Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физическое моделирование технических систем. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

4.5. Генерирование случайных величин

Рис. 4.5. Устройство для генерирования значений дискретной случайной

величины

Осуществление случайной выборки из генеральной совокупности, имеющей заданное вероятностное распределение, является синонимом генерирования случайных величин. Существует два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина может принимать только определенные значения (например, только целые), тогда как непрерывная случайная – любое значение (включая дробные) из заданного непрерывного интервала.

Нетрудно придумать физическое устройство, которое генерировало бы значения дискретных случайных величин, например значения спроса для последней модели управления запасами. Такое устройство в виде диска со стрелкой показано на рис. 4.5.

После вращения остановившаяся стрелка с равной вероятностью может указать на любую точку окружности. Поэтому вероятность, что стрелка укажет на какую-либо точку на дуге, занимающей 30 % длины окружности (или, что то же самое, на точку сектора, занимающего 30 % площади круга), равна 0,3. Если отношения площадей секторов к общей площади круга соответствуют

числовым значениям вероятности, что случайная величина примет некое конкретное значение, то такое устройство можно использовать для получения различных значений случайной величины.

Пусть, например, спрос (случайная величина) в 10 % случаев принимает значение 8 (каких - либо единиц), 20 % случаев спрос равен 9, в 30 % -10, в 20 % - 11, в 10 % случаев спрос равен 12, также с вероятностью 10 % спрос составляет 13. Если круг разделить на секторы так, как показано на рис. 5.3, то остановившаяся стрелка, указывающая на сектор, занимающий 20 % площади круга, генерирует значение спроса, равное 9 единицам. Чтобы генерировать другие значения случайного спроса, надо просто еще раз раскрутить стрелку.

Генераторы случайных чисел

Несмотря на то, что устройство, описанное выше, просто в использовании, оно не удобно, если необходимо, например, получить несколько тысяч значений случайной величины либо выполнить процесс генерирования случайных чисел на компьютере. Для последнего случая разработаны генераторы случайных чисел электронных таблиц, которые генерируют случайные числа, равномерно распределенные на интервале от 0 до 1.

Чтобы генерировать значения случайного спроса, вероятности которого приведены выше, необходимо разбить интервал 0 - 1 на ряд подынтервалов, длина которых совпадала бы со значениями этих вероятностей, обычно оно производится последовательно, в соответствии с возрастающим порядком значений спроса. Если случайное число, полученное от генератора случайных чисел, попадает в какой-либо из определенных интервалов, принимается значение спроса, соответствующее этому интервалу.

Генерирование значений дискретных случайных величин

Описанный выше метод применяется только для генерирования значений дискретных случайных величин. Но во многих моделях необходимо генерировать значения как дискретных, так и непрерывных величин.

Чтобы получить значение произвольной дискретной случайной величины, необходимо иметь:

1) значение непрерывной равномерно распределенной случайной

величины,

2) распределение вероятностей дискретной случайной величины,

значения которой генерируются.

Аналогично, чтобы получить значение непрерывной случайной величины, необходимо иметь:

1) значение непрерывной равномерно распределенной случайной

величины,

2) распределение вероятностей (в виде функции распределения)

непрерывной случайной величины, значения которой генерируются.

Можно предложить один способ генерирования значений равномерно распределенной непрерывной случайной величины U – использовать описанный выше круг с вращающейся стрелкой (но без разделения на секторы). С каждой точкой на окружности можно сопоставить число, лежащее в интервале от 0 до 1. Например, точке на окружности, соответствующей трем часам на циферблате часов, можно сопоставить число 0,25.

4.6. Некоторые выводы

Имитация является мощным и гибким инструментом изучения широкого круга управленческих моделей. В основном, имитация используется, если не существует хорошей аналитической модели или она слишком сложна. В процессе имитации можно учесть изменчивость параметров модели и определить время выхода модели на стационарный (устойчивый) режим. С помощью имитационных моделей можно представить большинство реальных задач, стоящих перед менеджером, поэтому техника работы с такими моделями в настоящее время широко используется при разрешении управленческих ситуаций. Однако перед тем, как использовать имитационное моделирование, менеджеру необходимо рассмотреть и учесть несколько важных факторов.

Как указывалось выше, имитация часто применяется из-за отсутствия подходящей аналитической модели. В аналитических моделях можно использовать широкий арсенал математических методов, что часто позволяет найти оптимальное решение и иногда провести анализ чувствительности (конечно, если сложность модели не препятствует этому). При имитационном моделировании случайных событий оптимальность решения не гарантирована и даже более того – часто трудно получить решение, хотя бы в какойто степени близкое к оптимальному. Иногда требуется провести много испытаний имитационной модели, чтобы получить приемлемую достоверность «добротности» какого-либо решения.

Однако при имитационном моделировании можно получить такие данные, которые с помощью аналитических моделей получить очень сложно или невозможно совсем, например, определить влияние изменчивости параметров модели, поведение модели до достижения ею установившегося состояния и т.п.

Разработка имитационной модели в электронных таблицах

Общей и часто фатальной ошибкой при разработке имитационных моделей является попытка «вместить» в модель все, что только можно, делая ее излишне сложной. Это можно рассматривать как гиперреакцию на свободу, полученную после перехода от аналитических моделей к имитационным. Предположения, на которых базируются аналитические модели, часто бывают очень ограничительными. Как только мы уходим от предположения о линейности функций или других подобных упрощающих предположений, так сразу же в астрономических размерах возрастают математические сложности, связанные с аналитической моделью. В этом кроется причина того, что многие аналитические модели имеют ограниченное применение на практике. Имитационные модели в этом плане более «либеральны». Поскольку в процессе имитационного моделирования наблюдаются значения функций (а не решаются системы уравнений), то здесь свойство линейности функций не играет такой заметной роли, как в аналитических моделях.

Какой бы ни была мотивация, но зачастую действительно слишком много факторов и параметров включается в имитационную модель. С другой стороны, нет каких-либо теоретических препятствий, чтобы не делать этого. Например, чтобы учесть какойнибудь новый фактор в модели, достаточно ввести его в рабочий лист и инкорпорировать в модель. Большие сложные имитационные модели менеджерам кажутся очень «жизнеподобными». Однако такой подход может породить серьезные проблемы.

Во-первых, такие модели оказываются «дорогим удовольствием».

Во-вторых, сложные имитационные модели порождают большой объем новых данных, эти данные трудно интерпретировать и для их анализа требуются дополнительные усилия.

Залогом успешного применения имитационных моделей является включение в модель только самых существенных черт реальной проблемы, не загроможденных излишними деталями и

подробностями. Практика показывает, что многие проекты имитационного моделирования «умирают» от излишней «тучности» первоначальных предположений (включенных в модель) чаще, чем от каких-либо других «болезней».

Также отметим важную роль, которую играют в имитационном моделировании, реализованном в электронных таблицах, различные надстройки и дополнительное программное обеспечение, значительно расширяющие встроенные средства электронных таблиц (например, Excel). Они часто предоставляют такие возможности, которые недоступны в самих электронных таблицах. Некоторые подобные программы мы рассмотрели в этой главе. Без их использования решение имитационных задач только встроенными средствами Excel часто или не продуктивно, или не эффективно.

Документирование

Имитационные модели необходимо хорошо документировать. Любой специалист, который знакомится с имитационной моделью, должен легко понять требования, предъявляемые к модели, предположения, на которых построена модель, входные данные и выходные результаты, полученные с ее помощью. Все это требует ясной и четкой документации, описывающей модель.

Документация также необходима при общении разработчика модели с заказчиком или конечным пользователем. Конечный пользователь должен понимать, как вводить значения переменных, изменять параметры модели и анализировать результаты имитации. Пользователь также должен уяснить, какие основные стороны реальной проблемы отражены в имитационной модели, поскольку именно он знает существо проблемы и ему делать вывод о том, какие решения «хороши», а какие – нет.

4.7. Основные термины и определения по 4-й главе

Вероятностное распределение – способ определить

вероятность того, что случайная величина примет конкретное числовое значение.

Дискретное равномерное распределение – вероятностное распределение, задающее равные вероятности всем членам конечного множества чисел.

Имитатор – устройство для экспериментирования, которое имитирует некоторые основные черты поведения реальных систем.

Имитационная модель – последовательность логических и математических операторов, ведущая к получению оценок определенного множества значений параметров или переменных решения.

Испытание – однократное вычисление имитационной модели.

Метод Монте – Карло – тип имитации, при котором

используются вероятностные распределения наступления случайных событий.

Непрерывное равномерное распределение – вероятностное распределение, задающее равные вероятности всем действительным числам из конечного интервала.

Нормальное распределение – вероятностное распределение, которое хорошо описывает многие явления, происходящие как в природе, так и в бизнесе, например, изменения спроса и предложения или распределение вычисленного выборочного среднего значения какой-либо случайной величины.

Ожидаемое значение – среднее значение или математическое ожидание некоторой случайной величины, имеющей заданное вероятностное распределение.

Распределение Пуассона – вероятностное распределение, которое часто используется для описания количества поступлений в систему очереди в течение указанного интервала времени.

Случайная величина – величина, которая с определенной вероятностью может принимать различные числовые значения из определенного множества. Распределение вероятностей принимаемых случайной величиной числовых значений описывается функцией распределения.

Функция распределения – вероятность того, что случайная величина примет значение, не превышающее значения аргумента функции распределения.

Экспоненциальное распределение – вероятностное распределение, обычно используемое для описания времени между поступлениями заказов в систему очереди.

4.8. Контрольные вопросы (тесты) по главе 4

Часть 1

Данная группа вопросов предполагает выбор из двух вариантов

ответов (Да / Нет):

1. Основой имитации является построение устройства для

экспериментов, которое в основных чертах повторяет поведение интересующей нас системы.

2. В качестве имитационной модели можно использовать детерминированную модель (т.е. модель, не содержащую вероятностных элементов).

3. Если имитационная модель содержит вероятностные элементы, то два испытания этой модели дадут одинаковые значения наблюдаемых выходов модели.

4. В имитационной модели со случайными элементами невозможно гарантировать получение решения, обеспечивающего максимум целевой функции.

5. В процессе решения реальных проблем общей практикой является сопоставление ожидаемых значений параметров решения со средними значениями этих параметров, полученными в результате имитационного моделирования.

6. Если в процессе имитации получено несколько различных случайных выходных результатов, то корректная связь между случайными числами и событиями предполагает, что каждому случайному числу должен соответствовать один случайный результат.

7. При проведении малого числа испытаний имитационной модели результаты имитации очень чувствительны к начальным условиям модели.

8. Имитационное моделирование часто считается последним средством решения реальных проблем, поскольку его не применяют до тех пор, пока аналитические модели хорошо работают и адекватно отражают реальную ситуацию.

9. Общей ошибкой при разработке имитационных моделей является использование ограничительных предположений, при которых модель перестает адекватно отражать сущность реальной проблемы.

10. Добавление дополнительных параметров в имитационную модель не только увеличивает стоимость имитационного процесса, но и повышает качество получаемого решения.

Часть 2

Данная группа вопросов предполагает выбор правильного

ответа из предложенных вариантов:

1. В типичной имитационной модели входными данными являются:

a) значения параметров; b) значения переменных решения; c) значения наблюдаемых переменных; d) все выше перечисленное; e) а) и b).

2. К достоинствам имитационного моделирования (в сравнении с аналитическими моделями оптимизации) можно отнести:

a) возможность многократного измерения интересующих нас

параметров модели,

b) возможность получения оценки изменчивости выходных

результатов модели,

c) возможность исследования сложных сценариев поведения

системы,

d) все выше перечисленное.

3. Рассмотрим имитатор со случайными элементами, где в

качестве показателя эффективности системы используется доход. Справедливы следующие утверждения:

a) в качестве оценки значения ожидаемого дохода можно

использовать значение дохода, усредненное по большому количеству испытаний имитатора;

b) при возрастании количества испытаний имитатора среднее значение дохода, полученное в результате имитации, стремится к ожидаемому значению дохода;

c) значение среднего дохода всегда одинаково в течение десяти испытаний имитатора;

d) ничего из вышеперечисленного.

4.Случайное число, полученное с помощью генератора

случайных чисел электронной таблицы, это:

a) действительное число из интервала от 0 до 1, причем все числа из этого интервала имеют одинаковую вероятность;

b) число, выбранное наугад из множества чисел, на котором

задано равномерное распределение;

c) число, выбранное случайно из множества чисел, на котором вероятностное распределение задано менеджером;

d) ничего из вышеперечисленного.

5. Пусть с помощью генератора случайных чисел получено

случайное число 0,63. Соответствующее значение v случайной величины, имеющей нормальное распределение, определяется следующим образом:

a) v – это «вероятность того, что нормально распределенная

случайная величина 50,63»;

b) v – это такое число, что «вероятность того, что нормально распределенная случайная величина <v», равна 0,63;

c) v – это такое число, что «вероятность того, что нормально распределенная случайная величина равна v», равна 0,63;

d) ничего из вышеперечисленного.

6. Полученные ранее аналитические результаты используются

перед процессом имитации для того, чтобы определить:

a) «хорошие значения» системных параметров;

b) оптимальное решение;

c) «хорошие значения» переменных решения для заданного набора значений системных параметров;

d) все вышеперечисленное.

7. Чтобы уменьшить влияние начальных условий на результаты

имитации, можно:

a) варьировать значения системных параметров;

b) увеличить количество рассматриваемых альтернативных решений;

c) увеличить количество испытаний и не рассматривать данные,

полученные во время первых испытаний модели для всех наборов параметров и решений;

d) все вышеперечисленное.

8. Как аналитические, так и имитационные модели можно

использовать для решения задач, включающих случайные события. При этом часто аналитические модели предпочтительнее имитационных по следующим причинам:

a) имитационное моделирование требует проведения большого

числа испытаний, чтобы получить хорошую оценку значения целевой функции для каждого отдельного решения;

b) с помощью аналитической модели можно получить оптимальное решение;

c) решение задачи с помощью имитационного моделирования требует оценить большое количество возможных альтернативных решений;

d) все вышеперечисленное.

9. Большие сложные имитационные модели порождают такие

проблемы:

a) трудно оценить средние значения параметров модели;

b) сложно имитировать случайные события;

c) модель становиться дорогостоящей;

d) все вышеперечисленное.

10.Использование имитационного моделирования целесообразно

в следующих ситуациях:

a) полученные ранее решения можно использовать для предсказания (с последующей проверкой) других решений;

b) можно провести большое количество испытании для каждого решения;

c) для имитации всех возможных решений;

d) ничего из вышеперечисленного.

Ответы

Часть 1:

1. Да. 2. Да. 3. Нет. 4. Да. 5. Нет. 6. Нет. 7. Да. 8. Да. 9. Нет. 10. Да.

Часть 2:

1. е; 2. d; 3. а; 4. а; 5. b; 6. с; 7. е; 8. d; 9. с; 10. а.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]