn xn k nk ;
г)
[ ] [ ]exp( )yn xn k nk .
5.5. Проверьте устойчивость цепей, описываемых уравнениями
0k
(
):
а)
[] [ ]exp( )yn xn k nk ;
б)
[ ] [ ]exp( )yn xn k nk ;
[ ] = [ ];yn anx n
в)
г)
[] [ 1]yn bxn;
[] [ ] []yn axn k xn;
д)
е)
[] [] [ ]yn bxn bxn k.
5.6. Проверьте выполнение свойств линейности, инвариантности к
сдвигу, каузальности и устойчивости для дискретных цепей, описываемых уравнениями:
nxn
а)
б)
2
;
2
;yn x n
в)
г)
д)
yn xn
е)
числа, заключённого в них).
5.7. Дискретная цепь, называемая фильтром скользящего среднего,
вычисляет среднее арифметическое
последовательности. Запишите разностное уравнение фильтра скользящего среднего, удовлетворяющего условию каузальности. Является
ли этот фильтр линейным? инвариантным к сдвигу? устойчивым?
5.8. Дискретная цепь, вычисляющая разность двух соседних значений входной последовательности, является дискретным аналогом дифференцирующего фильтра. Запишите разностное уравнение с учётом
ln ;yn xn
nxn n
cos( )
(скобки
1;yn xn xn
;
обозначают взятие целой части от
N
соседних значений входной
21
условия каузальности. Является ли этот фильтр линейным? инвариантным к сдвигу? устойчивым?
5.9. Запишите уравнение фильтра, вычисляющего аналог второй
производной. Является ли этот фильтр линейным? инвариантным к
сдвигу? устойчивым?
5.10. Устройство, называемое накапливающим сумматором, является аналогом интегратора; значение сигнала на его выходе равно
сумме текущего входного значения и всех предыдущих входных значений. Запишите уравнение. Является ли это устройство линейным?
инвариантным к сдвигу? устойчивым?
5.11. Устройство работает в соответствии со следующим правилом:
при
0n
на его выходе 0; далее, если на вход поступает значение
больше, чем имеющееся выходное, то выходной сигнал устанавливается равным этому входному значению, в противном случае выходное
значение не меняется. Запишите выражение, описывающее это устройство. Является ли устройство линейным? инвариантным к сдвигу?
устойчивым?
5.12. Компаратор имеет два входа; если на первом входе напряжение выше, чем на втором, то на выходе значение 1, в противном случае 0. Предположим, что напряжение на втором входе постоянно, а на
первый вход поступает вещественная последовательность. Является ли
это устройство линейным? инвариантным к сдвигу? устойчивым?
22
x
x
x
x
6. ДИСКРЕТНАЯ СВЁРТКА И ЕЁ СВОЙСТВА
6.1. Постройте графики последовательностей:
3122xn n n n
Найдите их свёртку.
6.2. Даны последовательности:
Постройте графики и найдите свёртку
6.3. Изобразите графики последовательностей:
Найдите свёртку
6.4. Последовательности
y .
изобразите графически. Найдите свёртку
6.5. Определите свёртку последовательностей
6.6. Определите свёртку последовательностей
n
yn bun
[]
, где a и b – положительные числа меньше единицы.
2132yn n n n
2132xn n n n
2253yn n n n
12 2xn n n
21yn n n
2253xn n n n
222yn n n
y .
;
.
y .
;
.
;
.
;
[]un и []un .
naun
n
[]
и
23
6.7. Последовательность []
x
x
x
ми 5, 4, 3, 2, 1, соответствующими моментам дискретного времени 0, 1,
2, 3, 4; остальные отсчёты равны 0. Последовательность
своими значениями 1, 1, 1, 1, 1, соответствующими моментам дискретного времени 0, 1, 2, 3, 4, остальные отсчёты равны 0. Найдите свёртку
этих последовательностей.
6.8. Найдите свёртку двух одинаковых последовательностей, заданных своими значениями 1, 1, 1, 1, 1, соответствующими моментам
дискретного времени 0, 1, 2, 3, 4, остальные отсчёты равны 0.
6.9. Найдите свёртку двух одинаковых последовательностей, заданных своими значениями 5, 4, 3, 2, 1, соответствующими моментам
дискретного времени 0, 1, 2, 3, 4, остальные отсчёты равны 0.
6.10. Определите свёртку последовательностей
[] [] [ 4]rn un un.
6.11. Определите свёртку последовательностей
[]un ,
1.а
n , ,n , задана своими значения-
[]rn задана
[]
nun
naun
n
[]
и
и
24
x
x
x
7. z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
7.1. Найдите z-образы последовательностей, указав области сходимости:
0, 0,
n
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
7.2. Найдите
димости:
a)
[] []
б)
vn un e
в)
xn a u n
г)
д)
e)
ж)
з)
[]
un
1, 0 ;
[1]un ;
[]un k ,
[] 0.8 [] [ 5]
xn un un
[] 0.5
xn
[] 2
xn
[] 0.9cos /4 []
nnun
nunc,
[] []
[] []sin( )yn un n
[] 1
[] 1
wn a u n
[] 1
bn a u n
xn
nnun
n
n
n
;
n
n
n
n
n
an
bn
cos
n
1k
;
;
z
-образы последовательностей, указав области схо-
n
01c
n
,
0
1
2
,0
n
,1
0
,
,
;
.
;
0
;
,
0
0
0a
;
0a
;
0a
,
ab
,
,
0
;
;
0
;
.
25
7.3. Определите z-преобразования последовательностей, указав
области сходимости:
2
n
a)
[](2 3 )
un e
[] []un n ;
б)
в)
[]sin( )un n
г)
2
[]unn ;
;
,
0
0
;
0
[]unn ;
unne
[]
xn
[]
xn
3
4[]n
.
z
-образы последовательностей:
1, 0 ,
nN
0, 0 или ;
nnN
, 0 ,
nnN
0, 0 или ;
nnN
0, 0,
n
д)
е)
7.4. Найдите
а)
б)
1, 0 5,
n
в)
7.5. Найдите
а) [ ] [ ] [ ]
б) ( ) [ ]
в) 2 [ ] ( ) [ ]
7.6. Найдите
[]
xn
2, 5 10,
n
3, 10.
n
z
-образы последовательностей:
nn
aun n bu n ;
nn
abun ;
nn
nabun .
z
-образ последовательности
1, 0, , 2 , ...
nNN
[]
xn
0 в остальных случаях
Постройте нуль-полюсную диаграмму для
26
.
6N
.
7.7. Докажите, что z-преобразование последовательности []
x
2
sin nn
0
0
,
2
,n , расходится при любом
z
, не лежащем на
n
1-окружности. Принадлежит ли эта последовательность пространствам
и
l
?
l
1
2
7.8. На единичной окружности
z
-образ последовательности из задачи 7.7 имеет вид, показанный на рис. 1. Определите параметры
функции (максимальное значение функции и значение аргумента, при
котором функция становится равной нулю). Воспользуйтесь формулой
обратного преобразования Фурье.
X
ω
-
0
Рис. 1
27
x
8. ОБРАТНОЕ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
8.1. z-Образом последовательности []
n является функция ()Xz .
Определите последовательность, которой соответствует
() ( )/2Xz X z
8.2. Найдите последовательность,
()
Xz
(1 ) (1 )
zab
при
.
8.3. Определите последовательность,
()
Xz
1
az
11
az bz
1
при
1
.
z
-образ которой равен
1
z
-образ которой равен
az
,
путем деления.
8.4. Найдите последовательность, соответствующую
()
Xz
1
1
1
az
при
az
,
z
-образ
z
-образу
путем деления.
8.5. По нуль-полюсным диаграммам (рис. 2 а, б) восстановите
(с точностью до констант)
z
-образы каузальных последовательностей.
8.6. По нуль-полюсной диаграмме (рис. 3) восстановите последова-
тельности для всех возможных областей сходимости.
28
Z
Im
Z
Z
Z
Im Z
0.5 0.5j
0.7
а б
1.4
Re
1
Рис. 2
Im
.2кр
0.3
Рис. 3
.2кр
0.5 0.5j
Re Z
1
Re
1
8.7. Определите каузальную последовательность по ее z-образу:
()
Xz
z
11
zz
24
8.8. Определите каузальную последовательность по ее
Xz
()
z
2
zz
29
.
z
-образу:
.
1
2
8.9. Определите каузальную последовательность по ее z-образу,
x
пользуясь теоремой о свёртке:
()
Xzz
z
2
(1)
.
8.10. Найдите делением
z
-прообраз функции
2
(21)
zz z
(1)
z
4
в виде каузальной последовательности.
8.11. Проверьте устойчивость каузального фильтра с передаточной
функцией
z
.
4
1
4
8.12. Найдите свёртку
()
Hzz
[]xn и []hn с использованием
образования, если
1, 0 3,
nxn
0 в противном случае;
1, 2 4,
nhn
0 в противном случае.
yn a n.
n
[ ] , 0
8.13. Найдите
xn
[]
[]
[] []
nyn , если
n
1, 0,
[]
an
, 1,
nn
0, 0, 1,
30
z
-пре-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]