Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Методика решений контрольных заданий по физике для студентов-заочников. Ч.2. Учебно-методическое пособие.pdf
· Электроемкость конденсатора
d
ee
c =
=
j-j
21
U
qq
,
где (
j
–
1
j
) = U – разность потенциалов (напряжение) между обклад-
2
ками конденсатора; q – модуль заряда на одной обкладке конденсатора.
· Электроемкость плоского конденсатора в системе СИ
=
0
,
c
S
где S – площадь одной пластины; d – расстояние между обкладками.
· Электроемкость проводящего шара (сферы) в СИ
где R – радиус шара;
мость среды;
e
= 8,85×10
0
с = 4
e
– относительная диэлектрическая проницае-
-12
Ф/м.
pee
0
R,
· Емкость батареи из n конденсаторов, соединенных после-
довательно,
n
11
å
=
i
.
cc
1
i
=
· Емкость батареи из n конденсаторов, соединенных парал-
лельно,
å
=ni
.
c
i
1
с =
Последние две формулы применимы для определения емкости
многослойных конденсаторов. Расположение слоев параллельно пластинам соответствует последовательному соединению однослойных
конденсаторов; если же границы слоев перпендикулярны пластинам,
то считают, что имеется параллельное соединение однослойных конденсаторов.
21
Примеры решения задач
r
r
r
r
r
r
q
3
+
_
I
Пример 1.1. Два точечных заряда 9q и -q закреплены на расстоя-
нии l = 50 см друг от друга. Третий заряд q3 может перемещаться
только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда q3, при котором он будет находиться в равновесии. При
каком знаке заряда q3 равновесие будет устойчивым?
Дано:
q1 = 9q
q2 = -q
l = 0,5 м
Заряд q3 находится в равновесии в том случае,
если геометрическая сумма сил, действующих на
него, равна нулю. Это значит, что на заряд q3
Решение
должны действовать две силы, равные по модулю
и противоположные по направлению.
r = ?
Рассмотрим, на каком участке (из трех I, II, III (см. рисунок)) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать,
что заряд q3 – положительный.
На участке I на заряд q3 будут действовать две противоположно
направленные силы
q
, в любой точке этого участка больше силы
1
F
1
и
F
. Сила
2
F
, действующая со стороны заряда
1
F
, действующей со
2
стороны заряда q2, так как больший заряд q1 находится всегда ближе
к заряду q3, чем меньший (по модулю) заряд q2. Поэтому равновесие
на этом участке невозможно.
F
1
F
q
1
2
q
2
l
22
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
×
4
2
r
r
2
r
+
_
_
II
q
F
1
3
q
F
q
2
2
F
III
1
F
2
q
q
1
1
+
q
3
На участке II обе силы
F
1
и
l + x
Рис.1
F
направлены в одну сторону – к за-
2
x
ряду q2. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.
На участке III силы
F
1
и
F
направлены в противоположные сто-
2
роны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший заряд
q
всегда находится ближе к заряду q3, чем больший заряд q
2
значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы
F
1
1.
Это
F
и
2
будут одинаковы по модулю, т. е.
=
. (1)
Пусть х и l + х – расстояние от меньшего и большего зарядов до
заряда q3. Выражая в равенстве (1)
и
в соответствии с зако-
ном Кулона, получим
9
+
qq
3
2
)(
xl
=
qq
3
⟹8−2−=0. (2)
2
x
Решая квадратное уравнение (2), получим два корня:
l
.
x -=+=
l
,
x
21
Корень х2 не удовлетворяет физическому условно задачи (в этой
точке силы
F
1
и
F
хотя и равны по модулю, но направлены в одну
2
сторону).
23
Определим знак заряда q3, при котором равновесие будет устой-
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
чивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в
положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда q3 в двух случаях: когда заряд положителен и отрицателен.
Если заряд q3 положителен, то при смещении его влево обе си-
лы
F
1
и
F
возрастают. Так как сила
2
F
возрастает медленнее, то ре-
1
зультирующая сила, действующая на заряд q3, будет направлена в ту
же сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. влево. Под действием
этой силы заряд q3 будет удаляться от положения равновесия. То же
происходит и при смещении заряда q3 вправо. Сила
рее, чем
F
. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена
1
F
убывает быст-
2
вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться
вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в
случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.
Если заряд q3 отрицателен, то его смещение влево вызовет
увеличение сил
FF
>
. Результирующая сила будет направлена вправо. Под её дей-
12
F
1
и
F
, но сила
2
F
возрастает медленнее, чем
1
F
, т. е.
2
ствием заряд q3 возвращается к положению равновесия. При смещении q3 вправо сила
F
убывает быстрее, чем
2
F
, т. е.
1
>
FF
, резуль-
21
тирующая сила направлена влево и заряд q3 опять будет возвращаться в положение равновесия. При отрицательном заряде равновесие
является устойчивым. Величина самого заряда q3 несущественна.
Пример 1.2. В вакууме образовалось скопление зарядов в виде
тонкого длинного цилиндра с объемной плотностью
r
= 1·10
-10
Кл/м3
и радиусом R =10 см. Найти напряженность поля в точках, отстоящих
от оси цилиндра на расстоянии 5 и 15 см, а также вид зависимости Е(r).
24
Дано
×
r
R
r
£
r
×
● 1 r2 r
●2
l
×××
=
p
(3)
Решение
R = 10 см
r
= 1·10
r
= 0,05 м
1
r
= 0,15 м
2
-10
Кл/м3
ε = 1
Е1 = ? Е2 = ?
Е(r) = ?
R
Через точки 1 и 2 проведем в виде цилиндров радиусом r1 и r2 замкнутые поверхности (рис. 1). Поток вектора напряженности, пронизывающий боковую поверхность цилиндра радиуса r1, равен
N
E(1)
= E
×2
p
r
×
1
l, (1)
1
где l – длина образующей цилиндра.
Поток через основания цилиндра равен
нулю.
По теореме Гаусса:
2
×
pr
lrq
ee
1
.
0
(2)
1
ee
==
0
N
)1(
E
Учитывая уравнение (1),
получим
2
××
pr
lr
E
×2
p
r
1
1
×l = Þ
1
ee
1
0
E
1
r
1
2ee
0
=
Точка 1 находится внутри цилиндра радиуса R. Поэтому для любой точки с
Рис. 1
имеем
E(r) =
r
,
ee
2
0
т.е. напряженность линейно растет с увеличением расстояния.
(4)
Поток напряженности, пронизывающий поверхность второго
цилиндра, находится аналогично:
. 2
lrEN
E
22)2(
25
(5)
По теореме Гаусса
r
r
Ф
м
×
×
×
м
ФКл×=м
м
7
2
ee
p×r lR
. (6)
0
N
E(2)
=
ee
q
=
0
Приравнивая правые части выражений (5) и (6), найдем
2
E2 =
r
R
ee
2 r
1
. (7)
×
20
Зависимость Е(r) при r > R имеет вид
2
R
r
1
×
.
E(r) =
2
ee
(8)
r
0
1
Видно, что напряженность убывает пропорционально
2
r
ER =
2ee
R
=
R
0
R×
2
ee
.
0
. При r = R
Из выражения (9) видно, что на поверхности цилиндра напря-
женность имеет максимальную величину.
Проверим единицы напряженности
[E] =
3
=
Произведем вычисления, учитывая, что
ммКл
В
.
Ф
-
12
e
0
×=
(9)
:В/м ,1085,8
210
--
×××
105101
=
E
1
-
E2 =
×××
210
××
)1,0(101
-
×××
1085,812
=
12
-
1085,812
;28,0
1
=×
212
)15,0(
. 37,0
r 0 R 2R 3R 4R 5R 6R
Е 0 E
R
ER/2 E
/3 E
R
26
/4 E
R
/5 E
R
R
R
/6 E
/7
R
Графически зависимость Е(r) представлена на рис. 2.
2
7
R r
E
Е
R
0 R
R 3R 4R 5R 6R
Рис. 2
Пример 1.3. Определить ускоряющую разность потенциалов U,
которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий
скоростью υ1 = 106 м/с, чтобы скорость его возросла в 2 раза.
Дано:
υ1 = 10
6
υ2 / υ1=2
U = ?
м/с
Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического по-
ля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов U:
Решение
A = eU. (1)
Работа сил электростатического поля в данном случае равна из-
менению кинетической энергии электрона:
где Т1 и T2 – кинетическая энергия электрона до и после прохождения
ускоряющего поля; m – масса электрона;
ная скорости электрона.
2
TTA -=-=
12
2
27
2
uu
mm
1
,
(2)
22
и
uu
- начальная и конеч-
2 1
Приравняв правые части равенства (1) и (2) и учитывая, что υ
2
242
2
2
e
ε = 6
=2 υ1, получим
2
2
uuuu
mmmm
1
.
(3)
eU -=-=
2
2
2
1
2
1
Отсюда искомая разность потенциалов равна
2
3
m
u
1
U
=
.
(4)
Произведем вычисления, учитывая, что масса электрона
31-
кг101,9
×=m
, а заряд ,106,1
U
19
-
Клe
×=
=
В:
-
×××
××
106,12
2631
)10(101,93
-
19
=
. 53,8
Пример 1.4. Как изменится ёмкость плоского воздушного кон-
денсатора, если между его обкладками поместить стеклянную пластину (
e
= 6), толщина которой равна половине расстояния между об-
кладками?
Решение
Если между стеклом и
воздухом поместить очень
тонкий слой проводника, это
не изменит напряжённости
поля ни в стекле, ни в воздухе,
поэтому не изменится и разность потенциалов между обкладками конденсатора. Но
теперь конденсатор AB можно
рассматривать как два последовательно соединенных кон-
А D В
денсатора AD и DB
(см. рисунок).
28
Ёмкость плоского конденсатора AB до введения стеклянной пла-
d
ee
'1c
'1c
+
e
1
+
e
e
1
6
+
стины равна
S
c0 =
0
, (1)
где S – площадь одной пластины; d – расстояние между обкладками;
– диэлектрическая проницаемость среды;
e
– диэлектрическая посто-
0
янная.
Тогда с учетом формулы (1) ёмкости конденсаторов сAD =2c0 и c
= 2
e
·с0.
Ёмкость конденсатора AB после введения стеклянной пластины
будет равна c'. Эту ёмкость можно найти по формулам
=
11
+
или
cc
DBAD
1
=
2
1
+
2
=
cc e
21ce
00
. (2)
0
Выразив c' из (2), получим
c' =
2
c×
0
=
62
× c
0
=1,7c0. (3)
Из выражения (3) видно, что ёмкость конденсатора AB увеличи-
DB
e
лась в 1,7 раза.
Задачи для самостоятельного решения
001. Шарик массой m = 1 г, несущий заряд q = 98 нКл, подвешен в
воздухе на тонкой шелковой нити. При приближении к нему заряда
противоположного знака на расстояние l = 4 см нить отклонилась от
вертикального направления на угол 45 °. Определить величину этого
заряда.
Ответ: q = 18 нКл.
002. На одинаковых капельках воды находится по одному лишнему
электрону. Каков радиус капелек, если сила электростатического отталкивания уравновешивает силу гравитационного притяжения?
Ответ: R = 16,5 мкм.
29
003. На нити подвешен заряженный шар массой m = 300 г. Когда к нему
поднесли снизу на расстоянии l = 40 см заряженный таким же зарядом
шар радиусом R = 2 см, сила натяжения нити уменьшилась в четыре
раза. Найти поверхностную плотность заряда на поднесенном шаре.
Ответ: σ = 125 мкКл/м2
004. Сплошная металлическая сфера радиусом R = 20 см несет равно-
мерно распределенный заряд с поверхностной плотностью
σ = 1 нКл/м
2.
Определить напряженность электрического поля в точ-
ке, находящейся на расстоянии l = 36 см от центра сферы.
Ответ: Е = 34,5 В/м.
005. Сплошная металлическая сфера радиусом R = 20 см несет равно-
мерно распределенный заряд с поверхностной плотностью
σ = 1 нКл/м2. Определить потенциал электрического поля в центре
сферы и в точке, находящейся на расстоянии l = 36 см от ее центра.
Ответ: φ1 = 0; φ
= 12,42 В.
2
006. Электрон, пролетая в электрическом поле путь от точки А к точ-
ке В, увеличил свою скорость от υ1 = 1∙106 м/с до υ2 = 3∙106 м/с. Найти
разность потенциалов между точками А и В.
Ответ: φ1 – φ
= 22,75 В.
2
007. Какая работа совершается при перемещении точечного заряда
q = 0,2 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии
l = 1 см от поверхности сферы радиусом R = 1 см с поверхностной
плотностью заряда σ = 1 нКл/см2?
Ответ: А = - 113 мкДж.
008. Определить электроемкость конденсатора, для изготовления которого использовали ленту алюминиевой фольги длиной l = 157 см и
шириной b = 90 мм. Толщина парафинированной бумаги d = 0,1 мм, а
её диэлектрическая проницаемость ε = 2.
Ответ: С = 25 нФ.
30