Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. В 3 частях. Ч.1. Физические основы механики. Молекулярная физика и термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Аргумент косинуса в момент времени
1
t
.
π2
1
11
−=
ν
x
t
t
1
t
−=
ν
1
11
π2
cosξ
x
t
T
A
−−=
•
ν
x
t
TT
A
π2
sin
π2
ξ
1
1
t
1
x
−−=
•
ν
1
11
π2
sin
π2
ξ
x
t
TT
A
−=
••
ν
1
1
2
1
π2
cos
π2
ξ
x
t
TT
A
м;с
с
м
λм;Aξ ====
рад
см
м
с
с
рад
=
−=
.см
с
1
мξ;смξ
2
2
==
=
•••
( )
м
5
π
π2cos05,0ξ
−= xt
10м110λ ==
π2,3
10
9
5,2
1
π2
1
=
−=
см04,0
10
9
5,2
1
π2
cos05,0ξ
1
−=
−=
см185,0
10
9
5,2
1
π2
sin
1
π2
05,0ξ
1
=
−−=
•
2
2
1
см6,1
10
9
5,2
1
π2
cos
1
π2
05,0ξ −=
−
−=
••
есть фаза колебаний в этот
момент:
Смещение в момент
Производная от ξ по времени есть скорость точки:
В момент
Берем еще раз производную от скорости и находим ускорение этой
точки:
Проверка размерности:
Вычисляем:
на расстоянии
:
;
.
.
:
.
.
.
,
,
,
.
41
Задача 5. После упругого столкновения частицы 1 с покоив-
0
60=
0
60=
02=v
1
2
m
m
'
2
'
1
и VV
−
=
+
=
2
sin
2
sin0
2
cos
2
cos
2211
221111
vv
vvv
mm
mmm
=
.
m
m
2
1
2
1
vv
1
m
.
2
cos
m
m
2
2
1
2
= vv
1
222
2
22
2
11
2
11
vvv
+
=
mmm
.
2
2
1
2
2
1
2
1
vvv
+
=
m
m
шейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно
первоначального направления движения частицы 1, и угол между их
направлениями разлета
. Найти отношение масс этих частиц.
Дано:
Найти:
– ?
,
.
Решение. Обозначим скорости после столкновения через
.
Запишем закон сохранения импульса:
Из второго уравнения системы следует, что скорость первого тела по-
сле соударения
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы и разделим обе части равенства на массу
, получим
Воспользуемся законом сохранения энергии
и, преобразуя его, получим
42
Учитывая выражения
1
v
1
v
.02
1
2
1
222
=
−
m
m
m
mv
2
1
2
=
m
m
t
t,
ωω
εотсюдаεωω
0
0
−
=−=
n= 2πω
00
2πω n=
t
nn −
=02πε
MJ =ε
( )
22
0
2
2
0
2π
2
ω
2
ω
nnJ
J
J
A −=−=
2
2
2
с
1
мкг
с
рад
ε == М
ДжмН
с
1
мкгω
2
22
==== JА
и
, получаем
Ответ:
Задача 6. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5 кг.м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за
время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с n0 = 240 об/мин
до n1 = 120 об/мин. Определите: 1) угловое ускорение маховика ε; 2) момент силы торможения; 3) работу торможения.
Дано: J = 1,5 кг.м2; t = 1 мин = 60 с; n0 = 240 об/мин = 4 об/с;
n1 = 120 об/мин = 2 об/с.
Найти: ε; М; А – ?
Решение. Угловая скорость при равнозамедленном движении:
Угловая скорость выражается через частоту оборотов:
Подставляя выражения (1.4) в формулу (1.3), получаем
На основе уравнения динамики вращательного движения определяем
момент силы:
Работа равна изменению кинетической энергии маховика:
.
. (1.3)
;
. (1.4)
.
.
Проверяем размерность:
Ответ: 1) ε = 0,21 рад/с2; 2) М = 0,315 Н; 3) А = 355 Дж.
,
.
43
2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
,
S
F
Р
n
d
d
=
И ТЕРМОДИНАМИКА
Молекулярная физика и термодинамика – разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные
с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для изучения этих процессов применяют два качественно различных и взаимно
дополняющих друг друга метода:
– статистический (молекулярно-кинетический);
– термодинамический.
Молекулярная физика изучает строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся
на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном
хаотическом движении. Законы поведения огромного числа молекул,
являясь статистическими закономерностями, изучаются статистиче-
ским методом. Этот метод основан на том, что свойства макроскопической системы определяются усредненными значениями динамических
характеристик этих частиц (скорости, энергии и т. д.). Макроскопические характеристики имеют физический смысл лишь в случае большого
числа молекул.
Термодинамика изучает общие свойства макроскопических систем, находящихся в термодинамическом равновесии, и процессы перехода между термодинамическими состояниями системы как превращения одного вида энергии в другой.
Совокупность макроскопических тел, которые взаимодействуют
между собой и обмениваются энергией, называется термодинамиче-
ской системой.
Состояние системы задается термодинамическими параметрами:
давлением Р, температурой Т и объемом V.
Объем пропорционален количеству вещества в системе. При
расчетах можно использовать удельный объем V – это величина, равная
отношению объема V к массе системы, т. е. объем единицы массы:
V = V/m = 1/ρ, где ρ – плотность вещества.
Давление – сила, действующая на единицу поверхности, физическая величина, равная
44
где dFn – проекция силы на нормаль к поверхности dS. Давление измеряется в паскалях.
Температура – физическая величина, характеризующая степень
нагрева тела. Температура системы, находящейся в равновесном состоянии, является мерой интенсивности теплового движения частиц, образующих систему. В этом состоит молекулярно-кинетический смысл
температуры.
В настоящее время существует две температурные шкалы – тер-
модинамическая, градуированная в кельвинах (К), и международная
практическая, градуированная в градусах Цельсия (˚С). 1˚С = 1 К.
Связь между термодинамической температурой Т и температурой по
международной практической шкале имеет вид
Т = t + 273,15 ˚С.
Всякое изменение состояния системы, характеризующееся изменением ее параметров, называется термодинамическим процессом.
Макротермодинамическая система находится в термодинамическом равновесии, если при неизменных внешних условиях переходит
в другое состояние и остается в нем сколь угодно долго.
2 . 1 . У р а в н е н и е с о с т о я н и я и д е а л ь н о г о г а з а
В молекулярно-кинетической теории широко используется физическая модель идеального газа. Это вещество, находящееся в газообраз-
ном состоянии, для которого выполняются следующие условия:
– собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по
сравнению с объемом сосуда;
– между молекулами газа отсутствуют взаимодействия, кроме
случайных столкновений;
– столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда
абсолютно упругие.
Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов, так как они при условиях, близких к нормальным (давление Р0 = 1,013∙105 Па, температура Т0 = 273,15 К), ведут себя аналогично
идеальному газу. Поведение идеальных газов описывается следующими законами.
45
Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре
P
V
T2 > T1
T1
T2
Рис. 2.1
Рис. 2.2
T
Р
1
=const
V
P2=const
P1>P2
и давлении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях
этот объем равен VM = 22,4∙10
-3 м3
/моль. В одном моле различных веществ содержится одно и то же число молекул, называемое числом
Авогадро:
NA = 6,022∙1023моль-1.
Закон Бойля–Мариотта: для данной массы газа при постоян-
ной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная.
PV = const при Т = const и m = const.
Процесс, протекающий при по-
стоянной температуре Т, называется
изотермическим. Зависимость давления Р от объема V для данного процесса
называется изотермой. Она представляет собой гиперболу (рис. 2.1), расположенную на диаграмме тем выше, чем
выше температура, при которой происходит процесс.
Закон Гей–Люссака: объем
данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с
температурой:
V = V0 (1 + αt) при Р = const
и m = const или V = V0 α Т.
Процесс, протекающий при постоянном давлении (p = const),
называется изобарным. Прямая, изображающая этот процесс в координатах (V, T), называется изобарой (рис. 2.2).
Закон Шарля: давление данной
массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой:
Р = Р0 (1 + αt) при V = const и m = const
или p = p0 α Т.
В этих уравнениях t – темпе-
ратура по шкале Цельсия; Р0 и
V0 – давление и объем при 0 °С,
коэффициент α = 1/273,15 К-1.
46
Процесс, протекающий при по-
RTRT==
M
m
PV
V1>V
V2=const
V1=const
Р
Рис. 2.3
Т
стоянном объеме (V = const), называ-
2
ется изохорным. На диаграмме в координатах (Р, Т) он изображается прямой,
называемой изохорой (рис. 2.3). Пунктирная часть прямых в области абсолютного нуля температуры отражает
факт невозможности достижения такой
температуры.
Французский физик и инженер Б. Клапейрон и русский химик Д.
И. Менделеев, объединив закон Авогадро и законы идеальных газов
Бойля–Мариотта, Шарля и Гей–Люссака, вывели уравнение состояния
идеального газа – уравнение, связывающее вместе все три
термодинамических параметра системы:
РVМ= RT,
где VМ – молярный объем, т. е. объем одного моля газа; R – молярная
газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(моль·К). Это уравнение называется уравнением Менделеева–Клапейрона.
Для произвольной массы газа
,
где М – молярная масса; V = VМ m/M – объем всей массы газа; v = m/M –
количество вещества в молях.
Существует еще одна форма записи данного уравнения.
Ее можно получить, если учесть, что k = R/NA = 1,38∙10
-23
Дж/К,
(k – постоянная Больцмана). Тогда R = kNA, а n = NA/VМ – концентрация
молекул газа:
Р=nkT.
При нормальных условиях (давление Р0 = 1,013∙105 Па, температура
Т0 = 273,15 К) концентрация молекул идеального газа называется постоянной (или числом) Лошмидта:
n=Р0/kTо =2,68∙10
25 м-3
.
Воздух, как известно, представляет собой смесь газов (азот, кислород, инертные газы, водород), поэтому для расчета давления такой
системы применяется закон Дальтона: давление смеси идеальных га-
зов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов:
Р = Р1 + Р2+ …. + Pn.
Парциальное давление – это такое давление, которое производил бы газ,
входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.
47
2 . 2 . О с н о в н о е у р а в н е н и е м о л е к у л я р н о -
Δp = 2m0 v·nvΔS = n m0 v2 ΔS Δt.
Δt
6
импульс
от одной
малекулы
число ударов
1
3
ΔS
υΔt
m0υ
-m
υ
Рис. 2.4
к и н е т и ч е с к о й т е о р и и и д е а л ь н ы х г а з о в
и е г о с л е д с т в и я
Данное уравнение связывает кинематические характеристики дви-
жения молекул с термодинамическими. Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный
идеальный газ, занимающий
некоторый объем V (рис. 2.4).
Выделим на стенке сосуда некоторую
элементарную площадку ΔS и
вычислим давление, оказываемое на
эту площадку. Давление газа является результатом ударов молекул. При
каждом соударении молекула массой m0, движущаяся перпендикулярно
площадке со скоростью υ, передает ей импульс, который представляет
собой разницу импульсов молекулы до и после соударения:
m0υ – (–m0υ) =2m0υ. За время Δt площадки ΔS достигнут только те
молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием ΔS и
высотой υΔt. Это число молекул будет nυΔSΔt, где n – концентрация
молекул. Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы
движутся к площадке под разными углами и имеют различные скорости,
причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для
упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют
движением вдоль трех взаимно перпендикулярных координатных осей,
так что в любой момент времени вдоль каждой из них движется
1/3 молекул, причем одна половина движется в одну сторону, другая
половина – в противоположную. Тогда число ударов молекул,
движущихся в заданном направлении, о площадку ΔS будет nυΔSΔt/6.
При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс:
48
По второму закону Ньютона Δp = FΔt. Если сила, действующая
,
3
2
,
3
2
ε
3
2
пост
V
E
PЕNРV ===
kT
m
2
3
2
ε
2
кв0
0
==
v
.
1
1
2
кв
=
=
N
i
i
υ
N
υ
.
3
1
2
кв0
υnmР =
на единицу площади, постоянна, то давление газа на стенку сосуда
можно записать в виде
Р = F/ΔS = Δp/ΔSΔt = nm0υ2/3.
Молекулы в сосуде движутся с различными скоростями
υ1, υ2, …, υn, общее число их – N. Поэтому необходимо рассматривать
среднюю квадратичную скорость, которая характеризует всю совокупность молекул:
Таким образом, давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,
будет равно
Приведенное выше уравнение и есть основное уравнение молекулярно-
кинетической теории идеальных газов. Поскольку m0‹υкв›2/2 – средняя
энергия поступательного движения молекулы ‹ε
переписать в виде Р = 2/3 n ‹ε
пост
›.
›, уравнение можно
пост
Следствия:
1. С учетом того, что концентрация n = N/V, получаем
где E – суммарная кинетическая энергия поступательного движения
всех молекул газа. Таким образом, давление равно двум третям энер-
гии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема газа.
2. Найдем ‹ε0›:
, где k = R/NA – постоянная
Больцмана.
Отсюда следует, что средняя кинетическая энергия хаотического
поступательного движения молекул идеального газа пропорциональна
его абсолютной температуре и зависит только от нее, т. е. температура
есть количественная мера кинетической энергии поступательного
движения молекул идеального газа. В этом состоит молекулярно-кинетический смысл температуры. При Т = 0 К ‹ε
› =0, и поступательное
пост
49
движение молекул газа прекращается, однако анализ различных про-
.
33
,
2
3
2
ε
0
кв
2
кв0
пост
следует откуда
M
RT
m
kT
kT
m
==== υ
υ
( )
.e
π2
π4
2
2
2
3
0
2
0
kT
υm
υ
kT
m
υf
−
=
цессов показывает, что Т = 0 К – недостижимая температура.
2 . 3 . Р а с п р е д е л е н и е М а к с в е л л а
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической
теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости.
В результате многократных соударений скорость каждой молекулы
меняется по модулю и направлению. Однако из-за хаотичности
теплового движения молекул все направления являются
равновероятными, и средняя квадратичная скорость остается
постоянной. Мы можем записать, что средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа
Средняя квадратичная скорость ‹υкв› является одной из характеристик
движения всей совокупности молекул.
Постоянство ‹υкв› объясняется тем, что в газе устанавливается
стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по
скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д. К. Максвеллом.
Он рассчитал функцию f(υ), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равные dυ, то на каждый интервал
скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(υ), имеющих
скорость в этом интервале. Относительное число, или доля молекул,
скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ, равно dN(υ)/N:
dN(υ)/N = f(υ)dυ, откуда f(υ) = dN(υ)/N dυ.
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл пришел к виду
функции
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]