Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. В 3 частях. Ч.1. Физические основы механики. Молекулярная физика и термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Частота и период затухающих колебаний:
22
0
βωω −=
22
0
βω2−
=T
.e
e
e
)(
)(
β
)β(
0
β
0
T
Tt
t
A
A
TtA
tA
D ==
+
=
+−
−
TlnDln
Tββ
=== e
τ
1
β =
N
T 1
τ
==
tFF ωcos
0
=
x
Рис. 1.15
t
А(t) = А
0
x = А(t)
Характеристиками затухающих колебаний служат еще два параметра:
1. Декремент затухания D показывает, во сколько раз уменьша-
ется амплитуда колебаний за время одного периода Т:
2. Натуральный логарифм от декремента затухания есть логарифми-
,
ческий декремент затухания λ:
кремент затухания обратен числу колебаний за время уменьшения амплитуды в e раз.
1 . 1 3 . В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я . М е х а н и ч е с к и й
ющаяся сила, то колебания называются вынужденными. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:
. Так как
, то
, где N – число колебаний за время τ. Логарифмический де-
р е з о н а н с
Если на колеблющуюся систему действует периодически изменя-
31
.
Дифференциальное уравнение, получаемое из второго закона Ньютона,
tF
t
x
rkx
t
x
m ωcos
d
d
d
d
0
2
2
+−−=
tcosω
d
d
β2
d
d
2
0
2
2
=++
m
F
x
t
x
t
x
0
)t(Ax
+= ωcos
(
)
22
2
22
0
0
ωβ4ωω +−
=
m
F
A
.
20
=
==
=
T
NQ
e
Рис. 1.16
ω
ω
0
А
F
тр
= 0
F
тр
≠ 0
с учетом этой силы следует записать в виде
или
.
Решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний является
, причем частота вынужденных колебаний ω
совпадает с частотой колебания вынуждающей силы, а амплитуда вынужденных колебаний А является сложной функцией от β и ω:
.
Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний системы от частоты изменения внешней силы называются резонансными
кривыми (рис. 1.16). Если частота вынуждающей силы приближается к
частоте собственных колебаний (ω → ω0), то знаменатель стремится
к нулю. В этом случае амплитуда колебаний резко возрастает, стремясь
к бесконечности при ω = ω0. Явление резкого возрастания амплитуды
вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы ω
с частотой собственных колебаний ω0 системы называется механическим резонансом.
Возрастание амплитуды зависит от трения: чем меньше трения
в системе, тем выше резонансная кривая (рис. 1.16).
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического
декремента равна
Добротность пропорциональна числу колебаний,
совершаемых колебательной системой за время релаксации.
Явление механического резонанса необходимо учитывать при конструировании различного
рода сооружений: машин,
32
кораблей, самолетов, мостов и др. Если, например, собственная частота
ω0 вибраций корпуса корабля или крыльев самолета совпадает с частотой колебаний, возбуждаемых вращательным движением гребного
винта или пропеллера, возникает механический резонанс, который может привести к разрушению. Однако явление резонанса имеет и положительное значение, например в радиотехнике – для выделения нужного сигнала из множества других, отличающихся по частоте, в акустике – для усиления звучания музыкального инструмента и т. д.
Вопросы
1. Что такое механические колебания, свободные, вынужденные, гар-
монические, затухающие?
2. Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, цикличе-
ской частоты колебания.
3. Выведите формулы скорости и ускорения гармонических колеба-
ний.
4. Запишите дифференциальное уравнение гармонических колебаний
и его решение.
5. Выведите формулы кинетической, потенциальной и полной энер-
гии.
6. Дайте определение гармонического осциллятора. Какие гармониче-
ские осцилляторы вы знаете?
7. Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физиче-
ского и математического маятников.
8. Дайте определение затухающих колебаний. Запишите дифференци-
альное уравнение затухающих колебаний и его решение.
9. Дайте определения коэффициента затухания и времени релаксации.
Запишите формулы частоты и периода затухающих колебаний.
10. Дайте определения декремента затухания и логарифмического де-
кремента затухания.
11. Дайте определение вынужденных колебаний. Запишите дифферен-
циальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.
12. Что называется резонансом? Какова его роль?
13. Что такое добротность колебательной системы?
33
1 . 1 4 . В о л н о в ы е п р о ц е с с ы . В и д ы в о л н
Если какую-либо частицу упругой среды заставить колебаться, то вследствие взаимодействия между частицами соседние
частицы тоже начнут колебаться. Такой процесс последовательного переноса энергии и импульса по цепочке между соседними
взаимодействующими друг с другом частями среды вовлекает в колебательное движение все больше частиц. Процесс переноса энергии колебаний в среде без переноса вещества называется волновым
процессом или волной. В этом процессе сами частицы среды не перемещаются на большие расстояния, они только совершают колебания около положений равновесия, причем частицы в разных точках колеблются с некоторым сдвигом по фазе.
Различают поперечные и продольные волны. Волна называется
поперечной, если колебания частиц среды происходят в направлении,
перпендикулярном направлению распространения волны. Примеры поперечных волн: распространение колебаний атомов в узлах кристаллической решетки твердого тела, колебания напряженностей электрического и магнитного полей при распространении электромагнитных
волн, волны на поверхности воды и т. д. Волна называется продольной,
если колебания частиц среды происходят около положений равновесия
вдоль направления распространения волны. Примеры продольных
волн: колебания в пружинных системах, распространение колебаний
атомов в газах и жидкостях (распространение звуковых волн). Такие
колебания также возникают и в твердых телах.
Волны также делят по виду волновых поверхностей на плоские,
сферические и др. Волновая поверхность – это геометрическое место
точек в пространстве, в которых колебания происходят одинаковым образом или в одной фазе. Для плоских волн волновые поверхности представляются параллельными плоскостями или линиями (рис. 1.17а), для
сферических волн – сферами или окружностями с общим центром
(рис. 1.17б). Волновые поверхности неподвижны. Поверхность, к которым подошли колебания в какой-то момент времени и которая отделяет
колеблющиеся частицы от еще не колеблющихся частиц, называется
фронтом волны.
34
2
2
2
2
2
2
2
2
1tS
z
S
y
S
x
S
=
+
+
v
))((sin
0
+−=
v
x
tAt)S(x,
))((sin
0
+−=
v
r
tA(r)t)S(r,
Рис. 1.18
Рис. 1.17
1 . 1 5 . В о л н о в о е у р а в н е н и е . У р а в н е н и я
и х а р а к т е р и с т и к и в о л н
Если волна распространяется вдоль некоторого направления, то
смещение частицы от положения равновесия S будет зависеть от времени t и местоположения частицы х или r. Дифференциальное уравнение для волны имеет вид
и называется волновым уравнением, где v – скорость распространения
волны. Решение такого уравнения имеет следующий вид:
– для плоской волны
– для сферической волны
,
.
Графически эти волны
изображают синусоидами, которые смещаются со временем (рис. 1.18), поэтому такие
волны (в отличие от стоячих)
называют бегущими волнами,
хотя сами частицы вещества
никуда не бегут, а колеблются
около своего постоянного положения равновесия. Характеристиками волн являются фазовая скорость v, длина волны λ, волновое число k.
35
Фазовой скоростью, или скоростью распространения волны v,
)(sin)
2
(sin
00
+−=+
−= kxtA
x
tAt)S(x,
)(sin)
2π
(sin
00
+−=+
−= krtA(r)
r
tA(r)t)S(r,
называют скорость перемещения фазы или точек пространства, где колебания находятся в одной фазе, например точек амплитудного значения А. Эта скорость равна скорости перемещения волнового фронта,
или скорости распространения волнового процесса.
Длиной волны называют расстояние, на которое распространяется
волновой процесс за время, равное периоду колебаний Т (λ = v∙T), или
кратчайшее расстояние между частицами, колеблющимися в одной
фазе. Используя эти характеристики, уравнения волн можно записать
следующим образом:
– для плоской волны
;
– для сферической волны
,
где k – волновое число, показывающее, сколько длин волн уложится на
расстоянии в 2π метров (k = 2π/ λ= ω/v).
Вопросы
1. Что такое волна? Как образуется волна?
2. Дать определения поперечных и продольных волн.
3. Что такое волновой фронт, или волновая поверхность? Виды волн
по фронту волны.
4. Запишите дифференциальное уравнение волны и его решения для
плоской и сферической волн.
5. Что такое фазовая скорость, длина волны, волновое число?
Примеры решения задач
Задача 1. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом
угол = 300, находится груз массой m2 = 2 кг. К грузу привязан легкий
шнур, перекинутый через блок, укрепленный на вершине наклонной
плоскости. К другому концу шнура подвешена гиря массой m1 = 20 кг.
Предоставленная самой себе, система приходит в равноускоренное
движение. Определите ускорение грузов и силу давления на ось блока
36
при условии, что коэффициент трения между грузом и плоскостью ра-
2222
sin amFgmT
тр
=−−
NF
тр
= μ
0cos2=−
gmN
вен = 0,1. Массу блока не учитывать.
Дано:
= 300; m1 = 20 кг; m
Найти: a, F
– ?
д
= 2 кг; = 0,1; a = const
2
Решение. Укажем внешние силы, действующие на каждое из тел
системы. Очевидно, гиря будет опускаться, а груз будет подниматься
по наклонной плоскости. Рассмотрим движение гири. На гирю действует сила тяжести m1g и сила натяжения шнура T1. Поскольку гиря
опускается ускоренно, то
m1g – T1 = m1a.
На груз действуют сила тяжести m2g, сила натяжения шнура T2, сила
трения Fтр и нормальная реакция опоры N. Выберем систему отсчета –
наклонную плоскость и связанную с ней систему координат. Ось Ох
направим вдоль наклонной плоскости в сторону движения груза,
ось Оу – перпендикулярно наклонной плоскости. Под действием приложенных сил груз массой m2 ускоренно поднимается по наклонной плоскости, поэтому основное уравнение динамики в проекциях на ось Ох
имеет вид
.
Так как груз и гиря связаны между собой, то а1 = а2 = а и Т1 = Т2 = Т.
Сила трения, равная
, отсутствует в направлении, пер-
пендикулярном наклонной плоскости (Оу), поэтому
.
По условию задачи масса блока не учитывается, поэтому на него действует только две силы натяжения со стороны шнура (T1 = T2 = T)
37
и нормальная реакция опоры N
)
2
(45cos2
0
21
−=+ TTT
1
0
)
2
45cos(2 NT =−
=−
=−
=−−
=−
1
2
22
11
μ
N)
2
α
2Tcos(45
0cosαgmN
amNsinαgmT
amTgm
0
( )
).
α
(ααg
mm
mm
NF
g,
mm
αmαmm
a
2
45cosμcossin1
2
cosμsin
0
21
21
1д
21
221
−++
+
==
+
−−
=
.Н
с
м
кг
кгкг
с
м
с
м
кг
кг
2
д
22
=
=== Fa
tAx ωcos=
tAx ωcos=
со стороны оси. Согласно третьему закону
1
Ньютона блок действует на ось с такой же по модулю силой, но направленной в противоположную сторону. Эту силу нам надо определить.
Под действием приложенных сил блок находится в равновесии,
его ускорение равно нулю: T1 = T2 = N
рическая сумма векторов T1 и T2 равна по модулю N
. Как видно из рисунка, геомет-
1
1
,
Следовательно,
.
Составим систему уравнений для неизвестных величин Т, а, N, N1:
Решая эту систему относительно а, N1, получим
Проверим размерность:
Вычисляем а = 4 м/с2; FД = 202 Н
Задача 2. Материальная точка колеблется согласно уравнению
, где А = 5 см, = /12 с-1. Когда возвращающая сила F
в первый раз достигает значение –12 мН, потенциальная энергия Ер
точки оказывается равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу t.
Дано:
; А = 5 см = 5.10
-2
м; = /12с-1;
F = –12 мН= –1,2.10-2 Н; Ер = 0,15 мДж = 1,5.10-3Дж
Найти: t, t – ?
38
Решение. Материальная точка совершает гармонические колеба-
,ωcos tAkkxF −=−=
t
kAkx
E
p
ωcos
22
2
22
==
t
A
F
E
p
ωcos
2
−=
−=
AF
E
t
p
2
arccos
1
−=
AF
E
t
p
2
arccosω
−=
AF
E
t
p
2
arccos
ω
1
12==
=
Дж
Дж
Нм
Дж
AF
E
p
.радtω;ct;
с
1
ω ===
c4
102,1105
105,12
arccosc4
12
1
t
22
3
=
=
−−
−
радt
312
4ω
==
ния под действием силы упругости, равной
где k – коэффициент жесткости.
Потенциальная энергия точки:
Составим отношение
отсюда время
Фаза к моменту времени
.
Проверка размерности:
Вычисляем:
.
.
,
.
;
Задача 3. Маховик имеет вид диска массой 50 кг и радиусом 20 см.
Он был раскручен до скорости вращения 480 об/мин и затем предоставлен сам себе. Под влиянием трения маховик остановился. Найти момент
силы трения, если принять, что маховик остановился через 50 с.
Дано: m = 50 кг, r = 20 см = 0,2 м, t = 50 с.
Найти: М – ?
Решение. По второму закону динамики вращательного движения
изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению
момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента:
39
12
ωω JJtМ −=
или
1
ωJtM −=
0ω2=
t
J
M−=
1
ω
2
2
1
mrJ =
1
2
ω
2 t
mr
M−=
1
ω
./срад2,50
30
48014,3
30
π
ω =
=
=n
.мH12,50
502
0,250
2
−=
−=M
?ξ,ξ,ξ,,λ
1111
−
•••
.ωcosξ
−=
v
x
tA
TTv== λ;
π2
ω
.
π2
cos)(ξ
−=
v
x
t
t
Atx,
,так как
Отсюда момент силы:
(1.1)
Момент инерции диска относительно его геометрической оси:
Подставив выражение момента инерции в формулу (1.1), найдем
(1.2)
.
Рассчитаем
:
Подставив эти значения в формулу (1.2), получим
Задача 4. Поперечная волна распространяется вдоль упругого
шнура со скоростью v = 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура
А = 5 см, период колебаний Т = 1 с. Запишите уравнение волны и определите: 1) длину волны; 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии х1 = 9 м от источника колебаний в момент времени t1 = 2,5 с.
Дано: = 10 м/с; А = 5 см = 0,05 м; Т = 1 с; х1 = 9 м; t
Найти:
Решение. Запишем уравнение волны
вая частота и длина волны связаны с периодом
= 2,5 с.
1
Круго-
, их
выражение для подставляем в уравнение волны:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]