Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цифровая обработка сигналов сборник задач и упражнений. Учебное пособие
.pdf
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
j
x
R
17. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ЛИС-ЦЕПИ
17.1. Случайная величина y образована как линейная комбинация
двух независимых СВ
11 2 2
ниями
тическое ожидание и дисперсию СВ
независимости случайных величин исключить?
в виде вектор-столбца. Произведение этого вектора
рованный вектор
Охарактеризуйте эту матрицу (её структуру, смысл её элементов).
ного белого шума
персией
x
,
m
17.2. Совокупность случайных величин
17.3. Случайная последовательность
и дисперсиями
m
1
2
t
после усреднения даёт квадратную матрицу.
x
n
с нулевым математическим ожиданием и дис-
2
в соответствии с разностным уравнением
и
1
2
2
,
1
2
с математическими ожида-
2
соответственно. Найдите матема-
. Что изменится, если условие
,…,
1
n
формируется из дискрет-
можно записать
n
x
на транспони-
0.5 1 [ ]
nxn n
Найдите дисперсию
а)
б)
Определите спектральную плотность мощности последователь-
ности
ность
тельность (АКП) вида
n
.
17.4. Стационарная в широком смысле случайная последователь-
n
имеет нулевое среднее и автокорреляционную последова-
2
последовательности
m
rm a a
x
,1
51
. Определите СПМ ()
.
n
.
e
.
17.5. Спектральная плотность мощности случайной последователь-
у
x
у
ности определяется выражением
()
Re
x
j
10.5
ee
4
2
jj
2
.
а) Составьте разностное уравнение, описывающее формирование
этой последовательности из дискретного белого шума
n
с нулевым
математическим ожиданием и единичной дисперсией.
б) Определите передаточную функцию выбеливающего фильтра.
Запишите разностное уравнение, описывающее процесс выбеливания.
в) Изобразите структурные схемы формирующего и выбеливающе-
го фильтров.
n
17.6. Случайная последовательность
образуется как сумма
[] [] []yn xn vn взаимно независимых последовательностей []xn
[]vn типа белого шума с плотностями распределения () ,
и
v
; () , 0
wv e v
0x
Определите одномерную (маргинальную) ПРВ
а)
б)
Найдите математическое ожидание последовательности []yn .
в)
Найдите АКП последовательности []yn.
17.7. Случайная последовательность
ным уравнением
.
[] [] [ 1] []yn xn xn vn, где []xn и []vn – взаимно
3
[]yn .
n
формируется разност-
wx e
независимые последовательности типа белого шума с плотностями
x
распределения
Определите одномерную (маргинальную) ПРВ []yn .
а)
б)
Найдите среднее последовательности []yn.
в)
Найдите АКП последовательности []yn.
wx e x
() , 0
;
() 2 , 0
wv e v
2
v
.
3
Сумма двух независимых случайных величин имеет ПРВ, равную свёрт-
ке плотностей вероятностей слагаемых.
52
17.8. Последовательность описывается выражением
x
p
[] cos ,
xn A n
, , ..., , , ...,
pA A
где
11
pp
1
k
kkk
– ненулевые постоянные,
,...,
1
– незави-
p
симые случайные величины, равномерно распределённые в интервале
(0,2 ) .
а)
Найдите среднее последовательности []
б)
Определите автокорреляционную последовательность
n .
rm
x
.
17.9. Автоковариационная последовательность случайной последо-
вательности стремится к нулю при
n . К какому пределу при этом
стремится автокорреляционная последовательность?
17.10. В результате случайного эксперимента из интервала (0,1) вы-
бирается в соответствии с равномерным распределением вещественное
число, которое записывается в виде двоичной дроби
0. ...aa a
123
Разряды
числа при считывании слева направо можно рассматривать как временную случайную последовательность, отсчёты которой принимают значения 0 или 1. Докажите независимость отсчётов.
53
18. МНОГОМЕРНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЛИС-ЦЕПИ
18.1. Запишите три варианта матрицы периодичности двумерной
последовательности, показанной на рис. 20. Определите фундаментальный период (здесь и далее черные и белые кружки обозначают
значения 1 и 0).
Рис. 20
18.2. Определите комплексную частотную характеристику двумер-
ной ЛИС-цепи, импульсная характеристика которой показана на
рис. 21.
18.3. Определите свёртку последовательности
[, ]
un n
12
0 в противном случае
1, 0, 0,
nn
12
с такой же последовательностью.
54
jj
x
x
x
18.4. Считая, что
тельности
[, ]
an bn cn dn
1212
[, ]
, найдите преобразование Фурье последовательности
nn
12
12
(, )
Xe e
при
– преобразование Фурье последова-
1ad bc
( ,,,abcd – целые константы).
Рис. 21
18.5. Найдите преобразование Фурье последовательности
1
N
[, ] [ , ]
nn n pmn pm
.
12 1 12 2
0
p
18.6. Покажите, что реакция разделимой цепи на разделимую по-
следовательность разделима.
18.7. Найдите преобразование Фурье последовательностей
2
nn
[, ] [, ], 1
xn n a un n a
12 12
nn
[, ] [4 ][], 1, 1
xn n a b n n un a b
12 1 2 1
12
12
;
.
55
x
x
x
x
x
x
x
x
19. ВЗАИМОСВЯЗИ АНАЛОГОВЫХ,
ДИСКРЕТНЫХ И ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ
19.1. Сигнал
1/400c . Определите результирующую последовательность.
19.2. Сигнал
зультатом
Определите
а)
б)
Единствен ли ответ? Если да, мотивируйте. Если нет, приведите
[] cos( /3).xn n
( ) sin(2 100 )
tt
c
( ) cos(4000 )
tt
c
.
T
d
дискретизирован с шагом
дискретизирован с шагом
T
d
T
d
с ре-
другой ответ.
19.3. Сигнал
( ) sin(20 ) cos(40 )
tt t
c
причем получилась последовательность
а)
Определите
б)
Является ли ответ единственным? Если да, почему? Если нет,
.
T
d
дискретизирован с шагом
nn
xn
[] sin cos .
55
2
укажите другой ответ.
19.4. Каждый из следующих сигналов дискретизируется с соответ-
ствующим шагом. Для каждого случая определите дискретный сигнал.
( ) cos 2 1000
tt
а)
c
( ) sin 2 1000
tt
б)
c
( ) sin 2 1000 /
ttt
в)
c
,
,
T
d
T
d
,
1/3000
1/1500
T
d
;
;
1/5000
.
19.5. При дискретизации аналогового сигнала получен дискретный
сигнал. Найдите шаг дискретизации, указав, однозначно ли он определяется. Если нет, укажите ещё одно значение шага:
() sin10
tt
а)
c
() sin10 /(10 )
ttt
б)
c
, [] sin( /4);xn n
, [ ] sin( / 2)/ ( / 2).xn n n
,dT
56
19.6. Последовательность [] cos( /4)xn n ,
x
x
из сигнала
() cos( )
tt
c
,
0
дискретизацией с частотой 1000
t
отсч/с. Определите два положительных значения
n
получена
, которым соот-
0
ветствует такой результат дискретизации.
19.7. Система цифровой обработки аналоговых сигналов показана
на рис. 22 (УЦОС – устройство цифровой обработки сигналов – ФНЧ с
частотой среза
/8
). Эффектами квантования в данной задаче прене-
брегаем.
Рис. 22
а) Если ()
ком максимальном шаге дискретизации
t имеет спектр, ограниченный частотой 5 кГц, при ка-
отсутствует подмена ча-
T
d
стот?
Если 1/
б)
=10 кГц, какова частота среза соответствующего ана-
T
d
логового фильтра?
19.8. Пусть
цепи, а
Для аналоговой цепи
а)
– ИХ дискретной ЛИС-цепи.
[]
hn
d
– импульсная характеристика аналоговой ЛИС-
()
ht
c
at
,0,
et
()
ht
c
0, 0,
t
где а – вещественное положительное число, определите КЧХ и изобразите АЧХ. Найдите максимальное и минимальное значения АЧХ.
б)
Для дискретной цепи с ИХ
разите АЧХ при
=1. Определите максимальное и минимальное зна-
T
d
[] ( )
hn hnT
dcd
найдите КЧХ и изоб-
чения АЧХ.
19.9. Отсчеты случайного процесса с равномерной в интервале
[,]aa плотностью распределения вероятностей подвергаются равно-
мерному квантованию с
квантователя для
8K
уровнями. Постройте характеристику
K
при условии, что квантованные значения про-
57
цесса равновероятны. Найдите функцию распределения квантованного
x
x
x
x
x
процесса, его математическое ожидание.
19.10. Последовательность независимых равномерно распределённых в интервале
равномерного квантователя, имеющего
тервале
[1,1] . Максимальное и минимальное квантованные значения
[ 0.25, 0.25] случайных величин поступает на вход
шагов квантования на ин-
K
равны соответственно 1 и –1. Найдите среднюю мощность выходной
последовательности при
5K
19.11. Последовательность независимых случайных величин
6K
(
).
n
описываемых распределением Лапласа с плотностью
2
() ,
wx e
1
2
x
,
поступает на квантователь с диапазоном входных значений
. Найдите вероятность выхода значений последовательности за
4]
пределы этого диапазона.
58
[4 ,
p
A
20. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
20.1. Преобразуйте аналоговый фильтр с передаточной функцией
Hp
()
a
ppp
(1)( 1)
1
2
в цифровой фильтр методом инвариантности импульсной характеристики при частоте дискретизации
рад/c.
10
d
20.2. Аналоговый фильтр-прототип Бесселя имеет передаточную
функцию
*
*
pp
i
Hp
()
a
3
AA
ii
pp
()
i
1
i
с параметрами, указанными в таблице. Найдите передаточную функцию цифрового фильтра методом инвариантности импульсной характеристики при частоте дискретизации
рад/c, постройте графи-
10
d
ки АЧХ и ФЧХ.
i
1 –4,248359 + j 0,8675097 10,959230 – j 39,425170
2 –3,735708 + j 2,626272 –1,412677 + j 12,701170
3 –2,515932 + j 4,492673 3,167539 – j 0,2024596
20.3. Передаточная функция
i
2
(33)
pp
()
Hp
a
2
(33)
pp
i
соответствует
аналоговому фильтру. Постройте графики АЧХ и ФЧХ. Найдите (если
можно) методом инвариантности импульсной характеристики при частоте дискретизации
рад/c передаточную функцию соответ-
10
d
59
ствующего цифрового фильтра. Если этого сделать нельзя, объясните
причину.
20.4. Постройте аналоговый фильтр Баттерворта третьего порядка с
частотой среза
частот с частотой среза
. Преобразуйте его в цифровой фильтр нижних
1
c
/3
методом инвариантности импульсной ха-
рактеристики.
20.5. Цифровой фильтр, построенный при решении предыдущей
задачи, преобразуйте в фильтр верхних частот с частотой среза
в полосовой фильтр с граничными частотами
/4
и
3/4
3/4
, в ре-
жекторный фильтр с теми же граничными частотами.
20.6. Необходимо построить цифровой полосовой фильтр для выделения из аналогового колебания принимаемого сигнала, занимающего полосу частот от 14 000 рад/с до 26 000 рад/с. Определите граничные частоты цифрового фильтра, если частота дискретизации составляет 70 000 рад/с. Определите граничные частоты аналогового фильтра-прототипа, если синтез цифрового фильтра предполагается провести методом билинейного преобразования.
20.7. Цифровой дифференцирующий фильтр имеет КЧХ
jT
,
. Найдите импульсную характеристику. Реализуем ли
j
()
He
такой фильтр?
20.8. Для дискретных сигналов аналогом дифференцирования является вычисление конечной разности, описываемой уравнением
1
[] [] [ 1]yn xn xn
T
. Определите импульсную характеристику и
КЧХ такой цепи. Постройте графики АЧХ и ФЧХ. Для каких сигналов
такой фильтр удовлетворительно аппроксимирует дифференциатор?
20.9. Найдите импульсную характеристику идеального дискретного
/2
фильтра нижних частот с граничной частотой
. Как изменится его
КЧХ, если импульсную характеристику умножить на последователь-
cos( / 2)n ?
ность
20.10. Определите импульсную характеристику идеального дискретного ФВЧ с граничной частотой
/2
. Как изменится КЧХ этого
фильтра, если импульсную характеристику умножить на последовательность
cos( / 2)n ?
,
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]