Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. В 3 частях. Ч.1. Физические основы механики. Молекулярная физика и термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
вектора: L = rp sin = mvr sin = pl, где – угол между векторами r и
==
==
n
i
iii
n
i
i
m11, vrLL
2
ii
n
i
i
n
i
i
mrLL v
==
==
11
ii
r v =
===
==
JrmrmL
n
i
ii
n
i
ii
1
2
1
2
p; l – плечо вектора p (или v) относительно точки О.
Моментом импульса точки относительно неподвижной оси z
называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора
момента импульса, определенного относительно произвольной точки О
данной оси:
Lz = rp sin cos = pl cos ,
где β – угол между вектором L и осью z.
Момент импульса твердого тела относительно оси есть вектор-
ная сумма моментов импульса всех точек, из которых состоит тело:
.
При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси уг-
ловые скорости всех его точек равны, угол между векторами ri и vi
равен
и все векторы Li направлены по оси вращения в одну сторону.
Отсюда модуль вектора L тела равен
;
;
.
Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг непо-
движной оси, равен произведению момента инерции этого тела относительно той же оси на угловую скорость. Направления векторов L и ω
совпадают: L = J ω. Отметим, что момент силы, как и момент импульса,
является псевдовектором.
Вопросы
1. Сформулируйте определения момента инерции материальной
точки, момента инерции тела.
2. От чего зависит момент инерции тела? Какова роль момента инер-
ции во вращательном движении?
3. Сформулируйте и поясните теорему Штейнера.
4. Что называется моментом силы относительно неподвижной точки,
относительно неподвижной оси? Как определяется направление
момента силы?
21
5. Что называется моментом импульса относительно неподвижной
==
MМА
0
d
Рис. 1.11
F
dS
r
dφ
α
α
О
С
S
F
τ
точки, относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента импульса?
1 . 8 . Р а б о т а и к и н е т и ч е с к а я э н е р г и я
п р и в р а щ а т е л ь н о м д в и ж е н и и т в е р д о г о т е л а
Определим работу силы F
при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О и перпендику-
лярной плоскости рисунка. Сила
F приложена к телу в точке С,
находящейся на расстоянии |r| от
оси вращения (рис. 1.11). Угол
между векторами F и r равен .
При повороте тела на бесконечно малый угол d точка приложения силы проходит путь
dS = r∙d. Работа силы равна про-
изведению проекции силы F на направление смещения Fτ=F sin и смещения dS = rd:
dA = Fτ dS = F sin r d,
где F r sin = M – момент силы относительно оси вращения. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:
dA = M d.
Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. Работа силы F при повороте тела на
угол φ равна
.
Работа силы при вращении тела вокруг неподвижной оси равна
произведению момента действующей силы на угол поворота.
Чтобы рассчитать кинетическую энергию вращательного движе-
ния твердого тела относительно неподвижной оси, разобьем его
22
мысленно на n материальных точек с массами m1, m2, ..., mn, находя-
n
n
rrr
v
vv
====
2
2
1
1
=
=+++=
n
i
iinn
vmvm
vmvm
Е
1
22
2
22
2
11
к.вр
22
...
22
2
ω
2
ω
2
ω
2
2
1
2
2
1
2
к.вр
z
i
n
i
ii
n
i
i
J
rmr
m
E ===
==
=
= d
2
dd
2
J
J
M
t
J
t
M
d
d
d
d
=
=
tdd
=
tdd
ε= JM
J
M
=ε
щихся на расстояниях r1, r2, ..., rn от оси вращения. Так как тело абсолютно твердое, угловые скорости всех его точек одинаковы:
.
Линейные скорости точек будут разные: v1= ωr1, v2= ωr2 и т. д.
Кинетическая энергия вращающегося тела Е
к.вр
:
;
,
где J – момент инерции всего тела относительно оси.
1 . 9 . О с н о в н о е у р а в н е н и е д и н а м и к и
в р а щ а т е л ь н о г о д в и ж е н и я т е л а в о к р у г
н е п о д в и ж н о й о с и
Работа сил идет на увеличение кинетической энергии:
dA = dEвр, т. е.
Поделим обе части равенства на dt:
Так как
В векторном виде
;
, то Mω = Jωε или M = J∙ε.
или
.
.
.
Полученное уравнение представляет собой уравнение динамики
вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси,
проходящей через центр масс тела. Угловое ускорение, приобретаемое
телом при вращении его вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально вращающему моменту сил, сонаправлено с ним и обратно пропорционально моменту инерции тела. По форме оно сходно
23
с уравнением II закона Ньютона. Из их сопоставления вытекает, что
ωJ=L
( )
MJ
t
JJ
tt
L
==
==
d
d
d
d
d
d
.M
t
L
=
d
d
Fp=
td
d
0
d
d
=
t
L
const=L
Поступательное движение
Вращательное движение
Путь S
Угловой путь φ
Скорость
trd
d
=v
,
v = v0 ± a t
Угловая скорость
td
d
ω=
,
ω = ω0 ± ε t
при вращательном движении роль массы играет момент инерции, роль
линейного ускорения – угловое ускорение, роль силы – момент силы.
Ранее получено, что
времени от этого равенства:
Скорость изменения момента импульса тела равна результиру-
. Возьмем первую производную по
.
ющему моменту всех внешних сил:
форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела
(сравним с законом динамики поступательного движения
Если на тело не действуют внешние силы или система тел за-
мкнутая, то момент сил: M = 0 и
Момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным во времени. Это закон сохранения момента импульса. Ана-
логом его в поступательном движении является закон сохранения
импульса замкнутой системы тел. Закон сохранения момента импульса справедлив и для тел, размеры, форма и момент инерции которых могут меняться в ходе движения. Поскольку L=Jω=const, то
при увеличении момента инерции J угловая скорость уменьшается, и наоборот. К примеру, акробат, совершая переворот в воздухе, чтобы увеличить угловую скорость своего вращения, группируется, т. е. прижимает к себе руки и ноги. При этом его момент
инерции уменьшается.
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие
вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение:
Это выражение есть вторая
, откуда
.
).
24
Ускорение
tad
dv
=
Угловое ускорение
td
d
ε=
Масса m
Момент инерции J
Сила F
Момент силы M
Импульс p = m∙v
Момент импульса L = J ω
Основное уравнение динамики
m
F
a =
;
t
p
F
d
d
=
Основное уравнение динамики
J
M
=
;
t
L
M
d
d
=
Работа dA = FS∙dS
Работа dA = M∙dφ
Кинетическая энергия
2
2
vm
E =
Кинетическая энергия
2
2
=J
E
Вопросы
1. Выведите формулу работы силы F при вращении твердого тела во-
круг неподвижной оси.
2. Выведите формулу кинетической энергии вращательного движения
твердого тела относительно неподвижной оси.
3. Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного
движения твердого тела.
4. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.
1.10. М е х а н и ч е с к и е к о л е б а н и я
Колебательным движением называется процесс, при котором система, многокранто отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Особое значение имеют периоди-
ческие колебания, в процессе которых система возвращается в исходное
состояние через равные промежутки времени. Промежуток времени Т,
в течение которого происходит одно полное колебание, называется пе-
риодом колебания. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные незатухающие (или собствен-
ные) колебания, затухающие колебания, вынужденные колебания.
Свободные колебания происходят в системе, выведенной из по-
ложения равновесия и далее предоставленной самой себе. Простейшим
свободным периодическим механическим колебанием является
25
гармоническое колебательное движение точки (тела), при котором
0
ω
2
=T
T
1
=
( )
.
2
π
ωsinω
ωcosω
d
d
00
00
++=
=+==
tA
tA
t
S
v
0max
ωA=v
( ) ( )
.πωsinωωsinω
d
d
d
d
0
2
00
2
0
2
2
+++=+−=== tAtA
t
S
t
a
v
0
t
S
а
+A
-
t
0
б
0
+Aω
0
t
-
в
Рис. 1.12
зависимость смещения из положения равновесия S от времени t
описывается уравнениями
S(t) = А sin (ω0 t +φ) или S(t) = А соs (ω0 t +φ),
где А – амплитуда колебаний, максимальное смещение из положения
равновесия; ω0 – круговая (циклическая) частота; (ω0 t +φ) – фаза коле-
баний в момент времени t; φ – начальная фаза колебаний, или фаза в мо-
мент времени t = 0.
Через время Т фаза колебания получает
приращение 2π, и колебательный процесс повторяется: 2π (t + Т) + φ = (ω0 t +φ) + 2π, от-
куда
. Число полных колебаний
в единицу времени есть частота колеба-
ний ν, она связана с периодом
и кру-
говой частотой ω0 = 2π ν. Так как значения
синуса и косинуса изменяются в пределах
от –1 до +1, смещение от положения равновесия S принимает значения
от –А до +А (рис. 1.12а).
Скорость (рис. 1.12б) гармонического колебания есть первая производная
смещения S по времени t. Пусть
S = А sin (ω0 t +φ), тогда
Скорость сдвинута по фазе относительно смещения на π/2. Так как максималь-
ное значение косинуса равно единице, максимальное значение скорости:
.
Ускорение а гармонического колебания есть первая производная ско-
рости v по времени t:
26
Ускорение (рис. 1.12в) сдвинуто по фазе относительно сме-
2
0
max
ωAa =
Sa
2
0
ω−=
( )
.AmF ,SmtωmAmaF
max
2
00
2
0
2
0
ωωsinω −=−=+−==
2
2
ddt
S
a =
S
t
S
2
0
2
2
ω
d
d
−=
0ω
d
d
2
0
2
2
=+ S
t
S
( )
.ωcos
2
ω
2
0
2
202
2
K
+== t
mA
mEv
( )
.ωsin
2
ω
2
ω
0
2
20222
0
П
+== t
mASm
E
( ) ( )
.
2
ω
ωsin
2
ω
ωcos
2
ω
202
0
2
202
0
2
202
П
mA
t
mA
t
mA
EEE =+++=+=
K
щения на π. Так как максимальное значение синуса равно 1, максималь-
ное значение модуля ускорения равно
. Связь ускорения и сме-
щения можно получить, если в формуле для ускорения множитель
А∙sin(ω0t +φ) заменить на S, тогда
.
Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку мас-
сой m, по второму закону Ньютона равна
Отсюда следует, что сила пропорциональна смещению материальной
точки и противоположна ему по направлению. Такую силу называют
квазиупругой. Исходя из полученного выражения для силы, можно сделать вывод, что гармоническое колебание – это колебание, которое происходит при действии на тело квазигармонической силы. Так как
, то
и
.
Полученное выражение называют дифференциальным
уравнением гармонических колебаний. Это линейное однородное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами. Его решениями являются
S = А sin(ω0 t +φ) либо S = А соs(ω0 t +φ).
Кинетическая энергия материальной точки при гармоническом
колебании:
Потенциальная энергия материальной точки при гармоническом
колебании под действием упругой силы согласно ее определению равна
Полная энергия колеблющейся точки:
27
Полная энергия не зависит от времени. Следовательно, при гар-
2
2
d
d
t
x
mmaF ==
kx.
t
x
m −=
2
2
d
d
2
0
ω=
m
k
0ω
d
d
2
0
2
2
=+ x
t
x
m
k
=
0
ω
k
m
2=T
0 F х
х
Рис. 1.13
монических колебаниях выполняется закон сохранения механической
энергии.
1 . 1 1 . Г а р м о н и ч е с к и е о с ц и л л я т о р ы
Тела, которые при движении совершают гармонические ко-
лебания, называют гармоническими осцилляторами.
Пружинный маятник. Это тело массой m, способное совершать
колебания под действием силы упругости невесомой (m
пружины
m
тела
пружины (рис. 1.13). Трением в системе пренебрегаем. При смещении
тела на расстояние х от положения
равновесия О на него действует сила
упругости пружины, направленная к
положению равновесия: F = – kx, где
k – коэффициент упругости (жестко-
сти) пружины. По второму закону
)
Если обозначить
Ньютона
, то получим
, отсюда
– диф-
ференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решения
имеют вид x = А sin (ω
t +φ) либо
0
x = А соs (ω0 t +φ).
Таким образом, колебания пружинного маятника – гармониче-
ские с циклической частотой
и периодом
.
Физический маятник. Это твердое тело, совершающее колебания
под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси,
не совпадающей с его центром тяжести С (рис. 1.14). Ось проходит через
точку О. Если маятник отклонить от положения равновесия на малый
28
угол α и отпустить, он будет совершать коле-
2
2
d
d
M
t
JJ==
−=−=
sinsinPP mg
l=
PM
J
lmg
ω =
0
mgl
J
T = 2
l
g
=
0
ω
g
l
T π2=
Рис. 1.14
бания, следуя основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела:
, где J – момент инерции ма-
ятника относительно оси; М – момент силы,
возвращающей физический маятник в положение равновесия. Он создается силой тяжести
(l = ОС).
При малых отклонениях от положения
равновесия физический маятник совершает гармонические колебания с
, ее момент равен
циклической частотой
Математический маятник. Это идеализированная система, со-
стоящая из материальной точки массой m (тяжелый шарик малых размеров), подвешенной на невесомой (по сравнению с m шарика), упругой, нерастяжимой нити длиной l. Если вывести шарик из положения
равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол α, а затем
отпустить, он будет совершать колебания с циклической частотой и пе-
риодом, равным
1 . 1 2 . З а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я
В гармонических колебаниях единственной силой, действующей
на материальную точку (тело), была квазиупругая сила F, при этом
силы сопротивления, которые присутствуют в любой реальной системе, не учитывались. Поэтому такие колебания можно назвать иде-
альными незатухающими гармоническими колебаниями.
Наличие в реальной колебательной системе силы сопротивления
среды приводит к уменьшению энергии системы, а колебания будут
,
и периодом
.
.
29
затухать. Затухающими называются колебания с уменьшающейся во
t
x
rrF
C
d
d
−=−= v
C
FFa +=m
kxrm −−=
t
x
t
x
d
d
d
d
2
2
0
d
d
d
d
2
2
=++ x
m
k
t
xmr
t
x
= 2
m
r
,ω
2
0
=
m
k
0ω
d
d
2
d
d
2
0
2
2
=++ x
t
x
t
x
( )
+=
−
teAx ωcos
β
0
t
( )
+=
−
teAx ωsin
β
0
t
( )
t
eAtA−=
0
e
eA
eA
τ=+−−)(
0
0
t
t
ee =
=
1
времени амплитудой.
Рассмотрим свободные затухающие колебания. При небольших
скоростях сила сопротивления FC пропорциональна скорости v и об-
ратно пропорциональна ей по направлению:
, где r –
коэффициент сопротивления среды. Используя второй закон Ньютона,
получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
,
,
.
Обозначим
,
тогда дифференциальное уравнение при-
обретает вид
,
где ω0 – собственная частота колебаний системы, т. е. частота свободных колебаний при r = 0; – коэффициент затухания, определяющий
скорость убывания амплитуды. Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решениями этого уравнения являются
либо
.
График этой функции представлен на рис. 1.15. Верхняя пунктир-
ная линия дает график функции
, где А0 – амплитуда
в начальный момент времени. Амплитуда во времени убывает по экспоненциальному закону, коэффициент затухания по величине обратен
времени релаксации
ется в e раз, так как
, т. е. времени, за которое амплитуда уменьша-
,
,
= 1,
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]