Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. В 3 частях. Ч.1. Физические основы механики. Молекулярная физика и термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Учитывая, что
td
d v
a =
( )
vvmmm
tt d
d
d
d
=== aF
td
dp
F =
pF dd = t
tdF
( )
0
d
d
=vm
t
constm == vp
mm
n
i
i
n
i
i
рез
11
1
F
Faa ===
==
=niF1
i
, второй закон Ньютона можно записать в виде
.
Векторная физическая величина, равная произведению массы точки
(тела) на вектор скорости и сонаправленная скорости, называется импульсом (количеством движения) точки (тела): p = m v. Отсюда следует
.
Скорость изменения импульса движущейся материальной
точки (тела) равна действующей на нее силе. Это более общая форму-
лировка II закона Ньютона. Последнюю формулу можно записать
в виде
, где
– элементарный импульс силы, действую-
щий на точку (тело); dp – изменение импульса точки (тела).
Изменение импульса тела под действием постоянной силы, равное произведению этой силы на время ее действия, и называется им-
пульсом силы.
При движении по инерции F = 0, импульс точки (тела) остается
постоянным:
,
.
Большое значение в механике имеет принцип независимости дей-
ствия сил: если на точку (тело) действует одновременно несколько сил,
то каждая из них сообщает точке свое ускорение независимо от других
сил. Результирующее ускорение равно векторной сумме ускорений:
, где F
= F1 + F2 …+ F
рез
=
n
где n – число действующих сил.
Результирующая сила F
равна векторной сумме сил, действую-
рез
щих на тело. В этом заключается принцип суперпозиции, или принцип
независимости действия сил.
Третий закон Ньютона: при взаимодействии две материальные
точки (или два тела) действуют друг на друга с силами, равными по аб-
солютной величине и направленными в противоположные стороны
вдоль прямой, соединяющей эти точки (или центры тяжести тел):
F12 = – F
.
21
Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда
действуют парами и являются силами одной природы.
11
,
Законы динамики справедливы для любого фундаментального
взаимодействия: гравитационного (обусловленного всемирным
тяготением), электромагнитного (осуществляемого через
электрические и магнитные поля), сильного (обеспечивающего связь
частиц в атомном ядре), слабого (ответственного за процессы распада
элементарных частиц). Все механические явления в макромире
определяются гравитационным и электромагнитным взаимодействием.
Сила упругости – сила, возникающая при деформации тела,
пропорциональна смещению ∆х и направлена противоположно
направлению смещения частиц при деформации (закон Гука):
F = ─k∆х,
где k – коэффициент жесткости. Единица жесткости – ньютон на метр
(Н/м). При малых смещениях ∆х деформацию реальных тел можно
считать упругой (деформация, после устранения которой тело
полностью восстанавливает форму и размер). При больших смещениях
∆х возникает остаточная деформация (размеры и форма тела
полностью не восстанавливаются).
Сила трения – сила, возникающая при соприкосновении
поверхностей тел, препятствующая их относительному перемещению
и направленная вдоль поверхности соприкосновения:
F =µN,
где N – сила нормального давления; µ – коэффициент трения. При
контакте твердых тел различают трение покоя, трение скольжения,
трение качения (µ
> µск > µ
пок
кач
).
Вопросы
1. Какую систему отсчета называют инерциальной?
2. Сформулируйте закон инерции (первый закон Ньютона).
3. Сформулируйте определения силы и массы.
4. Сформулируйте принцип суперпозиции сил.
5. Что такое инертность? Какая физическая величина является мерой
инертности?
6. Сформулируйте второй закон Ньютона. Что такое импульс?
7. Сформулируйте третий закон Ньютона.
8. Какое фундаментальное взаимодействие определяет силы упруго-
сти и трения?
9. Сформулируйте закон Гука. Определите границы применимости за-
кон Гука. Выясните физический смысл коэффициента жесткости.
12
1 . 4 . З а к о н ы с о х р а н е н и я в м е х а н и к е
0
d
d
=
t
p
const
1
==
=ni
ii
m vp
rrFrF ===
FA cosΔ
F
r
v
F
τ
Рис. 1.4
Закон сохранения импульса. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической
системой. Система тел, в которой не учитываются внешние силы,
а рассматриваются только силы взаимодействия между телами, называется замкнутой. Для замкнутой системы, где не действуют внешние
силы, изменение импульса во времени равно нулю
, т. е.
. Эта формула выражает закон сохранения им-
пульса: суммарный импульс замкнутой системы точек (тел) не меня-
ется с течением времени.
Закон сохранения импульса находит широкое применение
в природе и технике. Примером может служить явление отдачи ружья
при выстреле пули или реактивное движение, которое возникает при
отделении от тела с некоторой скоростью какой-либо его части.
Закон сохранения механической энергии. Единой мерой раз-
личных форм движения и взаимодействия всех видов материи является
энергия. Простейшей форме движения – механической – соответствует
механическая энергия. Она характеризует способность тела или си-
стемы тел совершать работу и измеряется количеством работы, которую при определенных (заданных) условиях может совершить система. Процесс изменения механической энергии тела под действием
силы называется процессом совершения работы. Приращение энергии
тела в этом процессе называется работой силы: А = Е2 – Е1, где А – совершаемая работа; Е1 и Е2 – энергии системы в начальном и конечном
состояниях. Сила, приложенная к телу, совершает работу, если тело перемещается.
Если тело движется прямолинейно
и на него действует постоянная сила,
направленная под углом
к перемещению, то работа этой силы
равна скалярному произведению векторов
перемещения и силы (рис. 1.4):
,
где Fτ – касательная составляющая силы,
т. е. проекция F на r.
13
Если же сила переменна по
=
=
n
i
i
AA
1
d
=
S
i
SA dF
t
A
N
=
Рис. 1.5
F
v
dS
1
2
Рис. 1.6
dS
S2
S1
F
dA
S
i
величине и направлению или путь S не
прямолинеен, то траекторию движения
разбивают на малые участки dS так,
чтобы участок можно было считать
прямолинейным и силу, действующую
на нем, – постоянной (рис. 1.5). Работу
на этом участке определяют как элементарную работу dAi = Fi∙dS.
Работа на всем пути равна сумме
всех элементарных работ:
. При dS0→
Для вычисления такого интеграла надо знать зависимость Fi от S. Если
эту зависимость представить
графически, то работа силы по
перемещению из S1 в S2 численно
равна площади заштрихованной
фигуры (рис. 1. 6), ограниченной
кривой Fτ(S), координатной осью S
и вертикальными прямыми S1 и S2.
Единица работы – джоуль (Дж).
Сила F называется
консервативной, если
совершаемая ею работа при
перемещении не зависит от
формы траектории, а зависит от начального и конечного положений
точки (тела). Консервативными являются силы тяжести и упругости.
Силы, не удовлетворяющие этому условию, называют
неконсервативными или диссипативными. Примером таких сил служат
силы трения.
Для характеристики скорости совершения работы вводится
понятие мощности. Мощностью, развиваемой силой F, называется
скалярная физическая величина, численно равная работе, совершаемой
этой силой за единицу времени. Средняя мощность:
.
.
14
Если в разные моменты времени dt совершаются разные работы,
t
A
t
A
N
t
d
d
Δ
Δ
lim
0Δ
=
=
→
vF
r
FrdF ===ttN
d
d
d
d
2
2
vm
Ек=
.
12 ккк
ЕEEA −==
2
2
п
kx
E =
const
пк
=+= ЕЕЕ
то мгновенную мощность рассчитывают по формуле
;
.
Мощность равна скалярному произведению векторов силы
и скорости. Единица мощности – ватт (Вт).
Полная механическая энергия складывается из кинетической
Ек и потенциальной Еп энергии. Кинетической энергией называют ме-
ханическую энергию движущегося тела. Кинетическая энергия Ек зависит только от массы и скорости тела, т. е. является функцией состояния
его движения. Из формулы следует, что Е
к
0.
Если система состоит из n движущихся точек (тел), то ее полная
кинетическая энергия равна
.
Используя понятия работы силы и кинетической энергии тела,
можно записать
Потенциальная энергия – механическая энергия системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия Еп – величина относительная, зависящая от выбора начального положения, при котором Еп = 0.
Если работу совершают консервативные силы, то происходит уменьшение Еп тела:
ΔA = – ΔEп= – (Eп2–Eп1) = Eп1–Eп2.
Потенциальная энергия тела массой m, поднятого над поверхностью земли на высоту h:
Eп = mg h.
Потенциальная энергия деформированного тела (пружины):
,
где k – коэффициент жесткости; х – величина деформации.
В замкнутой системе, где между телами действуют только
консервативные силы, полная механическая энергия остается неизменной:
. Закон сохранения и превращения энергии
является фундаментальным законом, который справедлив для микрои макротел.
15
1 . 5 . У д а р а б с о л ю т н о у п р у г и х и н е у п р у г и х т е л
Удар (соударение) – столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Сила взаимодействия между телами при соударении очень велика, что позволяет пренебречь действием внешних сил. Тогда систему тел в процессе соударения можно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней
законы сохранения. Во время удара кинетическая энергия соударяющихся тел может переходить в энергию деформации, при этом тела теряют свою скорость. Отношение скорости тела после соударения к скорости тела до соударения называется коэффициентом восстановления
k = v/v0. Тела, у которых коэффициент восстановления k = 0, называются абсолютно неупругими, тела, у которых k =1, – абсолютно упру-
гими. Удар называется центральным, если тела до удара движутся по
линии, соединяющей их центры.
Абсолютно неупругий удар – столкновение тел, в результате которого тела движутся как единое целое.
Абсолютно упругий удар – столкновение, при котором деформа-
ция тел оказывается обратимой (т. е. исчезает после прекращения взаимодействия), при этом численное значение скорости остается неизменным. При таком соударении выполняются закон сохранения импульса
и закон сохранения кинетической энергии. По этим законам можно
определить скорости и кинетические энергии тела после соударения.
Абсолютно неупругий и абсолютно упругий удары являются физическими моделями для описания реальных столкновений.
Вопросы
1. Что называется механической системой? Какие системы являются
замкнутыми?
2. В чем заключается закон сохранения импульса? Почему он явля-
ется фундаментальным законом природы?
3. Что такое энергия? В чем различие между понятиями энергии и ра-
боты?
4. Как найти работу переменной силы? Дайте определение консерва-
тивных сил. Какие силы являются консервативными?
5. Что такое мощность? Выведите ее формулу.
6. Дайте определения и выведите формулы для известных вам видов
механической энергии.
16
7. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
,
2
21
r
mm
Gg=F
./,
2
2
89 см
R
M
Gg
З
З
==
.dd
12
2
−−=−==
R
GM
R
GM
mR
R
mM
GRA
S
i
F
8. Какой удар является абсолютно неупругим? Приведите примеры.
9. Какой удар считается абсолютно упругим? Приведите примеры та-
кого удара.
1 . 6 . Э л е м е н т ы т е о р и и п о л я
Изучая движение небесных тел и падение тел в земных
условиях, И. Ньютон (1685 г.) установил закон всемирного тяготения:
все тела притягиваются друг к другу силой взаимного притяжения,
прямо пропорциональной произведению масс этих тел и обратно
пропорциональной квадрату расстояния между ними:
где G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10
-11
Н м2/кг2.
Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется
с помощью поля тяготения, или гравитационного поля. Основное
свойство поля тяготения заключается в том, что на любое тело массой
m, внесенное в это поле, действует сила тяжести
F = mg,
где g – ускорение свободного падения, приобретаемое телом под
действием гравитационной силы вблизи поверхности небесных тел
(планет, звезд). Вблизи поверхности Земли
Вектор g не зависит от массы m и называется напряженностью
поля тяготения. Напряженность есть силовая характеристика поля тяготения. Напряженность – это сила, действующая со стороны поля на
тело единичной массы.
При перемещении тела на расстояние dR совершается работа
Из полученной формулы видно, что работа определяется конечным и
начальным положениями тела и не зависит от траектории движения.
Следовательно, силы тяготения являются консервативными, а поле тяготения – потенциальным. Учитывая то, что работа, совершаемая
17
консервативными силами, равна разности потенциальной энергии, взя-
2
mrJ =
==
==
n
i
ii
n
i
i
mrJJ
1
2
1
той с противоположным знаком: A = – ΔEп= – (Eп2–Eп1) = Eп1–Eп2, получаем формулу потенциальной энергии: Eп = – GmM/R.
Величина φ = Eп/m является энергетической характеристикой
поля тяготения и называется потенциалом. Потенциал поля тяготения
φ – скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела
единичной массы в данной точке поля:
φ = – GM/R,
где R – расстояние от тела до рассматриваемой точки. Геометрическое
место точек при R = const образует сферическую поверхность с одинаковым потенциалом. Такие поверхности называются эквипотенциаль-
ными.
Вопросы
1. Сформулируйте закон всемирного тяготения. В чем заключается
физический смысл гравитационной постоянной?
2. В чем отличие силы тяжести от веса тела? Как объяснить возник-
новение невесомости при свободном падении?
3. Как называется силовая характеристика поля тяготения и какой ее
физический смысл?
4. Как называется энергетическая характеристика поля тяготения
и какой ее физический смысл?
1 . 7 . Д и н а м и к а в р а щ а т е л ь н о г о д в и ж е н и я
Для описания вращательного движения вводятся следующие ди-
намические параметры: момент инерции J, момент силы М, момент
импульса L. Аналогами их в поступательном движении являются масса
m, сила F, импульс p.
Момент инерции материальной точки относительно некоторой
оси есть скалярная физическая величина, равная произведению массы
этой точки на квадрат расстояния от нее до оси вращения:
.
Момент инерции всего тела:
.
18
При непрерывном распределении масс тела эта сумма сводится
=
V
mrJ d
2
Тело
Положение оси
Момент инер-
ции
Полый тонкостенный
цилиндр радиусом R
Ось симметрии
mR2
Сплошной цилиндр
или диск радиусом R
Ось симметрии
mR2/2
Прямой тонкий стержень длиной l
Ось перпендикулярна
стержню и проходит через середину
ml2/12
Прямой тонкий стержень длиной l
Ось перпендикулярна
стержню и проходит через
его конец
ml2/3
Шар радиусом R
Ось проходит через центр
шара
2mR2/5
2
0
mdJJ +=
d . С
А
А
О
О
Рис. 1.7
к интегралу
, где интегрирование производится по всему
объему тела, а величина r является функцией положения точки с координатами x, y, z. На основании этой формулы рассчитаны моменты
инерции тел различной формы (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Приведенные примеры показывают, что момент инерции тела зависит от его массы, формы, геометрических размеров, расположения
относительно оси вращения, распределения массы по объему тела.
Расчет моментов инерции тел относительно осей, не совпадающих
с осью симметрии, более сложен. В таких случаях следует применять
теорему Штейнера: момент инерции
любого тела относительно произвольной оси ОО' равен сумме момента
инерции этого тела Jo относительно
оси АА, параллельной данной и проходящей через центр масс тела С, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями (рис. 1.7):
.
Моментом силы M, действую-
щим на точку А относительно
19
неподвижной точки О, называется векторная физическая величина,
rFM =
z
z
rF=M
vrprL m==
О
l
A
r
F
M
Рис. 1.8
r
M
A
F
M
z
0
Рис. 1.9
О
l
A
r
L
р
Рис. 1.10
равная векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из
точки О в точку приложения силы А, на вектор силы:
.
Направление M перпендикулярно
плоскости, в которой лежат векторы r и
F, и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при
его вращении от r к F (рис. 1.8). Модуль
момента силы:
M = F r sin = F l,
где r sin = l, l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия
силы и точкой О).
Момент силы, действующей на
точку А относительно неподвижной оси
z
Направление вектора L совпадает с направлением поступатель-
ного движения правого винта при его вращении от r к p. Модуль
z, есть скалярная величина Mz, равная
проекции на эту ось вектора момента
силы, определенного относительно
произвольной точки О данной оси z
(рис. 1.9):
Мz = F r sin cos = F l cos .
Значение момента Mz не зависит
от положения точки О на оси z. Если ось
z совпадает с направлением вектора М,
то момент силы равен
.
Момент импульса L материаль-
ной точки А (рис. 1.10) относительно
неподвижной точки О есть векторная
физическая величина, определяемая
векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки О в
точку А, и импульса материальной
точки p = mv:
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]