Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физическое моделирование технических систем. Учебное пособие
.pdf
длины трубы, диаметра трубы, плотности жидкости и ее
(3.27)
(3.28)
;
(3.29)
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
…………………………………………………………………
………………………………………………………………
вязкости. Для решения задачи используем π-теорему.
Представим искомую функцию в виде функционала:
Очевидно, что число параметров m = 6.
Основными независимыми единицами измерения являются масса
M, длина L, время T.
Тогда:
Здесь число независимых переменных k = 3. Для применения πтеоремы, необходимо определить число размерных (зависимых)
параметров n = m – k = 6 – 3 = 3.
Общий вид безразмерного комплекса будет иметь вид:
Учитывая, что размерность безразмерного комплекса должна
быть равна 1, получим:
Показатели степеней при независимых переменных с учетом
выражений (3.34) и (3.35), представим в виде:
Перечень безразмерных комплексов определяется
исследованием всевозможных сочетаний из двух, трех, четырех,
пяти, и шести параметров (см. выражение 3.33), которые
удовлетворяли бы ограничениям, представленным в уравнениях
(3.32). (Рекомендуется во избежание пропуска какого-либо
сочетания составить матрицу комбинаторики).
Очевидно, что кроме тривиальных решений получаются и
другие, но удовлетворяющие условию (3.32).
41
В результате анализа получаем список безразмерных
(3.34)
или
(3.35)
комплексов (см. выражение 3.34).
Полученный список по числу комплексов намного превышает
число параметров n = 3.
При выборе трех комплексов необходимо иметь в виду их
общепринятую форму и то, что все исходные параметры списка
должны встретиться в полученных формулах хотя бы один раз.
Таким образом, в результате применения π-теоремы получим:
Используя физический смысл, можно упростить полученные
выражения. Так как для рассматриваемого течения по условию
задачи, перепад давления на единицу длины постоянен и, так как
длина трубы неизменна, можно записать:
Полученный результат подтверждается экспериментально.
Как видно из применения π-теоремы, увеличение числа
независимых размерностей k позволяет получить более точное
решение. Это возможно, если ввести три независимых единицы
длины: Lx, Ly, Lz – в соответствии с числом координатных осей и
приписать массе различные единицы измерения MH, MЭ, MT.
Такой подход носит название «дополнение Хантли» [8] и
позволяет расширить диапазон информации при использовании πтеоремы.
42
3.3. Теорема подобия
moao =mм a
м
(3.36)
m1/m2 = kм=k
t
2
k
l
—1
(3.37)
– число (критерий) Ньютона.
(3.38)
Кроме π-теоремы при физическом моделировании широко
используется критериальный анализ (метод подобия), который
нашел широкое применение при решении механических задач.
Безразмерные величины характеризующие физические процессы
называют критериями подобия.
Два физических процесса подобны, если все критерии подобия,
описывающие эти процессы, попарно равны друг другу.
Критерии подобия легко установить, имея уже известные
зависимости, характеризующие те или иные физические процессы.
Простейшее применение теории размерностей приведено на
примере получения различных чисел.
Здесь безразмерные комплексы получаются путем взаимного
деления выражений для сил.
Для тепловых задач проводятся аналогичные действия с
потоками энергий
Рассмотрим пример получения числа Ньютона.
Число Ньютона.
Известно, что F = ma.
Приведем это уравнение к виду:
Тогда ньютоновский закон подобия будет иметь вид:
Например, определим число Ньютона.
Разделив правую часть уравнения (3.36) на левую, получим:
Преобразуем выражение (3.37) к виду:
Аналогичным образом могут быть получены другие критерии,
которые приведем в таблице 3.2.
В приведенных в таблице 3.2 отношениях приняты следующие
обозначения:
43
– сила вязкости;
– число Рейнольдса, характеризует
отношение силы инерции к силе
вязкости;
– коэффициент давления (отношение
силы инерции к силе давления);
– критерий Коши, равное квадрату
числа Маха (отношение силы
инерции к силе упругости);
– сила давления;
– сила упругости;
– сила поверхностного натяжения;
– сила гравитации;
– сила инерции;
– поток энергии, передаваемый путем
теплопроводности;
– поток энергии, передаваемый путем излучения;
– поток энергии, передаваемый путем конвекции;
– секундный поток внутренней энергии твердого
тела;
– поток внутренней энергии жидкости;
– коэффициент динамической вязкости;
– скорость;
– линейный размер;
– перепад давления;
– модуль упругости;
– коэффициент поверхностного натяжения;
– массовая плотность;
– ускорение свободного падения;
– коэффициент теплопроводности;
– температура;
– коэффициенты теплоотдачи излучением и конвекцией,
соответственно;
– удельные теплоемкости при постоянном объеме и
давлении, соответственно.
Таблица 3.2 – Критерии подобия
44
Продолжение таблицы 3.2
– число Вебера (отношение силы
инерции к силе поверхностного
натяжения);
– число Фруда (отношение силы
инерции к силе гравитации);
– число стокса (отношение силы
давления к силе вязкости);
– отношение силы упругости к силе
вязкости;
– отношение силы поверхностного
натяжения к силе вязкости;
– отношение силы гравитации к силе
вязкости;
– отношение силы поверхностного
натяжения к силе давления;
– отношение силы гравитации к силе
давления;
– отношение силы поверхностного
натяжения к силе упругости;
– отношение силы гравитации к силе
упругости;
– отношение силы гравитации к силе
поверхностного натяжения;
– отношение потока энергии за счет
теплопроводности к потоку
внутренней энергии жидкости;
– отношение потока энергии за счет
излучения к внутренней энергии
жидкости;
– отношение потока энергии за счет
конвекции к внутренней энергии
жидкости;
– отношение внутренней энергии
твердого тела к внутренней энергии
потока жидкости;
45
Продолжение таблицы 3.2.
– отношение тепловых потоков за счет
излучения к теплопроводности;
– отношение тепловых потоков за счет
конвекции к теплопроводности число
Био;
– отношение теплового потока за счет
теплопроводности к внутренней
энергии твердого тела – число Фурье;
– отношение тепловых потоков за счет
конвекции и излучения;
– отношение внутренней энергии
твердого тела к тепловому потоку за
счет излучения;
– отношение внутренней энергии
твердого тела к тепловому потоку за
счет конвекции;
– критерий Коши;
– критерий Гука;
– Число Фруда.
Метод подобия утверждает, что если две технические системы
ведут себя одинаковым способом при наличии геометрического
подобия и равенства отношений характерных сил или энергий. Он
основан на теории размерностей и использует π-теорему.
Геометрическое подобие определяется отношением линейных
размеров.
Силовое подобие оценивается силами инерции, вязкости,
давления и т.п., что приводит к двум безразмерным комплексам.
3.4. Физическое моделирование рабочих процессов машин
Физическое моделирование используют в том случае, если
исследуемые процессы имеют одинаковое математическое
46
описание, но другую физическую природу. Физическое
Рис. 3.1. Схема взаимодействия с грунтом отвала бульдозера [3]
моделирование, в общем случае позволяет получить качественную
картину изучаемого явления, непосредственное изучение которого
невозможно, а математическое описание очень сложно. Примером
может быть изучение процесса трения и изнашивания, образование
цунами, разрушение льда и т.п.
Как правило методы физического моделирования используют
при проведении лабораторных исследований. Полученные
результаты эксперимента переносят на оригинал, используя теорию
подобия.
Кроме всего прочего методы физического моделирования
позволяют структурировать даже те факторы, оказывающие влияние
на конструкцию, действие которых на реальную конструкцию
учесть весьма сложно.
Для практического применения вышеизложенного материала
рассмотрим например, моделирование процесса копания грунтов
бульдозерами, воспользовавшись материалами учебника «Машины
для земляных работ» профессора Зеленина А.Н. [2].
Известно, что процесс копания грунта отвалом бульдозера
(рис. 3.1) складывается из сил сопротивления перемещения призмы
волочения Рпр, сил инерции Ри, сил сопротивления резанию Рр и
внедрения в грунт Рл и комбинированных сил, зависящих от массы
грунта и структурного сцепления – Тнл.
47
При взаимодействии отвалов с грунтом выделены три зоны (рис.
0
l
v
l
v
t
гр
гр
гр
,
opnn
Ctg
opnn
Ctg
P
l
i
2
i
l
x
P
gl
3
op
C
P
vl
22
уд
1
3.1): I – формирования стружки грунта у режущей кромки отвала;
II – перемещение стружки по отвалу (в сыпучих грунтах эта зона
отсутствует); III – образование призмы волочения.
Явления, протекающие при деформировании и перемещении
грунтов отвалом бульдозера в процессе отделения грунта от массива,
характеризуются проявлением в грунте пластических деформаций,
которые имеют место при деформировании сыпучего тела,
обладающего сцеплением и находящегося под действием объемных
сил.
Таким образом, вырезанный элемент находится под действием
сил: тяжести dG, давления dN1dH2 со стороны окружающего пласт
грунта, сил инерции dPи, (касательной и нормальной составляющих
при движении по криволинейной поверхности), трения dT1,dT2и
сопротивления dNиз,являющихся следствием изгиба пласта, и dNц –
давление, являющееся следствием центробежной силы инерции.
Уравнение неразрывности (сплошности) движущегося пласта
может быть составлено по аналогии с положениями,
рассмотренными при анализе процесса движения ножа в грунте,
т.е.:
где v – скорость движения стружки.
Граничные условия:
- на поверхности скольжения стружки по грунту:
;
- при скольжении стружки по металлу:
.
Здесь σn, τn – нормальное и касательное давление стружки на
отвал; Сор – сцепление грунта.
Рассмотренные соотношения позволяют получить следующие
критерии подобия:
П =
; П = φ; П =
П =
; П =
; П =
48
; П =
; П = δ; П =
.
;
Между масштабами параметров имеются следующие
Pl
kkk
2
Plg
kkkk
2
Plv
kkkk
22
lgv
kkk
3
l
k
l
k
5,3
l
k
5,2
l
k
зависимости:
kφ = 1; kσi = 1;
kσ = kC0; kl = ky;
; kδ = 1; kl = kx;
; kσ = k
Pуд
; kl = kz.
Подобие процесса возможно, если при геометрическом подобии
соблюдаются соотношения:
kσ= kρkgkl;
; kσ = kCo =kτ =k
Pуд
.
;
Рис. 3.2. Схема сил, действующих на элемент движущегося по
поверхности скольжения пласта вырезанного грунта
Приведенные соотношения могут быть соблюдены при
использовании эквивалентных материалов, прочностные свойства
которых изменяются в соответствии с рассмотренными
соотношениями. Скорость движения рабочего органа изменяется
пропорционально квадратному корню из линейного масштаба
системы.
Параметры оригинала могут быть установлены по параметрам
модели при kρ =kg = 1 на основании зависимостей:
Р
= Р
н
м
; vн = v
м
; Nн = N
м
; Пн = П
.
м
Рассмотренные условия дополняются ограничениями по
линейному масштабу моделирования, сформированными ранее.
49
При моделировании процесса разработки бульдозером
P
gl
3
i
l
x
P
vl
22
i
l
i
l
z
Plg
kkkk
2
Plv
kkkk
22
lgv
kkk
P
gl
3
P
vl
22
i
l
x
i
l
y
i
l
z
насыпных грунтов (песка, щебня и т. п.), когда доминируют силы
веса, а силы структурного сцепления отсутствуют, необходимо
соблюдать следующие критерии:
П =
; П = φ; П =
; П =
; П = δ; П =
;П =
.
Соотношения между масштабами имеют вид:
;kl = kx;
; kl = ky; kφ = 1; kl = kz; kδ = 1;
kσ = kl.
Для выполнения указанных условий необходимо, чтобы:
.
При геометрическом подобии и соблюдении масштаба скорости
переход от параметров модели к оригиналу при kρ = kg = 1
моделирование режимов установившегося процесса при
геометрическом подобии определяется критериями:
П =
; П = φ; П = δ; П =
; П =
; П =
;П =
.
Используя теорию моделирования возможно проведение
экспериментальных исследований на моделях с любыми видами
адаптеров и интенсификаторов (со ступенчатым ножом, с гибкой
лобовой поверхностью, с газовоздушной смазкой поверхностей
контакта оборудования с грунтом, процессов газодинамического
разрушения грунтов и любых других).
На моделях осуществляют оценку процесса копания грунтов
отвалом со ступенчатым ножом, с гибкой лобовой поверхностью, с
газовоздушной смазкой поверхностей контакта оборудования с
грунтом, процессов газодинамического разрушения грунтов и любых
других. Сопротивление передвижению пласта по отвальной
поверхности играет существенную роль в общем балансе
сопротивления копанию. Форма стружки и траектория его
продвижения по отвалу зависят от формы профиля отвала, длины и
высоты отвала, углов его установки и физико-механических свойств
грунтов. Несоответствие формы профиля отвала траектории
движения пласта приводит к образованию на отвальной
поверхности «застойных зон». В этом случае сопротивление
продвижению стружки увеличивается.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]