Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электромагнетизм. Учебное пособие
.pdf
11
Индукция бесконечно длинного проводника с током I на
расстояние a от него равна:
0
,
2
I
B
a
=
где а – расстояние от проводника с током до точки, в которой
определяется
В
.
Тогда
01
2
A
I
B
AK
=
;
02
.
2 ( )
B
I
B
AB AK
=
−
В точке K векторы
А
B
и
В
B
направлены в одну сторону
и, следовательно, величина вектора B равна:
B = BА + BВ.
Проверим единицы измерения:
1
12
0
2
Гн А А Гн А
μμ Тл.
м м м
м
М
II
В
АК AB АК
= + = + = =
−
0 1 0 2
.
2 2 ( )
II
B
AK AB AK
=+
−
77
14π 10 20 1 4π 10 20
70 мкТл.
2π 0,1 2π(0,1 0,04)
B
−−
= + =
−
Ответ: B = 70 мкТл.
Вопросы и задания для самоподготовки
1. Сформулируйте принцип суперпозиции магнитных полей.
2. Сформулируйте закона Био – Савара – Лапласа.
12
1.3. Сила ампера
Закон Ампера – закон взаимодействия электрических токов.
Впервые был установлен Андре Мари Ампером в 1820 г. для по-
стоянного тока. Сила Ампера dF, с которой магнитное поле дей-
ствует на элемент проводника с током
,dl
находящийся в маг-
нитном поле, равна векторному произведению элемента тока на
магнитную индукцию поля:
,dF Idl В
=
,
где
dl
– вектор, по модулю равный длине dl элемента провод-
ника с током и направленный по току,
Idl
– элемент тока.
Направление силы
dF
определяется по правилу векторного
произведения: сила Ампера лежит в плоскости, перпендикуляр-
ной плоскости нахождения векторов
Idl
и
В
, а направление
силы находят по правилу буравчика (рис. 1.6).
Если вектор магнитной индукции и проводник составляют
между собой угол 90, то удобно находить силу при помощи правила левой руки: если левую руку расположить так, чтобы век-
тор магнитной индукции (В) входил в ладонь по направлению
тока, то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы, действующей на отрезок проводника с током, т. е.
силу Ампера (рис. 1.7).
B
[ , ]dF Idl B=
F
Idl
Рис. 1.6
Рис. 1.7
13
Модуль силы Ампера можно найти по формуле:
sindF IBdl=
,
где α – угол между векторами магнитной индукции и тока. Сила
максимальна, когда элемент проводника с током расположен пер-
пендикулярно линиям магнитной индукции (
90 , sin 1) = =
:
max
.dF IBdl=
Из закона Ампера следует, что параллельные проводники
с электрическими токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных – отталкиваются. Рассмотрим
это взаимодействие.
Взаимодействие параллельных проводников с током
Рассмотрим два бесконечно длинных прямолинейных параллельных проводника с токами I1и I2. Пусть токи в проводниках
текут в противоположных направлениях. Каждый из проводников
создает в окружающем пространстве магнитное поле
1
B
и
2
B
, ко-
торое действует на другой проводник с током. Определим, с какой
силой магнитное поле тока I1 действует на проводник с током I2.
Определим направление вектора
магнитной индукции (по правилу
буравчика, рис. 1.8), созданное пер-
вым проводником в тех точках пространства, где находится второй
проводник (и наоборот). Направление силы Ампера, действующей на
второй проводник со стороны пер-
вого, определим по правилу левой
руки (рис. 1.8). Как видно из ри-
сунка, силы
12
Fd
и
21
Fd
направлены
друг от друга, т. е. проводники отталкиваются.
I
1
1
B
2
B
I
2
12
dF
21
dF
d
Рис. 1.8
14
Найдем величину силы Ампера, действующую на длину
проводника (dl):
21 2 1 2 1
sin90dF I dlB I dlB= =
,
где
1
B
− магнитная индукция поля, созданного током I
1
. Для бес-
конечно длинного прямолинейного проводника с током модуль
вектора равен:
01
1
2
I
B
d
=
,
где d − расстояние между проводниками.
Аналогично на проводник с током I1 действует сила Ампера:
12 1 2 1 2
sin90dF I dlB I dlB= =
.
Величина вектора магнитной индукции равна:
.
Найдем величину сил
12
dF
и
21
dF
:
и .
Из полученных выражений следует, что на проводники дей-
ствуют одинаковые по величине силы.
Таким образом, токи, текущие в противоположных направ-
лениях, отталкиваются, а в одном направлении – притягиваются
(проделайте самостоятельно).
Пример 1.4. Между полюсами электромагнита создается
однородное магнитное поле с индукцией B = 0,1 Тл. По проводу
длиной l = 70 см, помещенному перпендикулярно к направлению
магнитного поля, течет ток I = 70 А. Найти силу F, действующую
на провод (рис. 1.9).
1
B
d
I
B
=
2
20
2
d
dlII
dF
=
2
210
12
d
dlII
dF
=
2
210
21
15
Дано:
B = 0,1 Тл
l = 70 см
I = 70 А
СИ:
0,7 м
dF
B
Idl
Рис. 1.9
Найти:
F – ?
Решение. На элемент длины
ld
проводника с током I в маг-
нитном поле с индукцией
B
действует сила Ампера
BldIFd
,=
.
Направление этой силы определяется по правилу векторного про-
изведения векторов.
Модуль силы Ампера вычисляется по формуле:
sindF IBdl=
,
где α – угол между векторами dl и B.
Поскольку sin α = 1, то
,dF IBdl=
или
0
.
l
F IB dl IBl==
F = 70 A·0,1 Тл·0,7 м = 4,9 Н.
Ответ: F = 4,9 Н.
Пример 1.5. Стальной проводник диаметром 0,1 мм висит
в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл (рис. 1.10).
Найти силу тока в проводнике. Плотность стали 7,8·103 кг/м3.
Решение. По условию, проводник находится в равновесии,
значит геометрическая сумма сил, действующих на него, равна
нулю:
0
i
F =
.
16
Дано:
d = 0,1 мм
В = 20 мТл
ρ = 7,8·103 кг/м3
СИ:
10
−
4
м
2·10
−
2
Тл
dF
B
Idl
mg
Рис. 1.10
Найти:
I – ?
На данный проводник действуют две силы: сила Ампера
A
F
со стороны магнитного поля и сила тяжести
mg
со стороны гра-
витационного поля Земли, тогда
А
0,F mg+=
следовательно,
А
,F mg=
где
sinαF I B l I B l
= =
, т. к. α = 90°, sin 90° = 1; m – масса
проводника;
.mV=
Здесь ρ – плотность стали; V – объем проводника;
V l S=
, а пло-
щадь сечения проводника
2
4
dS
=
. Следовательно,
2
π
ρ
4
d
ml
=
.
С учетом силы Ампера и найденной массы проводника за-
пишем:
17
2
π
ρ
4
d
I B l g l
=
,
откуда следует:
2
πρ
4
gd
I
B
=
.
Подставим числовые данные:
38
2
3,14 7,8 10 10 10
4 2 10
I
−
−
=
= 0,12 А.
Ответ: I = 0,12 А.
Вопросы и задания для самоподготовки
1. Сформулируйте и запишите закон Ампера.
2. Запишите формулу для вычисления силы взаимодействия
между двумя параллельными проводниками с током.
3. Как найти направление силы Ампера?
1.4. Сила Лоренца. Движение заряженной частицы
в однородном постоянном магнитном поле
Сила Лоренца – это сила, действующая на электрический
заряд q, движущийся со скоростью , в магнитном поле:
л
,F q B
=
,
где
B
– вектор магнитной индукции поля.
Модуль силы равен:
л
υ s in α,F q B=
где α – угол между векторами и B.
18
Направление силы
л
F
определя-
ется направлением векторного произ-
ведения или по правилу левой руки:
если ладонь левой руки расположить
так (рис. 1.11), чтобы в нее входил
вектор магнитной индукции B, а четыре вытянутых пальца направить
вдоль скорости движения положи-
тельного заряда, то отогнутый на
90° большой палец покажет направление силы, действующей на заряд.
Под действием силы Лоренца заряженные частицы дви-
жутся в магнитном поле по криволинейным траекториям.
Рассмотрим характер движения частицы массой m и зарядом
q в магнитном поле. Сила Лоренца зависит от угла между перво-
начальным направлением скорости движения частицы и направлением линий индукции магнитного поля (рис. 1.12–1.14).
0q
0q
0q
0q
B
B
Рис. 1.12
1. Частица влетает в магнитное поле параллельно его
силовым линиям (
Вv
или
Bv
).
Пусть положительно (или отрицательно) заряженная частица движется по полю или в противоположную сторону, в этих
случаях угол равен 0 или 180 соответственно. Синус этих углов равен нулю, тогда Fл = 0, следовательно, частица движется
В F
Рис. 1.11
19
в соответствии с I законом Ньютона равномерно и прямолинейно
со скоростью
II
=
. На рис. 1.12 пунктиром отмечена траекто-
рия движения частиц.
2. Частица влетает в магнитное поле перпендикулярно
его силовым линиям.
Частица влетает в магнитное поле перпендикулярно его си-
ловым линиям. Сила Лоренца равна
л
sin90F q B q B= =
,
следовательно, она максимальна по величине. Из механики из-
вестно, что если на тело действует сила, направленная перпенди-
кулярно вектору скорости, то тело движется по окружности с постоянной по величине скоростью. Поскольку скорость направлена
под прямым углом к силовым линиям магнитного поля, то обозначим
⊥
=
. Таким образом,
л
F
является в этом случае центростре-
мительной силой и создает нормальное (или центростремитель-
ное) ускорение
2
n
R
а
⊥
=
(рис. 1.13).
л
F
B
л
F
0q
0q
R
R
Рис. 1.13
Найдем радиус вращения частицы по окружности. Исполь-
зуя II закон Ньютона, запишем уравнение движение частицы:
2
m q B
R
⊥
⊥
=
.
20
Отсюда
m
R
qB
⊥
=
.
Из этой формулы следует, что чем массивнее частица
и с чем большей скоростью она движется, тем труднее полю отклонить ее от первоначального направления движения (радиус
окружности больше).
Найдем период вращения частицы. Поскольку частица вращается равномерно, то можно записать:
2 R
Т
⊥
=
.
Учтем полученное выше выражение для R и получим:
2π
2π
.
m
m
T
qB qB
⊥
⊥
==
Как следует из полученного выражения, период вращения
заряженной частицы в однородном магнитном поле не зависит от
скорости ее движения.
3. Частица влетает в однородное магнитное поле под уг-
лом к силовым линиям.
Положительно заряженная частица движется под углом
к силовым линиям магнитного поля. Разложим скорость на две
составляющие по отношению к силовым линиям магнитного
поля: параллельную v
и перпендикулярную v⊥:
II⊥
= +
. Со-
гласно принципу независимости движения, частица одновременно движется по полю и перпендикулярно к нему. По полю частица движется равномерно и прямолинейно со скоростью v
(рис. 1.14). В перпендикулярной плоскости к силовым линиям
магнитного поля частица описывает окружности под действием
силы Лоренца
л
F q B
⊥
=
. Следовательно, результирующей тра-
екторией движения частицы является спираль. Характеристикой
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]