Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. В 3 частях. Ч.1. Физические основы механики. Молекулярная физика и термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
5. Запишите формулы работы газа при изменении его объема. Какой
геометрический смысл имеет работа в диаграмме p, V?
6. Что такое теплоемкость газа, удельная теплоемкость и молярная?
В,каких единицах они измеряются?
7. Запишите первое начало термодинамики для одного моля вещества
в дифференциальной форме.
8. Запишите формулы молярной теплоемкости системы в изохорном
и изобарном процессах. От каких параметром они зависят?
9. Выведите уравнение Майера. Почему теплоемкость системы в изо-
барном процессе больше, чем теплоемкость в изохорном процессе?
10. В чем заключается физический смысл молярной газовой
постоянной R?
11. Какой процесс называется адиабатическим? Запишите первое
начало термодинамики для адиабатического процесса. Запишите
уравнение адиабатического процесса. Что такое коэффициент
Пуассона?
2 . 9 . Я в л е н и я п е р е н о с а в т е р м о д и н а м и ч е с к и
н е р а в н о в е с н ы х с и с т е м а х
Беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные столкновения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в газе возникает
пространственная неоднородность плотности или температуры отдельных слоев газа, то со временем происходит обязательное выравнивание
этих неоднородностей. В газе возникают потоки энергии, вещества,
а также импульса упорядоченного движения частиц. Эти потоки являются физической основой особых процессов, объединенных под общим
названием явления переноса. К этим явлениям относятся теплопроводность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса).
61
2 . 1 0 . Т е п л о п р о в о д н о с т ь
Теплопроводность возникает при наличии разности температур,
вызванной какими-либо внешними причинами. При этом молекулы
газа в разных местах его объема имеют разные средние кинетические
энергии. В результате хаотического теплового движения молекулы, попавшие из нагретых частей газа в более холодные, отдают часть своей
энергии окружающим частицам. Наоборот, медленно движущиеся молекулы, попадая из холодных частей объема газа в более нагретые, увеличивают свою энергию за счет соударений с молекулами, имеющими
большие скорости и энергии. Это приводит к направленному переносу
внутренней энергии газа.
В простейшем одномерном случае, когда температура газа меняется только в одном направлении, например вдоль оси х, перенос внутренней энергии газа путем теплообмена описывается законом Фурье
(1822 г.):
jE = – λdT/dx,
где jE – плотность теплового потока, т. е. величина, равная энергии,
переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную
площадку, перпендикулярную оси х. Величина λ называется теплопро-
водностью или коэффициентом теплопроводности. dT/dx – градиент
температуры, показывающий, как изменяется температура на единицу
длины х перпендикулярно рассматриваемой площадке. Знак «минус»
показывает, что перенос энергии происходит в направлении убывания
температуры. Теплопроводность λ численно равна плотности теплового потока при единичном градиенте температуры.
В общем случае закон Фурье имеет вид
jЕ = – λ grad T,
где j
– вектор плотности теплового потока, направление которого сов-
Е
падает с направлением переноса энергии.
Согласно молекулярно-кинетической теории газов,
λ = сV‹ℓ›ρ‹υ›/3,
где сV – удельная теплоемкость при постоянном объеме; ρ – плотность
газа; ‹υ› – средняя скорость теплового движения молекул; ‹ℓ› – средняя
длина свободного пробега молекул – среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями.
Знание теплопроводности различных материалов очень важно,
например, при расчете передачи миллиардов джоулей тепла в котлах
62
и нагревателях, а также при создании теплоизоляционных материалов.
F
х
dx
v+dv
v
y
z
Рис. 2.13
Так, для теплоизоляции систем от окружающей среды применяются материалы с низкой теплопроводностью, такие как асбест, пенопласт, минеральная вата.
2 . 1 1 . В н у т р е н н е е т р е н и е ( в я з к о с т ь )
Вязкость связана с возникновением сил трения между слоями
газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с различными по величине скоростями
(рис 2.13). Из-за хаотического теплового движения возникает обмен
молекулами между слоями, и, таким
образом, медленно перемещающиеся слои тормозят более быстро
движущиеся слои. При этом возникают силы трения, направленные по
касательной к поверхности соприкосновения слоев. В результате этого
импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее – увеличивается, что и приводит к торможению быстрого слоя и
ускорению медленного. На рисунке представлены два слоя, находящиеся на расстоянии dx друг от друга и движущиеся со скоростями
v и v + dv. Изменение скорости при переходе от слоя к слою в направлении оси х можно характеризовать величиной dv/dx, которая называется градиентом скорости.
Сила внутреннего трения между слоями F пропорциональна площади S данных слоев. Закон, которому подчиняется сила внутреннего тре-
ния между двумя слоями газа или жидкости, был предложен Ньютоном:
где η – коэффициент динамической вязкости. С другой стороны, согласно второму закону Ньютона,
63
где j
– плотность потока импульса (т. е. полный импульс, переносимый
p
в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси). Знак «минус» указывает, что
импульс переносится в направлении убывания скорости. Из данной
формулы видно, что динамическая вязкость численно равна плотности
потока импульса при градиенте скорости, равном единице. В этом и состоит ее физический смысл.
Вязкость также можно вычислить по формуле
η =‹ℓ›ρ‹υ›/3.
Коэффициент вязкости играет большую роль в различных
технологических процессах, например в производстве сахара при
уваривании густого сахарного сиропа в вакуумных аппаратах.
Важнейшая характеристика полимеров – показатель текучести
расплава (указываемый в марке полимера) напрямую связан с
вязкостью. Для выбора оптимальных режимов переработки полимеров
(литье под давлением, экструзия) необходимо управлять процессами
плавления и вязкого течения, что невозможно без знаний
коэффициентов вязкости.
2 . 1 2 . Д и ф ф у з и я
Диффузией называется явление самопроизвольного взаимного
проникновения и перемешивания частиц соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. В смесях диффузия вызывается различием
в концентрациях различных веществ. В химически чистых веществах
она возникает вследствие неодинаковой плотности в разных частях
объема, и такой процесс носит название самодиффузии. При постоянной температуре явление диффузии заключается в переносе массы вещества из мест с большей концентрацией в места с меньшей его концентрацией.
В химически однородном газе явление диффузии подчиняется за-
кону Фика (1855 г.):
jm = – Ddρ/dx,
где jm – плотность потока массы (равна массе вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. jm = Δm/ΔtS); D – диффузия (коэффициент диффузии);
64
dρ/dx – градиент плотности, показывающий, как изменяется плотность
на единицу длины х в направлении нормали к единичной площадке.
Знак «минус» указывает, что перенос массы происходит в направлении
убывания плотности. Коэффициент диффузии численно равен плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно
кинетической теории газов, D = ‹ℓ›‹υ›/3.
В общем случае трехмерной диффузии закон Фика имеет вид
jm = – Dgrad ρ.
Данное явление широко распространено в окружающей нас
действительности. Любой процесс приготовления пищи – варка
варенья, консервирование (соление, маринование), копчение мяса и
рыбы, т. е. все явления, связанные с пропитыванием продуктов
различными растворами, подчиняются законам диффузии. Процессы
диффузии имеют большое значение при модификации и окислительной
деструкции в смесях и композиционных материалах на основе
полимеров. В биологических мембранах клеток живых организмов
диффузия ионов играет очень важную роль. Широко используется это
явление в процессах очистки питьевой воды от хлоридов, сульфатов,
нитратов с помощью искусственных мембран.
Из сопоставления формул и законов, описывающих явления
переноса, видно, что они во многом сходны между собой. Сходство
математических выражений обусловлено общностью лежащего
в основе всех этих явлений молекулярного механизма перемешивания
молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг
с другом.
Вопросы
1. В чем сущность явлений переноса? При каких условиях они проис-
ходят?
2. В чем состоит физическая сущность законов Фурье, Ньютона, Фика?
Примеры решения задач
Задача 1. Найти удельную теплоемкость при постоянном объеме
некоторого многоатомного газа, если известно, что плотность этого
газа при нормальных условиях равна 0,795 кг/м3.
Дано: = 0,795 кг/м3; р = 1,013 .105Па; Т = 273К.
Найти: Сv – ?
65
Решение. Удельная теплоемкость при постоянном объеме опре-
M
iR
C
V
2
=
RT
pM
V
m
==
T
p
RT
pR
C
ii
V
22
==
Ккг
Дж
101,4
Ккг
Дж
2730,7952
6101,013
3
5
V
=
=C
TCmQ =
p
T
M
Ri
C
+
=
2
2
p
T
M
Ri
mQ
+
=
2
2
Дж102,91Дж
1022
1008,312)0,2(5
5
3
=
+
=−Q
деляется формулой
,
где i – число степеней свободы; R – универсальная газовая постоянная;
M – молярная масса газа.
Плотность идеального газа находим из уравнений Клапейрона–
Менделеева:
Получим
Число степеней свободы для многоатомного газа i = 6.
Вычислим
Задача 2. Какое количество теплоты поглощают 200 г водорода,
нагреваясь от 0 до 100 ℃ при постоянном давлении? Каков прирост
внутренней энергии? Какую работу совершает газ?
Дано: m = 0,2 кг; M = 2 .10-3 кг/моль; T1 = 273 К; T2 = 373 К
Найти: Q, ∆U, A – ?
Решение. Количество теплоты, поглощаемое газом при изобари-
ческом процессе нагревании, определяется по формуле
где m – масса нагреваемого газа; Ср – удельная теплоемкость газа при
постоянном давлении; ∆ = (T1– T2) – изменение температуры газа.
Известно, что
где i – число степеней свободы, для двухатомного газа i = 5; M – молярная масса; R – универсальная газовая постоянная. Подставляем
(2.2) в (2.1), получаем
.
.
(2.1)
, (2.2)
Вычислим
.
Внутренняя энергия газа определяется формулой
66
.
RT
M
mi
U2=
.
TR
M
mi
U =
2
Дж102,08Дж
1022
10031,82,05
5
3
=
=−U
UQA Δ−=
( )
Дж100,83Дж1008,21091,2
555
=−=A
)(
4
)(
2
2
в
u
v
v
uueuf ==
−
)()(
в
u
v
v
uueuf ==
− 2
2
4
( )
udN
duu +
( ) ( )
duue
N
duufNudN
u 2
2
4
−
==
2
1
2
ue
u−−
duu
N
udN
2
4
)(=
3
max
0
2
3
44
ma x
u
N
duu
N
N
u
==
Изменение внутренней энергии равно
.
Подставив числовые значения, получим
.
По первому началу термодинамики определяется работа, совершаемая газом:
. Найдем числовое значение:
.
Задача 3. Используя функцию распределения молекул идеаль-
ного газа по относительным скоростям
определить число молекул, скорости v которых меньше 0,002 наиболее
вероятной скорости, если в объеме газа содержится N=1,64 .1024 молекул.
Дано:
, v
= 0,002. vВ; N=1,64 .10
max
24
Найти: ∆ – ?
Решение. Число молекул
рых заключены в пределах от
, относительные скорости кото-
:
, (2.3)
,
где N – число молекул в объеме газа.
По условиям задачи v
Так как u1, то
можно записать в виде
Проинтегрировав (2.4) по u в пределах от 0 до u
= 0,002 vВ, тогда u
max
max
= v
/vВ = 0,002.
max
. Пренебрегая u21, выражение (2.3)
. (2.4)
, найдем
max
.
67
Вычислим
молекулN
16
324
10
14,33
002,01067,14
=
=
= lv
3
1
D
MRT
=8v
)2(
1
2
nd
l=
l,v
21
DD
.
1
2
2
1
M
M
D
D
=
.25,1
28
44
2
1
==
D
D
t= π
4
3
sin
16
π
.
Задача 4. Определить, во сколько раз отличается коэффициент
диффузии азота (М1 = 28.10
кислого газа (М2 = 44.10
-3
кг/моль) от коэффициент диффузии угле-
-3
кг/моль), если оба газа находятся при одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры этих газов считать одинаковыми.
Дано: М1 = 28 .10
-3
кг/моль; М2 = 44 .10
-3
кг/моль; Т1 = Т2; p1 = p2; d1 = d2.
Найти: D1 / D2 – ?
Решение. Коэффициент диффузии газа:
, (2.5)
где
– средняя арифметическая скорость его молекул;
– средняя длина свободного пробега молекул. По-
скольку
n1 = n2. Подставив значения
задачи, найдем
, из условия задачи (р1 = р2, Т1 = Т2) следует, что
в формулу (2.5) и учитывая условия
:
Вычисляем
Контрольная работа
Вариант 1
1. Тело массой 4 кг движется со скоростью 3 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты, выделившейся при ударе.
2. Подвешенный на нити шарик качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение а = 4 м/с2. Найти модуль ускорения шарика
в крайнем положении.
3. Вал вращается в подшипниках вокруг неподвижной горизон-
тальной оси по закону
, где – угол поворота вала
68
в радианах. Определить скорость и ускорение точки М вала, отстоящей
2
sin12
t
S =
от оси вращения вала на расстоянии r = 0,8 м, в тот момент, когда угловая скорость вала достигает наибольшего максимального значения.
4. Начальная скорость снаряда 0 = 490 м/с. Под каким углом
к горизонту следует бросить этот снаряд из начала координат, чтобы он
попал в точку с координатами х = 700 м; у = 680 м.
5. Масса Луны составляет 1,2 % от массы Земли. Расстояние от
Земли до Луны S = 384000 км. Определить расстояние от центра Земли
до центра масс системы Земля–Луна.
6. Определить, во сколько раз изменится концентрация молекул
газа, если изобарически уменьшить абсолютную температуру в
а = 7 раз, а затем количество газа уменьшить в b = 14 раз при том же
давлении.
7. Найти среднее число столкновений в единицу времени СО2 при
температуре t = 100 ℃, если средняя длина свободного пробега молекул
= 870 мкм.
8. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение: а) коэффициентов
диффузии; б) вязкости; в) теплопроводностей. Диаметры этих молекул
газов считать одинаковыми.
Вариант 2
1. По наклонной плоскости скользит тело и в конце третьей секунды достигает скорости 10,9 м/с2. Определите угол наклона, если коэффициент трения составляет 0,125.
2. Материальная точка массой m = 2 кг описывает криволиней-
ную траекторию по закону
тело в момент времени, когда скорость тела = 3 м/с. Радиус кривизны
траектории R = 6 м.
3. Вал начинает вращаться с угловой скоростью 0 = 2 рад/с равноускоренно и за 10 с делает 10 оборотов. Найти ускорение точки, отстоящей от оси вращения вала на расстоянии, равном 0,5 м, в тот момент, когда скорость этой точки равна 2 м/с.
4. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением
= А+Вt+Сt2, где А = 3 рад, В = 28 рад / с, С = – 5 рад / с2. Найти среднюю мощность <N>, развиваемую силами, действующими на маховик
при его вращении, до остановки, если его момент инерции J = 100 кгм2.
. Найти силу, действующую на
69
5. Определить работу, которую необходимо совершать, чтобы
tx
2
sin20
=
тело массой m = 2000 кг, находящееся на Земле, смогло превратить
в спутник Солнце. Сопротивлением среды пренебречь.
6. До какой температуры Т1 при постоянном давлении р = 105 Па
надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности водорода при том же давлении и температуре Т2 = 200 К?
7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при
давлении р = 10 кПа и температуре t = 17 ℃.
8. При изотермическом расширении газа, занимавшего объем
V = 2 м3, давление его меняется от р1 = 0,5 МПа до р2 = 0,4 МПа. Найти
работу А, совершенную газом.
Вариант 3
1. Брусок массой m = 0,5 кг тянут за нить так, что он движется с
постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом
трения k = 0,1. Найти угол , при котором натяжение нити минимально.
Чему оно равно?
2. Материальная точка массой m = 400 г совершает гармониче-
ские колебания по горизонтальной оси Ох по закону
(х выражено в сантиметрах, t – в секундах.). Найти силу, действующую
на точку в крайних точках, амплитуду, период и кинетическую энергию
в положении равновесия.
3. Колесо радиусом R = 1 м вращается равномерно вокруг своей
оси, делая один оборот за 0,25с. Найти скорость и ускорение точки, лежащей на ободе колеса.
4. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 6 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положения? Суммарный момент инерции человека
и скамьи J = 20 кгм2. Длина стержня 2 м, масса – 5 кг. Считать, что
центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.
5. Спутник поднимают на высоту 6000 км и запускают его по круговой орбите на той же высоте. Определить отношение работ на поднятие А1 и на запуск А2 спутника.
6. Определить удельные теплоемкости СV и СР смеси углекислого
газа массой m1 = 3 г и азота массой m2 = 4 г.
7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при
давлении р = 10 кПа и температуре t = 17 ºС.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]