Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электромагнетизм. Учебное пособие
.pdf
21
движения является радиус, период вращения и шаг спирали. Шаг
спирали h – это расстояние между двумя ближайшими витками.
Найдем шаг спирали h, используя уравнение кинематики поступательного движения:
II II
2π 2π
cos
m m
hT
qB qB
= = =
.
B
h
R
q>0
α
II
⊥
Рис. 1.14
Движение заряженной частицы одновременно
и в электрическом, и в магнитном полях
При движении заряженной частицы в области простран-
ства, занятой одновременно и электрическим, и магнитным полями, характер ее движения зависит от направления этих полей
и величины сил, действующих с их стороны, а также от скорости
частицы.
При движении заряженной частицы одновременно в элек-
трическом и магнитном полях на нее действуют две силы – со
стороны электрического
qE
и магнитного
,qB
полей:
,F q E q B
= +
.
22
Рассмотрим примеры движения заряженной частицы в па-
раллельных электрическом и магнитном полях.
Если частица влетает в область пространства параллельно
векторам
E
и
B
, то на нее действует только электрическая сила
эл
F q E=
(сила Лоренца
л
sin 0F q B= =
, т. к. α = 0 и sinα = 0).
Под действием этой силы
эл
F
частица движется прямолинейно
с ускорением
qE
a
m
=
.
Если
Е⊥
и
В⊥
, то частица движется по спирали,
а уравнение движения имеет вид:
(,
d
m q E B
dt
= +
).
Шаг спирали растет с увеличением времени движения, а R
не зависит от вектора напряженности электрического поля.
Если частица влетает под углом к
Е
и
В
, то траекторией
движения частицы также будет спираль. Скорость можно разложить на две составляющие: параллельную, которая будет определять шаг спирали, и перпендикулярную составляющую, которая
определяет радиус спирали.
Если векторы E и B взаимно перпендикулярны, то скорость
частицы перпендикулярна силовым линиям этих полей. В этом
случае на частицу действуют две силы: электрическая
qE
и магнит-
ная
,qB
, которые могут быть как сонаправлены (для положи-
тельно заряженных частиц), так и противоположно направлены (для
отрицательных частиц). Если силы противоположно направлены
и равны по модулю (
qE q B=
), то частица будет двигаться равно-
мерно и прямолинейно.
Если силы, действующие на движущуюся заряженную ча-
стицу, сонаправлены, т. е.
,ВЕ⊥
, то движение частицы будет
23
представлять суперпозицию двух движений: прямолинейного
с ускорением вдоль линий вектора E и вращательного в плоско-
сти, перпендикулярной вектору
B
.
В общем случае, если частица влетает в электрическое и маг-
нитное поля под произвольным углом, то эта задача требует отдель-
ного обсуждения и в данном пособии рассматриваться не будет.
Физический смысл вектора магнитной индукции
Вектор магнитной индукции
B
является одной из количе-
ственных характеристик магнитного поля. Выразим величину
вектора магнитной индукции из закона Ампера:
А
sinα
F
BI=
.
Отсюда следует физический смысл: магнитная индукция
есть сила, действующая на проводник длиной 1 м с током 1 A,
расположенный в однородном магнитном поле перпендикулярно
его силовым линиям.
Аналогично
B
можно выразить из закона Лоренца:
л
sinα
F
Bq=
.
В этом случае магнитная индукция численно равна силе,
действующей на единичный положительный заряд, движущийся
в однородном магнитном поле перпендикулярно силовым линиям поля.
Пример 1.7. Протон влетает в однородное магнитное поле
с индукцией 20 мкТл перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Сколько оборотов в секунду будет делать протон
в магнитном поле?
Решение. На заряженную частицу в магнитном поле действует сила
24
л
sinF q B=
,
где q – заряд частицы; B – индукция магнитного поля; – скорость частицы; α – угол между векторами и B.
В данной задаче α = 90°, значит протон будет двигаться
в магнитном поле по окружности радиуса R с центростремительным (нормальным) ускорением (рис. 1.15)
2
a
R
=
.
По второму закону Ньютона
л
F
am=
,
где m – масса частицы.
Дано:
B = 20 мкТл
α = 90°
СИ:
2·10
−
5
Тл
n
a
л
F
0q
R
B
Рис. 1.15
Найти:
n – ?
Приравнивая правые части выражений
2
R
a=
и
л
F
m
a =
,
с учетом формулы
л
sinF q B=
, получаем:
2
sinqB
Rm
=
,
25
т. к.
sin90 1=
, то после небольшого преобразования получаем:
qBR
m
=
.
С другой стороны:
,R =
где
2 n =
– угловая скорость.
Тогда
2π.nR=
Приравняв правые части уравнений
qBR
m
=
и
2 nR =
,
получим:
2,
qBR
nR
m
=
откуда выразим n – частоту вращения, т. е. число оборотов в секунду:
.
2
qB
n
m
=
Проверка единиц измерения:
1
2
Кл А с Н с кг м 1
Тл с
кг кг А м кг м с
с
n
−
= = = = =
.
Подставляем числовые значения:
19 5
27
1,6 10 2 10
2 1,67 10
n
−−
−
=
= 304,6 c-1.
Ответ: n = 304,6 c-1.
Пример 1.8. Электрон, имеющий скорость 8·106 м/с, влетает
в однородное магнитное поле с индукцией 31,4 мТл под углом
30° к его направлению. Определите радиус и шаг винтовой ли-
нии, по которой будет двигаться электрон.
26
Решение. Скорость разложим на две составляющие – тан-
генциальную
II
, параллельную линиям индукции магнитного
поля, и нормальную
⊥
, перпендикулярную им (рис. 1.16):
II
cos =
;
sin
⊥
=
.
Дано:
= 8·106 м/c
B = 31,4 мТл
α = 30°
m = 9,1·10
−
31
кг
е
= 1,6·10
−
19
Кл
СИ:
3,14·10
−
2
Тл
B
h
R
q>0
α
II
⊥
Рис. 1.16
Найти:
R – ? h – ?
На электрон действует сила
л
F
со стороны магнитного поля
(благодаря нормальной составляющей скорости):
л
.
n
F e B=
Под действием этой силы электрон будет двигаться по
окружности радиуса R, который можно найти из условия:
2
,
m
eB
R
⊥
⊥
=
т. к. сила Лоренца является центростремительной силой, тогда
m
R
eB
⊥
=
.
Вдоль силовых линий поля
л
0F =
, поэтому частица дви-
жется прямолинейно с постоянной скоростью
II
cos =
.
В результате суперпозиции двух движений электрон будет
двигаться по винтовой линии радиусом R и шагом винта h:
27
II
,hT=
где T – период движения по окружности;
2
22
m
Rm
T
eB eB
⊥
⊥⊥
= = =
.
С учетом формулы
II
sin =
, уравнение
II
hT=
при-
нимает вид:
2 cosm
h
eB
=
.
Проверка единиц измерения:
2
кг м
с
υ
кг м/с Н с
с
м
НН
Кл Тл
Кл А с
А м А м
m
h
eB
= = = = =
.
Подставляем числовые данные в выражения:
31 6
19 2
9,1 10 8 10 sin30
1,6 10 3,14 10
R
−
−−
=
= 0,07 м;
31 6
19 2
2 9,1 10 8 10 cos30
1,6 10 3,14 10
h
−
−−
=
= 0,79 м.
Ответ: R = 0,07 м; h = 0,79 м.
Вопросы и задания для самоподготовки
1. Сформулируйте и запишите математическое выражение
для силы Лоренца.
2. Чем определяется величина и направление силы Лоренца?
3. Как определить направление силы Лоренца?
4. Нарисуйте траекторию движения заряженной частицы
в магнитном поле: а) частица влетает в магнитное поле параллель-
28
но линиям магнитной индукции
B
; б) частица влетает
в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции
B
⊥
; в) частица влетает в магнитное поле под углом 0°< α < 90°.
5. Определите характер движения частицы в параллельных
электрическом и магнитном полях.
6. Определите характер движения частицы в перпендику-
лярных электрическом и магнитных полях.
1.5. Поток вектора магнитной индукции
Магнитный поток Ф
B
– это физическая величина, численно
равная скалярному произведению вектора магнитной индукции
В
на вектор Sn, равный площади S, умноженной на внешнюю
нормаль n к контуру (рис. 1.17):
Ф ( , ) cosα
В
B S BS==
.
Магнитный поток в СИ измеря-
ется в веберах:
Ф
= Вб.
Теорема Остроградского – Гаус-
са для магнитного поля в вакууме: магнитный поток через произвольную за-
мкнутую поверхность равен нулю.
( ) 0.
S
BdS =
Эта теорема является математическим выражением того
факта, что в природе нет магнитных «зарядов», т. е. нет источни-
ков магнитного поля, на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции, вследствие чего линии магнит-
ной индукции являются замкнутыми.
S
n
B
α
Рис. 1.17
29
Работа по перемещению проводника и контура с током
в магнитном поле
На проводник с током в магнитном поле действует сила
Ампера. Следовательно, если проводник не закреплен, то под действием силы Ампера проводник бу-
дет перемещаться (рис. 1.18). Работа
по перемещению любого тела равна
А = F·xсоsα, где F – приложенная
сила, х – перемещение тела, α – угол
между силой и перемещением. В данном случае действующей силой явля-
ется сила Ампера:
sin( , ) sin90 ,dF IBl B l IBl IBl= = =
тогда A = I B l dxсоsα = I B l dxсоs0 = I B Ds = I dФВ.
Работа сил поля по перемещению проводника с током в по-
стоянном магнитном поле численно равна произведению силы
электрического тока на величину магнитного потока, который
пересечет проводник при своем движении.
Пример 1.6. Проводник длиной l = 0,15 м с током I = 8 А пер-
пендикулярен вектору индукции магнитного поля, модуль которого
В = 4 Тл. Найти перемещение проводника в направлении силы Ам-
пера, если при этом совершена работа А = 0,12 Дж (рис. 1.19).
На проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера:
sinα,
А
F I l B=
но поскольку sin α = 1, т. к.
α = 90, следовательно,
А
F I l B=
.
Под действием этой силы совершается работа А по перемещению проводника с током в магнитном поле:
А = FA x.
+
B
l
I
А
F
dx
Рис. 1.18
30
Дано:
l = 0,15 м
I = 8 А
В = 4 Тл
А = 0,12 Дж
= 90
+
B
l
I
А
F
e
I
e
+
Рис. 1.19
Найти:
х – ?
Подставим в выражение работы величину силы Ампера:
A = I lB x.
Отсюда найдем x:
.
А
x
I lB
=
Проверка единиц измерения
[] Дж Н м Н А м
[]
[ ] [ ] [ ] А м Тл А м Тл А м
A
х
IlВ
= = = =
= м.
Вычисления:
0,12
8 0,15 4
х =
= 0,025 (м).
Ответ: х = 2,510
−
2
м.
Вопросы и задания для самоподготовки
1. Сформулируйте определение потока вектора магнитной
индукции.
2. От каких физических характеристик зависит поток
вектора магнитной индукции?
3. Как определить работу по перемещению проводника
и контура с током в магнитном поле?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]