Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цифровая обработка сигналов сборник задач и упражнений. Учебное пособие
.pdf
2.7. Пусть
M
остатка на целое число
сительно операции сложения? относительно операции умножения?
2.8. Проверьте, выполняются ли аксиомы группы по сложению:
для а) множества всех матриц; б) множества всех матриц размера
N
; в) множества всех квадратных матриц; г) множества всех матриц размера
тельные числа).
2.9. Дано множество всех матриц размера
ется ли это множество группой относительно операции матричного
умножения. Если нет, то как нужно сузить это множество, чтобы выполнялись аксиомы группы? Что в этом случае представляет собой
нейтральный элемент?
2.10. Дано множество
рацией сложения по модулю 2. Проверьте, является ли это множество
группой. Если да, то определите нейтральный элемент и для каждого
элемента определите обратный.
2.11. Дано множество целых чисел
ния по модулю 5. Проверьте, является ли это множество группой. Что
представляет собой нейтральный элемент? Запишите для каждого элемента обратный ему.
2.12. Дано множество целых чисел
оно группу относительно обычной операции умножения.
2.13. Дано множество целых чисел
модулю 2 и обычного умножения. Является ли это множество полем?
2.14. Дано множество целых чисел
рациям (сложения и умножения), для которых это множество образует
поле. Составьте таблицы сложения и умножения.
2.15. На множестве последовательностей произвольной конечной
длины, составленных из символов 0 и 1 (включая пустую последовательность нулевой длины), определена двухместная операция конкатенации, когда к одной последовательности дописывается другая. Какая
алгебраическая структура при этом получается?
– множество всех целых чисел, делящихся без
()m
m . Является ли множество
NN
(здесь и далее M и N– различные целые положи-
0,1
, состоящее из целых чисел 0 и 1, с опе-
0,1, 2, 3, 4
0,1
. Проверьте, составляет ли
0,1
с операциями сложения по
0,1,2
группой отно-
()m
NN
. Проверьте, явля-
с операцией сложе-
. Дайте определение опе-
11
M
x
x
x
M
M
x
3. ПРОСТРАНСТВА
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
3.1. Дано множество
из которых определяется выражением
где
операции поэлементного сложения последовательностей и умножения
последовательности на действительное число:
Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для множе-
ства
Найдите элемент, обратный последовательности
3.2. Дано множество последовательностей бесконечной длины,
каждая из которых определяется выражением
, 0, 1iN; – поле действительных чисел. Определены
x
i
nyn xy ni
. Существует ли в
N
последовательностей длины N, каждая
N
10N
nxni
i
i
10N
nxni
i
ii
i
10N
i
нулевой элемент? Запишите его.
N
,
,
,
2xn n a n
.
.
nxni
i
i
12
,
где
M
M
M
M
M
s
s
x
, ,i . Определены операции поэлементного сложения
x
i
последовательностей и умножения последовательности на вещественное число. Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для
множества
3.3. Пусть
стей конечной длины
мерность пространства
.
– множество всех вещественных последовательно-
N
N
, определенных при 0, 1nN. Какова раз-
? Задайте базис для
N
.
N
3.4. Один из возможных базисов для пространства последовательностей
,,nkk
состоит из сдвинутых
. Докажите, что набор из любого количества таких
-последовательностей
последовательностей линейно независим.
3.5. Даны последовательности
[] 0.01 2
nnn, ,n . Можно ли рассматривать их совокуп-
4
3
1
[] 1sn
,
[]snn
2
,
[] 0.2 ,
nnn
3
2
ность как базис некоторого пространства? Постройте график линейной
4
комбинации
для
10,10n .
при
nsn
k
[]
kk
1
,
1
1
2
,
0.3
,
1
3
0.01
4
3.6. Постройте графики вещественной и мнимой частей функций
2
jkn
8
en
совокупности функций
,0,7
при 1, 0, 1k . Проверьте линейную независимость
2
jkn
8
en
,0,7
.
3.7. Дано множество всех последовательностей длины 16, прини-
0;1
мающих значения из множества
. Можно ли определить операции
сложения и умножения на скаляр, чтобы считать его векторным пространством? Какова размерность этого пространства? Задайте для него
базис. Сколько векторов содержит это пространство?
3.8. Как следует задать операции сложения и умножения на скаляр,
чтобы множество всех полубесконечных последовательностей вида
[], 0,xn n
, принимающих значения из множества
0;1
, стало ли-
нейным пространством? Какова размерность этого пространства? Задайте для него базис. Счётно ли множество векторов этого пространства?
13
M
x
x
x
4. НОРМА, МЕТРИКА,
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
4.1. Дано множество
нечной длины
N
. Проверьте, можно ли задать норму следующими
вещественных последовательностей ко-
N
функционалами:
1
а)
1
0Nn
б)
2
xxn
в)
г)
xxn
3
4
0Nn
xxn
д)
е)
0
– нулевой вектор, т. е. последовательность, все отсчёты которой
(
4
0, ,
x
5
1,
;
xn
2
3
;
0
12
;
1/3
;
1/3
3
1
0Nn
1
0Nn
1
xn
1
0Nn
x
0
x
;
равны 0).
4.2. Пространство последовательностей конечной нормы
обозначается
n
xn
1
. Определите, принадлежат ли этому
l
1
14
пространству бесконечные последовательности
j
M
x
x
n
при 0
an ,
ло,
exp
1a
.
n
,
sin( )/ ( )nn
0
00
, где
cos n
– вещественное чис-
0
sin n
,
0
4.3. Пространство последовательностей бесконечной длины и ко-
нечной нормы
xxn
2
n
2
12
обозначается
. Определите,
l
2
принадлежат ли ему бесконечные последовательности
,
0
n
ann
где
– вещественное число,
0
4.4. Дано множество
cos при 0
0
n
,0
an
xn
n
,0
bn
последовательностей конечной длины
N
n
sin при 0
bnn
,
0
,
sin( )/ ( )nn
00
,
1a
1b
,
– комплексные числа.
,
Проверьте, можно ли задать метрику следующими функционалами:
1
N
а)
б)
в)
г)
,
dxy xn yn
1
dxy xn yn
2
dxy xn yn
3
dxy xn yn
4
,
,
,
n
0
1
N
0
n
1
N
0
n
1
N
0
n
;
12
2
;
1/3
3
;
1/3
3
;
.
N
0, ,
1, .
y
y
15
dxy
д)
5
,
4.5. Манхэттэнская метрика (метрика городских кварталов) опре-
x
x
xy
x
y
s
1
N
деляется выражением
окружность с центром в точке (0; 0), если расстояние на плоскости
определяется данной метрикой?
4.6. Метрика Чебышёва представляет собой функционал
,max
dxy xn yn. Определите форму окружности с центром
в точке (0; 0), если расстояние на плоскости определяется согласно
данной метрике.
4.7. Дано множество двоичных последовательностей
0, 1nN
n
x
,
i
0;1
,
dxy xn yn
. Метрика Хэмминга
,
dxy xn yn
0
n
1
N
0
n
. Какую форму имеет
[],
n
i
,
где символом
вательностей содержит шар радиуса 3 с центром
8N
? при
4.8. Даны две последовательности,
Найдите: нормы
между
4.9. Даны последовательности конечной длины
обозначено сложение по модулю 2. Сколько последо-
16N
?
2
и y; расстояние
nn
0, 1nN:
341xn n n
341yn n n
,
; скалярное произведение
y
2
,dx
.
2
2
coscn n
sin
,
N
2
, 0, 1nN.
N
16
0, 1nN;
.
;
0
при
4N
? при
,
; угол
Найдите: а) скалярное произведение (,)cs ; б) скалярное произве-
x
x
x
M
M
x
дение укороченных последовательностей при
4.10. Пусть
векторном пространстве со скалярным произведением. Покажите, что
векторы
4.11. Найдите нормы
а)
xn
xn
б)
в)
г)
д)
е)
4.12. Даны последовательности
xn a un n n a
;
xn au n a
xn a un un n n ;
xn aun bu n a b
и y – векторы единичной нормы в действительном
y
и
n
an
0, 0,
bn
0, 0,
nn
n
nn
взаимно ортогональны.
y
последовательностей:
2
,0,
n
n
,0,
n
0
n
1, 1
1a
;
1b
;
,0,1
00
;
,0
00
1, 1, 1
0, 2 1nN
.
.
1
2
3
принадлежащие пространству
вательностей
мость последовательностей. Постройте ортонормальный базис в
на основе этой совокупности.
4.13. Докажите справедливость выражения
,1,2nn n
[] [][ ]
nxknk
12 2vn n n
21vn n n
222vn n n
, натянутому на множество последо-
3
. Проверьте линейную независи-
k
17
;
;
,
.
3
4.14. Докажите ортонормальность базиса
j
N
2
nekN
[] , 0, 1
k
1
N
jkn
N
при условии
4.15. Полагая
N = 4. Убедитесь в ортогональности строк (столбцов) матрицы.
при
Определите нормы
0, 1nN.
2
We
, составьте матрицу
N
0000
WWWW
NNNN
01 23
WWWW
W
N
строк и столбцов. Найдите евклидовы расстоя-
2
NNNN
0246
WWWW
NNNN
0369
WWWW
NNNN
ния между парами строк.
4.16. Рассматривая строки матрицы
11111111
11111111
11 1111 11
1 1 11 1 1 11
H
1111 1111
1 11 1 11 11
11 1 1 1 11 1
1 1 11 11 1 1
как последовательности, проверьте их ортогональность, найдите нормы
и попарные расстояния между ними в евклидовой метрике.
2
18
4.17. Для матрицы
11111111
88888888
11 1 1 1 1 1 1
88 8 8 8 8 8 8
11 1 1
44 4 4
00 0 0
11
22
00 0 0 0 0
00 0 0 0 0
000000
000000
11
22
0000
11 11
44 44
11
22
11
22
определите скалярные произведения строк, их нормы
. Измените
2
матрицу так, чтобы строки составляли ортонормальный базис.
19
y
y
x
5. ЛИНЕЙНОСТЬ, ИНВАРИАНТНОСТЬ К СДВИГУ,
КАУЗАЛЬНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ
5.1. Проверьте, линейны ли цепи, описываемые уравнениями (здесь
и далее величины
[] = [ ]yn a xn k ;
а)
б)
[]
[ ] = ( ) [ ];yn n a xn m
в)
[ ] = [ ];yn axmn
г)
д)
[] []sin( )yn xn an ;
е)
[] sin([])yn an xn .
5.2. Дискретные цепи работают в соответствии с алгоритмами (раз-
ностными уравнениями)
а)
yn y n xn
б)
Определите отклики этих цепей на входные последовательности
nn
5.3. Проверьте, являются ли инвариантными к сдвигу цепи, описы-
ваемые уравнениями:
а)
[ ] = [ ];y n anx n
б)
[] [ 1]yn bxn;
в)
[] [ ] []yn axn k xn;
г)
[ ] = [ ];yn axmn
д)
[] [] [ ]yn bxn bxn k;
yn
[] 1 []
n
[] 0.7 1 []
n
и
,,c,,ab km – постоянные,
2
[],[],
ax n k x n c
[],[];
bx n k x n c
2
n
2
nxn
2
,
,
4xn n
. Как можно охарактеризовать эти цепи?
10y
10y
;
.
,n
):
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]