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ivanov666
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Файл:Физика лазеров. Часть 2. Основы теории лазеров. Учебное пособие
.pdf
ȼ ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɵɯ ɥɚɡɟɪɚɯ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɩɨɫɥɟɞɧɢɣ ɢɡ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɜɵɲɟ
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ɫɩɨɫɨɛ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɨɧ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚɢɛɨɥɟɟ
ɫɨɜɟɪɲɟɧɧɵɦ, ɩɨɡɜɨɥɹɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɥɟɝɤɨ ɜɚɪɶɢɪɨɜɚɬɶ ɤɚɤ ɮɨɪɦɭ
ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢɦɩɭɥɶɫɚ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ, ɬɚɤ ɟɝɨ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɢ ɡɚɞɟɪɠɤɭ. ɇɚ
ɪɢɫ.11.5. ɩɪɢɜɟɞɟɧɚ ɫɯɟɦɚ ɬɜɟɪɞɨɬɟɥɶɧɨɝɨ ɥɚɡɟɪɚ ɫ ɚɤɬɢɜɧɵɦ ɨɩɬɢɱɟɫɤɢɦ
ɡɚɬɜɨɪɨɦ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɷɥɟɤɬɪɨɨɩɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɷɮɮɟɤɬɚ ɉɨɤɤɟɥɶɫɚ ɜ
ɧɟɰɟɧɬɪɨɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɯ ɤɪɢɫɬɚɥɥɚɯ ɫ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɣ
ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɫɬɶɸ.
ɉɪɢɧɰɢɩ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɬɚɤɨɝɨ ɡɚɬɜɨɪɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɪɢ
ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɢ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨɥɹ ɤ ɤɪɢɫɬɚɥɥɭ, ɩɨɜɨɪɚɱɢɜɚɟɬɫɹ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ
ɩɨɥɹɪɢɡɚɰɢɢ ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɝɨ ɱɟɪɟɡ ɤɪɢɫɬɚɥɥ ɫɜɟɬɚ, ɜɫɥɟɞɫɬɜɢɟ
ɧɚɜɟɞɟɧɧɨɝɨ ɞɜɭɥɭɱɟɩɪɟɥɨɦɥɟɧɢɹ. ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɤɪɢɫɬɚɥɥ ɩɨɦɟɳɟɧ ɦɟɠɞɭ
ɫɤɪɟɳɟɧɧɵɦɢ ɩɨɥɹɪɢɡɚɬɨɪɚɦɢ, ɫɜɟɬ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɢɣ ɱɟɪɟɡ ɡɚɬɜɨɪ, ɫɢɥɶɧɨ
ɨɫɥɚɛɥɹɟɬɫɹ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɹ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɪɹɞɨɜ ɧɚ
ɦɟɬɚɥɥɢɱɟɫɤɢɯ ɨɛɤɥɚɞɤɚɯ ɤɪɢɫɬɚɥɥɚ. ȿɫɥɢ ɠɟ ɦɟɠɞɭ ɨɛɤɥɚɞɤɚɦɢ
ɤɪɢɫɬɚɥɥɚ ɫɨɡɞɚɟɬɫɹ
ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɥɟ ɬɚɤɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɱɬɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ
ɩɨɥɹɪɢɡɚɰɢɢ ɫɜɟɬɚ ɩɨɜɨɪɚɱɢɜɚɟɬɫɹ ɧɚ 90 ɝɪɚɞɭɫɨɜ, ɫɜɟɬ ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɱɟɪɟɡ
ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɨ ɫ ɦɚɥɵɦɢ ɩɨɬɟɪɹɦɢ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɞɥɹ ɨɛɟɫɩɟɱɟɧɢɹ
ɢɦɩɭɥɶɫɧɨɣ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɨɞɚɜɚɬɶ ɧɚ ɨɛɤɥɚɞɤɢ
ɤɪɢɫɬɚɥɥɚ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɢɣ ɢɦɩɭɥɶɫ ɫ ɜɟɫɶɦɚ ɤɨɪɨɬɤɢɦ ɩɟɪɟɞɧɢɦ
ɮɪɨɧɬɨɦ, ɜɵɪɚɛɚɬɵɜɚɟɦɵɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɷɥɟɤɬɪɨɧɧɵɦ
ɝɟɧɟɪɚɬɨɪɨɦ. ɍɱɢɬɵɜɚɹ ɬɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɛɭɞɟɬ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬɶ ɡɚɪɹɞ ɢɥɢ
ɪɚɡɪɹɞ ɟɦɤɨɫɬɢ ɨɩɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɡɚɬɜɨɪɚ, ɢɦɩɭɥɶɫɧɚɹ ɦɨɳɧɨɫɬɶ,
ɪɚɡɜɢɜɚɟɦɚɹ ɝɟɧɟɪɚɬɨɪɨɦ, ɞɨɥɠɧɚ ɩɪɹɦɨ ɡɚɜɢɫɟɬɶ ɨɬ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ
ɮɪɨɧɬɨɜ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢɦɩɭɥɶɫɚ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ, ɫ ɰɟɥɶɸ ɫɧɢɠɟɧɢɹ
ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ, ɩɨɬɪɟɛɥɹɟɦɨɣ ɨɩɬɢɱɟɫɤɢɦ ɡɚɬɜɨɪɨɦ,
ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɩɬɢɦɢɡɢɪɨɜɚɬɶ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɩɟɪɟɞɧɟɝɨ ɮɪɨɧɬɚ ɢɦɩɭɥɶɫɚ
ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ, ɫɞɟɥɚɜ ɟɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨ ɛɨɥɶɲɨɣ, ɧɨ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɬɚɤɨɣ, ɱɬɨɛɵ
ɨɩɬɢɱɟɫɤɚɹ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɝɟɧɟɪɚɰɢɢ ɥɚɡɟɪɚ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɧɟ ɨɬɥɢɱɚɥɚɫɶ ɨɬ
ɬɨɣ
, ɤɨɬɨɪɚɹ ɦɨɝɥɚ ɛɵ ɛɵɬɶ ɞɨɫɬɢɝɧɭɬɚ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨ ɦɚɥɨɣ
ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɮɪɨɧɬɚ.
Ʌɟɤɰɢɹ ʋ12
ɋɂɇɏɊɈɇɂɁȺɐɂə ɆɈȾ ȼ ɅȺɁȿɊȺɏ,
ɉɈɅɍɑȿɇɂȿ ɋȼȿɊɏɄɈɊɈɌɄɂɏ ɄɈȽȿɊȿɇɌɇɕɏ ɋȼȿɌɈȼɕɏ
ɂɆɉɍɅɖɋɈȼ.
12.1. ɉɨɜɟɞɟɧɢɟ ɩɨɥɹ ɜ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɟ ɥɚɡɟɪɚ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨɣ
ɝɟɧɟɪɚɰɢɢ ɧɚ ɦɧɨɝɢɯ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɦɨɞɚɯ
ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɝɟɧɟɪɚɰɢɢ ɥɚɡɟɪɚ ɫɪɚɡɭ ɧɚ ɦɧɨɝɢɯ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɦɨɞɚɯ
ɫɩɟɤɬɪ ɟɝɨ ɢɡɥɭɱɟɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɷɤɜɢɞɢɫɬɚɧɬɧɵɦ ɫ
ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟɦ ɦɟɠɞɭ ɦɨɞɚɦɢ
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81
ɉɪɢɛɥɢɡɢɬɟɥɶɧɵɣ ɜɢɞ ɬɚɤɨɝɨ ɫɩɟɤɬɪɚ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧ ɧɚ ɪɢɫ. 12.1.
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Ɋɢɫ.12.1.
ȼɢɞ ɫɩɟɤɬɪɚ ɢɡɥɭɱɟɧɢɹ ɥɚɡɟɪɚ, ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɟɝɨ ɧɚ ɦɧɨɝɢɯ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ
ɦɨɞɚɯ.
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɚɫɬɨɬɭ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɦɨɞɵ
ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣ ɥɢɧɢɢ,
ɹɜɥɹɸɳɟɣɫɹ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɩɟɪɟɯɨɞɚ
ɋɭɦɦɚɪɧɨɟ ɩɨɥɟ ɜ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɟ ɥɚɡɟɪɚ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɝɟɧɟɪɚɰɢɢ ɧɚ
2m+1) ɦɨɞɚɯ ɬɨɝɞɚ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɜɢɞɟ:
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- ɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɮɚɡɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɦɨɞɵ ɫ ɧɨɦɟɪɨɦ j.
Ɋɚɞɢ ɩɪɨɫɬɨɬɵ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɝɨ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɹ ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ
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ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɜɫɟɯ ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɦɨɞ ɪɚɜɧɵ -
ȼ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɮɚɡ ɦɟɠɞɭ ɫɨɫɟɞɧɢɦɢ ɦɨɞɚɦɢ ɢɦɟɸɬ
ɢ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɟɟ
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ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɫɭɦɦɚɪɧɨɟ ɩɨɥɟ ɜ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɟ ɞɨɥɠɧɨ
ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɢ ɢɡɦɟɧɹɬɶɫɹ ɜɨ ɜɪɟɦɟɧɢ. ɗɬɨ ɧɚɝɥɹɞɧɨ ɦɨɠɧɨ ɫɟɛɟ
ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ, ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɨɣ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ, ɜɪɚɳɚɸɳɟɣɫɹ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ
q-ɨɣ ɦɨɞɵ (ɫɦ. ɪɢɫ 12.2). ȼ ɬɚɤɨɣ
ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɜɟɤɬɨɪ ɩɨɥɹ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɦɨɞɵ ɫɩɟɤɬɪɚ ɫ ɢɧɞɟɤɫɨɦ
ɛɭɞɟɬ ɧɟɩɨɞɜɢɠɟɧ, ɚ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɜɟɤɬɨɪɵ ɛɭɞɭɬ ɜɪɚɳɚɬɶɫɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ
ɧɟɝɨ ɩɨ ɱɚɫɨɜɨɣ ɫɬɪɟɥɤɟ ɢɥɢ ɩɪɨɬɢɜ ɧɟɟ ɫ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ, ɤɪɚɬɧɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɟ
ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ ɛɢɟɧɢɣ
ɛɨɥɶɲɟ
ɦɟɧɶɲɟɣ ɱɚɫɬɨɬɨɣ – ɩɪɨɬɢɜ ɱɚɫɨɜɨɣ ɫɬɪɟɥɤɢ. ȼ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɪɟɞɤɢɟ
ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɪɟɦɟɧɢ ɜɫɟ ɜɟɤɬɨɪɵ (ɢɥɢ ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɢɯ ɱɚɫɬɶ) ɦɨɝɭɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ
ɞɨɥɠɧɵ ɛɭɞɭɬ ɜɪɚɳɚɬɶɫɹ ɩɨ ɱɚɫɨɜɨɣ ɫɬɪɟɥɤɟ, ɚ ɦɨɞɵ ɫ
q
(ɫɦ. ɪɢɫ. 12.2.ɚ). ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɦɨɞɵ ɫ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
q
ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵɦɢ ɞɪɭɝ ɞɪɭɝɭ (ɫɦ. ɪɢɫ. 12.2.ɜ) ɢ ɬɨɝɞɚ ɫɭɦɦɚɪɧɨɟ ɩɨɥɟ
ɛɭɞɟɬ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɦ (ɬ.ɟ. ɨɛɪɚɡɭɟɬɫɹ ɢɦɩɭɥɶɫ). ȼ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ
q
82
ɫɭɦɦɚɪɧɨɟ ɩɨɥɟ ɛɭɞɟɬ ɮɥɭɤɬɭɢɪɨɜɚɬɶ ɜɛɥɢɡɢ ɧɭɥɹ; ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɜ
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q+1q-1q
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ɨɬɞɟɥɶɧɵɟ ɢ ɬɚɤɠɟ ɪɟɞɤɢɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɪɟɦɟɧɢ ɦɝɧɨɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
ɫɭɦɦɚɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɜ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɪɚɜɧɵɦ ɧɭɥɸ (ɫɦ. ɪɢɫ.
12.2.ɛ).
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q
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q-2
+2
-2
q
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q±2
q±3
q±4
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+3
q-3
+3
-4
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ɜ.
Ɋɢɫ. 12.2.
ȼɟɤɬɨɪɧɵɟ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɟ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɩɨɥɟɣ 9-ɬɢ
ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɦɨɞ ɜɨ ɜɪɚɳɚɸɳɟɣɫɹ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ (ɤɨɪɨɬɤɢɟ
ɫɬɪɟɥɤɢ ɩɨɤɚɡɵɜɚɸɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɜɟɤɬɨɪɨɜ.
Ɍɚɤɢɦ
ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɟɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɹ ɦɟɠɞɭ
ɮɚɡɚɦɢ ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɦɨɞ, ɫɭɦɦɚɪɧɚɹ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɩɨɥɹ ɜ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɟ
ɛɭɞɟɬ ɦɟɧɹɬɶɫɹ ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɹ ɫɨɛɨɣ
ɧɟɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɧɭɸ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɢɦɩɭɥɶɫɨɜ ɪɚɡɧɨɣ ɜɵɫɨɬɵ,
ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɢ ɫ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɜɪɟɦɟɧɧɵɦɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚɦɢ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ.
12.2. ɉɨɜɟɞɟɧɢɟ ɩɨɥɹ ɜ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɟ ɥɚɡɟɪɚ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ
ɜɫɟɯ ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɦɨɞ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɚ
ȿɫɥɢ ɤɚɤɢɦ-ɥɢɛɨ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɨɛɟɫɩɟɱɢɬɶ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ
ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɝɨ ɜɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɦɝɧɨɜɟɧɧɨɝɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ
ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɚɹ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ ɦɟɠɞɭ ɫɨɫɟɞɧɢɦɢ ɦɨɞɚɦɢ, ɪɚɜɧɚɹ
2
, ɬɨ ɜɦɟɫɬɨ ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ ɩɨɥɹ ɜɨɡɧɢɤɧɟɬ ɫɬɪɨɝɨ ɪɟɝɭɥɹɪɧɚɹ
ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɤɨɪɨɬɤɢɯ ɩɨ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɢɦɩɭɥɶɫɨɜ.
ɋɥɟɞɭɟɬ ɩɨɞɱɟɪɤɧɭɬɶ, ɱɬɨ ɬɚɤɨɣ ɢɦɩɭɥɶɫɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ ɩɨɥɹ ɜ
ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɟ ɥɚɡɟɪɚ ɦɨɠɟɬ ɢɦɟɬɶ ɦɟɫɬɨ ɩɪɢ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɧɚɤɚɱɤɟ ɢ,
ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɫɪɟɞɧɟɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɝɟɧɟɪɚɰɢɢ.
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɜ ɥɚɡɟɪɟ ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɬ
ɩɪɢɱɟɦ ɩɪɨɞɨɥɶɧɚɹ ɦɨɞɚ ɫ ɧɨɦɟɪɨɦ
2m +1 ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɦɨɞ,
q ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ
ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣ ɥɢɧɢɢ. ɉɭɫɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɮɚɡɵ ɜɫɟɯ ɦɨɞ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
t=0 ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ:
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Ɍɨɝɞɚ ɫɭɦɦɚɪɧɨɟ ɩɨɥɟ (2m+1) ɦɨɞ ɦɨɠɟɦ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɬɚɤ:
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ɩɨɥɭɱɢɦ ɨɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɦɝɧɨɜɟɧɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɫɭɦɦɚɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɜ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɟ ɥɚɡɟɪɚ
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ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɟ ɥɚɡɟɪɚ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ. ɋɥɟɞɭɟɬ ɨɛɪɚɬɢɬɶ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɧɚ ɬɨ, ɱɬɨ
ɚɪɝɭɦɟɧɬ ɫɢɧɭɫɚ ɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ (12.7) ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɜ (
2m+1) ɪɚɡ
ɛɵɫɬɪɟɟ, ɱɟɦ ɚɪɝɭɦɟɧɬ ɫɢɧɭɫɚ ɜ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟ. ɉɪɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ
ɫɢɧɭɫɚ ɜ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟ, ɪɚɜɧɵɯ ɰɟɥɨɦɭ ɱɢɫɥɭ
ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɨɛɪɚɳɚɸɬɫɹ ɜ ɧɭɥɶ. ȼɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ ɩɪɚɜɢɥɨɦ
Ʌɨɩɢɬɚɥɹ, ɢɡɛɚɜɢɦɫɹ ɨɬ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ (12.7):
d
sin 2 1
d
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Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɭɫɥɨɜɢɟ ɞɨɫɬɢɠɟɧɢɹ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ ɧɚɣɞɟɦ, ɩɨɥɨɠɢɜ
ɫɢɧɭɫ ɜ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟ ɪɚɜɧɵɦ ɧɭɥɸ, ɱɟɦɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɭɫɥɨɜɢɟ,
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2
, ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɢ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ
. (12.8)
m+
ɧɚɥɚɝɚɟɦɨɟ ɧɚ ɚɪɝɭɦɟɧɬ ɫɢɧɭɫɚ:
ɪ = 0, 1, 2, 3,….
ɝɞɟ
0,5 tp
q
, (12.9)
ɉɢɤɨɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɷɧɟɪɝɢɢ ɩɨɥɹ ɛɭɞɟɬ:
1
max st 0 0
ɉɟɪɢɨɞ ɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɢɦɩɭɥɶɫɨɜ ɩɨɥɭɱɢɦ, ɡɚɞɚɜ
f
ɡɞɟɫɶ
ɉɪɢ ɜɫɟɯ ɞɪɭɝɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ (12.7),
ɨɬɥɢɱɚɸɳɢɯɫɹ ɨɬ ɬɟɯ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɞɚɸɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɟɦ (12.9), ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ
– ɱɚɫɬɨɬɚ ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ ɛɢɟɧɢɣ, ɜɵɪɚɠɟɧɧɚɹ ɜ Ƚɰ.
q
(2 1) (2 1)
22 2
mnEm
T
2
21
qq
2
, (12.10)
f
. (12.10)
ɪ =1:
ɷɧɟɪɝɢɢ ɩɨɥɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɧɚɦɧɨɝɨ ɦɟɧɶɲɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ, ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢ
ɨɛɪɚɳɚɹɫɶ ɜ ɧɭɥɶ.
ɇɚ ɪɢɫ 12.3 ɩɪɢɜɟɞɟɧ ɩɪɢɦɟɪ ɬɚɤɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ. Ɋɚɞɢ
ɧɚɝɥɹɞɧɨɫɬɢ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɩɨɫɬɪɨɟɧɚ ɞɥɹ ɦɚɥɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ
ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɦɨɞ (
2m+1=7).
85
U
'Z
'W
'Z 'W S
S
W 'W
'Z
W
W S
W |
'Z '
'Z
(t)
·t
Ɋɢɫ. 12.4.
Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɷɧɟɪɝɢɢ ɩɨɥɹ ɩɪɢ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ
ɫɟɦɢ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɦɨɞ.
Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɜɪɟɦɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ (
ɞɜɭɦɹ ɦɨɦɟɧɬɚɦɢ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦɢ ɦɚɤɫɢɦɭɦɭ ɩɨɥɹ ɢ ɩɟɪɜɨɦɭ ɡɚ ɧɢɦ
ɧɭɥɸ ɩɨɥɹ, ɩɨɥɨɠɢɜ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ
) ɦɟɠɞɭ
(12.7), ɪɚɜɧɵɦ
1
21
m
2
Ɍɨɝɞɚ ɜɪɟɦɟɧɧɨɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɛɥɢɠɚɣɲɢɦɢ ɤ ɦɚɤɫɢɦɭɦɭ
q
.
ɧɭɥɹɦɢ ɛɭɞɟɬ
2
ȿɫɥɢ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɢɦɩɭɥɶɫɚ (
ɭɪɨɜɧɸ
0,5 ɨɬ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ, ɬɨ ɬɨɝɞɚ ɩɪɢɛɥɢɡɢɬɟɥɶɧɨ ɛɭɞɟɬ
4
(2 1)m
21
i
2(2 1)mf
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɢɦɩɭɥɶɫɚ ɨɛɪɚɬɧɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ
. (12.11)
q
. (12.12)
qgen
) ɤɚɤ ɟɝɨ ɲɢɪɢɧɭ ɩɨ
i
ɲɢɪɢɧɟ ɟɝɨ ɫɩɟɤɬɪɚ, ɤɚɤ ɷɬɨ ɢ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ Ɏɭɪɶɟ ɚɧɚɥɢɡɚ ɢɦɩɭɥɶɫɨɜ.
ɂɬɚɤ, ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɹ ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɦɨɞ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɜɨɡɧɢɤɧɨɜɟɧɢɸ
ɤɨɝɟɪɟɧɬɧɵɯ ɨɩɬɢɱɟɫɤɢɯ ɢɦɩɭɥɶɫɨɜ ɫ ɦɨɳɧɨɫɬɶɸ ɜ (
2m+1) ɛɨɥɶɲɟɣ, ɱɟɦ
ɫɭɦɦɚɪɧɚɹ ɫɪɟɞɧɹɹ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɢɡɥɭɱɟɧɢɹ ɜɫɟɯ ɦɨɞ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ
ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɢɦɩɭɥɶɫɨɜ ɨɛɪɚɬɧɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɲɢɪɢɧɟ
ɝɟɧɟɪɢɪɭɟɦɨɝɨ ɫɩɟɤɬɪɚ, ɚ ɱɚɫɬɨɬɚ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹ, ɪɚɜɧɚ ɱɚɫɬɨɬɟ
ɦɟɠɦɨɞɨɜɨɝɨ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹ
. ɋɥɟɞɭɟɬ ɩɨɞɱɟɪɤɧɭɬɶ, ɱɬɨ ɢɡɥɭɱɟɧɢɟ
q
86
ɥɚɡɟɪɚ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ ɦɨɞ ɞɨɥɠɧɨ ɧɨɫɢɬɶ ɢɦɩɭɥɶɫɧɵɣ
2 ǷǍǽ§100 ǷǍǽ.
'Z
ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɞɚɠɟ ɩɪɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɧɚɤɚɱɤɟ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɱɢɫɥɟɧɧɵɣ ɩɪɢɦɟɪ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ ɝɟɥɢɣ-ɧɟɨɧɨɜɨɝɨ
ɥɚɡɟɪɚ ɧɚ ɞɥɢɧɟ ɜɨɥɧɵ
ɦ
ɢ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ, ɫ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟɦ ɩɨ ɱɚɫɬɨɬɟ ɦɟɠɞɭ ɫɨɫɟɞɧɢɦɢ
ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɦɢ ɦɨɞɚɦɢ
0,6328 ɦɤɦ ɩɪɢ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢ ɦɟɠɞɭ ɡɟɪɤɚɥɚɦɢ 1
150 ɆȽɰ. ɉɭɫɬɶ ɜ ɥɚɡɟɪɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɝɟɧɟɪɚɰɢɹ ɧɚ
ɫɟɦɢ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɦɨɞɚɯ, ɱɬɨ ɞɚɟɬ ɲɢɪɢɧɭ ɝɟɧɟɪɢɪɭɟɦɨɝɨ ɫɩɟɤɬɪɚ
ɩɨɪɹɞɤɚ
1100 ɆȽɰ. ȿɫɥɢ, ɤɚɤ ɛɵɥɨ ɷɬɨ ɫɞɟɥɚɧɨ ɪɚɧɶɲɟ, ɩɪɟɧɟɛɪɟɱɶ
ɪɚɡɧɢɰɟɣ ɦɟɠɞɭ ɦɨɳɧɨɫɬɹɦɢ ɨɬɞɟɥɶɧɵɯ ɦɨɞ, ɢ ɩɨɥɨɠɢɬɶ ɢɯ ɜɫɟɯ
ɪɚɜɧɵɦɢ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɦɨɞɵ ɜ ɰɟɧɬɪɟ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣ ɥɢɧɢɢ
ɩɢɤɨɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɧɚ ɜɵɯɨɞɟ ɥɚɡɟɪɚ ɛɭɞɟɬ
Ⱦɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɢɦɩɭɥɶɫɚ ɛɭɞɟɬ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɦɟɧɟɟ 1 ɧɫ, ɚ ɱɚɫɬɨɬɚ ɢɯ
ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹ -
150 ɆȽɰ.
– 2 ɦȼɬ, ɬɨ
2
7
·
ɉɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɰɢɮɪɵ ɧɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɪɟɤɨɪɞɧɵɦɢ. Ⱦɟɥɨ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɭ
ɬɜɟɪɞɨɬɟɥɶɧɵɯ ɢ ɠɢɞɤɨɫɬɧɵɯ ɥɚɡɟɪɨɜ ɲɢɪɢɧɚ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣ ɥɢɧɢɢ
ɞɨɫɬɢɝɚɟɬ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɨɪɹɞɤɚ
1012 - 1013 Ƚɰ. ɉɪɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ
ɧɚɤɚɱɤɟ ɲɢɪɢɧɚ ɝɟɧɟɪɢɪɭɟɦɨɝɨ ɫɩɟɤɬɪɚ ɦɨɠɟɬ ɞɚɠɟ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ
ɩɪɟɜɵɲɚɬɶ ɲɢɪɢɧɭ ɥɢɧɢɢ. ɗɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ
ɝɟɧɟɪɢɪɭɟɦɵɯ ɢɦɩɭɥɶɫɨɜ ɩɪɢ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ ɦɨɞ ɦɨɠɟɬ ɫɨɫɬɚɜɥɹɬɶ
-13
- 10
ɮɟɦɬɨɫɟɤɭɧɞ (100 ɮɫ)
ɫ ɢɥɢ ɢɧɚɱɟ – ɨɬ ɨɞɧɨɣ ɩɢɤɨɫɟɤɭɧɞɵ (1 ɩɫ) ɞɨ ɫɨɬɧɢ
1)
.
10
-12
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɹ ɦɨɞ ɥɚɡɟɪɚ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɩɨɥɭɱɚɬɶ
ɫɜɟɪɯɤɨɪɨɬɤɢɟ ɤɨɝɟɪɟɧɬɧɵɟ ɨɩɬɢɱɟɫɤɢɟ ɢɦɩɭɥɶɫɵ. ɋɥɟɞɭɟɬ
ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɫ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɦɟɬɨɞɨɜ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɣ ɨɩɬɢɤɢ ɜ
ɨɩɬɢɱɟɫɤɢɯ ɜɨɥɨɤɧɚɯ ɭɞɚɟɬɫɹ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨ ɭɤɨɪɨɬɢɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɨɬ
ɥɚɡɟɪɚ ɢɦɩɭɥɶɫɵ, ɞɨɜɟɞɹ ɢɯ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɞɨ
ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɞɟɫɹɬɤɨɜ
ɮɟɦɬɨɫɟɤɭɧɞ.
12.3. Ɇɟɬɨɞɵ ɨɛɟɫɩɟɱɟɧɢɹ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ ɦɨɞ
Ⱦɥɹ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ ɦɨɞ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɜɧɭɬɪɢɪɟɡɨɧɚɬɨɪɧɚɹ
ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɚɹ ɦɨɞɭɥɹɰɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɜɫɟɯ ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɦɨɞ ɥɚɡɟɪɚ ɫ
ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ ɛɢɟɧɢɣ (
ɜɚɠɟɧ; ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɚ ɤɚɤ ɚɦɩɥɢɬɭɞɧɚɹ, ɬɚɤ ɢ ɮɚɡɨɜɚɹ ɢɥɢ
ɱɚɫɬɨɬɧɚɹ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ.
). ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɢɞ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɧɟ ɫɬɨɥɶ
q
ɋɭɬɶ ɦɟɬɨɞɚ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ ɦɨɞ ɩɨɫɪɟɞɫɬɜɨɦ ɜɧɭɬɪɢɪɟɡɨɧɚɬɨɪɧɨɣ
ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ. Ⱦɨɩɭɫɬɢɦ, ɱɬɨ ɜɧɭɬɪɢ
ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɚ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɮɚɡɨɜɚɹ ɢɥɢ ɱɚɫɬɨɬɧɚɹ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɦɨɞ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜ ɱɚɫɬɨɬɧɨɦ ɫɩɟɤɬɪɟ ɝɟɧɟɪɢɪɭɟɦɨɝɨ ɩɨɥɹ
ɤɚɠɞɨɣ ɦɨɞɵ
ɜɨɡɧɢɤɚɸɬ ɛɨɤɨɜɵɟ ɱɚɫɬɨɬɵ, ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨ ɨɬɫɬɨɹɳɢɟ ɨɬ
ɱɚɫɬɨɬɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɦɨɞɵ ɧɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹɯ, ɤɪɚɬɧɵɯ ɱɚɫɬɨɬɟ
ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ (ɫɦ. ɪɢɫ. 12.5.ɚ). ȿɫɥɢ ɱɚɫɬɨɬɚ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɜ ɬɨɱɧɨɫɬɢ
1)
Ɍɟɪɦɢɧ ɮɟɦɬɨɫɟɤɭɧɞɚ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɨɬ ɥɚɬɢɧɫɤɨɝɨ ɫɥɨɜɚ " femten", ɱɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ
"ɩɹɬɧɚɞɰɚɬɶ", ɬ.ɨ. ɨɞɧɚ ɮɟɦɬɨɫɟɤɭɧɞɚ ɟɫɬɶ 10
87
-15
ɫ.
ɪɚɜɧɹɟɬɫɹ ɱɚɫɬɨɬɟ ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ ɛɢɟɧɢɣ, ɬɨ ɛɨɤɨɜɵɟ ɱɚɫɬɨɬɧɵɟ
Z
Z
Z
ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɵ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɬɨɱɧɨ ɜ ɬɟɯ ɬɨɱɤɚɯ ɫɩɟɤɬɪɚ, ɜ
ɤɨɬɨɪɵɯ ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɸɬɫɹ ɫɨɫɟɞɧɢɟ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɟ ɦɨɞɵ (ɪɢɫ. 12.5.ɛ). Ɍɚɤɢɦ
ɨɛɪɚɡɨɦ, ɱɚɫɬɶ ɷɧɟɪɝɢɢ ɨɞɧɨɣ ɦɨɞɵ ɩɨɫɪɟɞɫɬɜɨɦ ɷɬɢɯ ɛɨɤɨɜɵɯ
ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɩɟɪɟɞɚɟɬɫɹ ɫɨɫɟɞɧɢɦ ɦɨɞɚɦ ɢ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,
ɜɫɟ ɷɬɢ ɦɨɞɵ ɭɠɟ ɧɟɥɶɡɹ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɟ. ɂɧɚɱɟ ɝɨɜɨɪɹ,
ɜɧɭɬɪɢɪɟɡɨɧɚɬɨɪɧɚɹ ɦɨɞɭɥɹɰɢɹ
ɷɧɟɪɝɢɟɣ, ɱɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɧɚɥɢɱɢɟ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɦɨɞɚɦɢ (ɪɢɫ. 12.5.ɜ).
ɡɚɫɬɚɜɥɹɟɬ ɜɫɟ ɦɨɞɵ ɨɛɦɟɧɢɜɚɬɶɫɹ
a.
ɛ.
ɜ.
q-2 q-1 q q+1 q+2
Ɋɢɫ. 12.5.
ɋɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɦɨɞɚɦɢ ɩɨɫɪɟɞɫɬɜɨɦ ɜɧɭɬɪɢɪɟɡɨɧɚɬɨɪɧɨɣ ɮɚɡɨɜɨɣ ɢ ɢɥɢ
ɱɚɫɬɨɬɧɨɣ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ: ɚ) ɫɩɟɤɬɪ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɨɞɧɨɣ
ɦɨɞɵ, ɛ) ɫɜɹɡɶ ɨɞɧɨɣ
ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɵɯ ɛɨɤɨɜɵɯ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ
ɦɨɞ ɞɪɭɝ ɫ ɞɪɭɝɨɦ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɵɯ ɛɨɤɨɜɵɯ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ
ɂɡɜɟɫɬɧɵ ɞɜɚ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɦɟɬɨɞɚ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ ɦɨɞ ɩɨɫɪɟɞɫɬɜɨɦ
ɚɤɬɢɜɧɨɣ, ɥɢɛɨ ɩɚɫɫɢɜɧɨɣ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɨɞɧɨɝɨ ɢɥɢ
ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɥɚɡɟɪɚ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ ɛɢɟɧɢɣ. ȼ
ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɥɚɡɟɪɚ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɵ:
ɱɚɫɬɨɬɚ ɦɨɞ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɚ ɥɚɡɟɪɚ, ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɭɫɢɥɟɧɢɹ
ɚɤɬɢɜɧɨɣ ɫɪɟɞɵ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɚɤɬɢɜɧɵɣ ɦɟɬɨɞ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ ɦɨɞ. ɋ ɷɬɨɣ ɰɟɥɶɸ
ɜɧɭɬɪɢ ɨɩɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɚ ɥɚɡɟɪɚ ɦɟɠɞɭ ɚɤɬɢɜɧɨɣ ɫɪɟɞɨɣ ɢ ɨɞɧɢɦ
ɢɡ ɨɬɪɚɠɚɬɟɥɟɣ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɚ ɞɨɥɠɟɧ ɛɵɬɶ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧ
ɚɦɩɥɢɬɭɞɧɵɣ ɨɩɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɞɭɥɹɬɨɪ. ɉɪɢɧɰɢɩ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɬɚɤɨɝɨ
q-ɨɣ ɦɨɞɵ c ɛɨɤɨɜɵɦɢ ɦɨɞɚɦɢ ɛɥɚɝɨɞɚɪɹ ɧɚɥɢɱɢɸ
ɜɫɟɯ ɦɨɞ.
.
88
q-ɨɣ ɩɪɨɞɨɥɶɧɨɣ
q-ɨɣ ɦɨɞɵ, ɜ) ɫɜɹɡɶ ɜɫɟɯ
ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɶ,
ɮɚɡɨɜɵɣ ɢɥɢ
ɦɨɞɭɥɹɬɨɪɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɨɫɧɨɜɚɧ ɧɚ ɷɥɟɤɬɪɨɨɩɬɢɱɟɫɤɨɦ ɢɥɢ
'Z
'Z
'
Z
ɚɤɭɫɬɨɨɩɬɢɱɟɫɤɨɦ ɷɮɮɟɤɬɚɯ. ɇɚ ɪɢɫ. 12.6 ɩɪɢɜɟɞɟɧɚ ɫɯɟɦɚ ɥɚɡɟɪɚ ɫ
ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɟɣ ɦɨɞ ɩɨɫɪɟɞɫɬɜɨɦ ɮɚɡɨɜɨɝɨ ɦɨɞɭɥɹɬɨɪɚ ɫɜɟɬɚ, ɜ
ɤɨɬɨɪɨɦ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɷɥɟɤɬɪɨɨɩɬɢɱɟɫɤɢɣ ɤɪɢɫɬɚɥɥ ɫ ɦɟɬɚɥɥɢɱɟɫɤɢɦɢ
ɨɛɤɥɚɞɤɚɦɢ ɧɚ ɟɝɨ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɯ ɬɨɪɰɚɯ.
U(t)=U
sin
t
0
q
3
1
2
Ɋɢɫ. 12.6.
ɋɯɟɦɚ ɥɚɡɟɪɚ ɫ ɚɤɬɢɜɧɨɣ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɟɣ ɦɨɞ: 1. ɚɤɬɢɜɧɚɹ ɫɪɟɞɚ
ɥɚɡɟɪɚ, 2. ɮɚɡɨɜɵɣ ɦɨɞɭɥɹɬɨɪ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɷɥɟɤɬɪɨɨɩɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɷɮɮɟɤɬɚ,
3. ɝɟɧɟɪɚɬɨɪ
ɉɪɢ ɩɨɞɚɱɟ ɧɚ ɦɟɬɚɥɥɢɱɟɫɤɢɟ ɷɥɟɤɬɪɨɞɵ ɫɢɧɭɫɨɢɞɚɥɶɧɨɝɨ
ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɫɢɧɭɫɨɢɞɚɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ
.
q
ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ ɛɢɟɧɢɣ
ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɹ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ ɛɢɟɧɢɣ ɛɭɞɟɬ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬɶ
ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɚɹ ɦɨɞɭɥɹɰɢɹ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɩɪɟɥɨɦɥɟɧɢɹ ɤɪɢɫɬɚɥɥɚ.
ȼɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɷɬɨɝɨ ɮɚɡɚ ɫɜɟɬɨɜɨɣ ɜɨɥɧɵ, ɩɪɨɫɜɟɱɢɜɚɸɳɟɣ ɤɪɢɫɬɚɥɥ, ɧɚ
ɜɵɯɨɞɟ ɢɡ ɤɪɢɫɬɚɥɥɚ ɞɨɥɠɧɚ ɛɭɞɟɬ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢ ɢɡɦɟɧɹɬɶɫɹ ɜɨ
ɜɪɟɦɟɧɢ. ȼ ɤɨɧɟɱɧɨɦ ɢɬɨɝɟ ɷɬɨ ɩɪɢɜɟɞɟɬ ɤ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɱɚɫɬɨɬ ɜɫɟɯ
ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɦɨɞ.
Ɇɟɬɨɞ ɩɚɫɫɢɜɧɨɣ ɫɢɧɯɪɨɧɢɡɚɰɢɢ
ɦɨɞ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ
ɷɮɮɟɤɬɚ ɧɚɫɵɳɟɧɢɹ ɞɥɹ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɩɨɬɟɪɶ ɜ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɟ ɥɚɡɟɪɚ (ɢ,
ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ – ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ ɦɨɞ), ɥɢɛɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɭɫɢɥɟɧɢɹ
ɚɤɬɢɜɧɨɣ ɫɪɟɞɵ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɭɦɦɚɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɜɫɟɯ ɦɨɞ,
ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ ɜ ɥɚɡɟɪɟ.
Ⱦɥɹ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɩɚɫɫɢɜɧɨɣ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɞɨɛɪɨɬɧɨɫɬɢ ɝɟɧɟɪɢɪɭɸɳɢɯ
ɦɨɞ ɜɧɭɬɪɶ ɪɟɡɨɧɚɬɨɪɚ ɥɚɡɟɪɚ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɨɦɟɫɬɢɬɶ ɧɚɫɵɳɚɸɳɢɣɫɹ
ɩɨɝɥɨɬɢɬɟɥɶ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ, ɱɬɨɛɵ ɜɪɟɦɹ ɩɪɨɞɨɥɶɧɨɣ
ɪɟɥɚɤɫɚɰɢɢ
ɛɢɟɧɢɣ:
ȼ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɜɨɡɦɨɠɧɚ ɦɨɞɭɥɹɰɢɹ ɪɚɡɧɨɫɬɢ
ɧɚɫɟɥɟɧɧɨɫɬɟɣ ɜ ɚɤɬɢɜɧɨɣ ɫɪɟɞɟ ɥɚɡɟɪɚ (ɢɧɚɱɟ ɝɨɜɨɪɹ – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ
ɭ ɩɨɝɥɨɬɢɬɟɥɹ ɛɵɥɨ ɡɚɦɟɬɧɨ ɦɟɧɶɲɟ ɩɟɪɢɨɞɚ ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ
T1<1/
..
q
ɭɫɢɥɟɧɢɹ) ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɭɦɦɚɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɜɫɟɯ ɦɨɞ, ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ
ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɜɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ ɛɢɟɧɢɣ. ɉɪɢ
ɷɬɨɦ, ɬɚɤɠɟ ɤɚɤ ɢ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɩɨɝɥɨɬɢɬɟɥɹ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɞɥɹ
ɭɫɩɟɲɧɨɣ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɭɫɢɥɟɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɚɥɨɫɬɶ
89
ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɪɨɞɨɥɶɧɨɣ ɪɟɥɚɤɫɚɰɢɢ ɚɤɬɢɜɧɨɣ ɫɪɟɞɵ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ
ɩɟɪɢɨɞɨɦ ɦɟɠɦɨɞɨɜɵɯ ɛɢɟɧɢɣ.
ɋɩɢɫɨɤ ɥɢɬɟɪɚɬɭɪɵ
Ɉɫɧɨɜɧɚɹ
Ɋɟɭɬɨɜ Ⱥ.Ɍ. Ʉɭɪɫ ɥɟɤɰɢɣ «Ɏɢɡɢɤɚ ɥɚɡɟɪɨɜ» ɱɚɫɬɶ 1. "Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ
1.
ɚɤɬɢɜɧɵɯ ɫɪɟɞ ɥɚɡɟɪɨɜ". ɊɍȾɇ, 2006 ɝ., 55 ɫɬɪ.
2. Ɉ. Ɂɜɟɥɬɨ. "ɉɪɢɧɰɢɩɵ ɥɚɡɟɪɨɜ", Ɇ.,"Ʌɚɧɶ", 2008 ɝ., 719 ɫɬɪ.,
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Ɉɩɢɫɚɧɢɟ ɢ ɩɪɨɝɪɚɦɦɚ ɥɟɤɰɢɨɧɧɨɝɨ ɤɭɪɫɚ
«Ɏɢɡɢɤɚ ɥɚɡɟɪɨɜ»
Ʌɟɤɬɨɪ – ɞɨɰɟɧɬ, ɤ.ɮ.-ɦ.ɧ. Ɋɟɭɬɨɜ Ⱥɞɨɥɶɮ Ɍɢɦɨɮɟɟɜɢɱ.
ɐɟɥɶ ɤɭɪɫɚ - ɩɪɢɨɛɪɟɬɟɧɢɟ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦɢ ɡɧɚɧɢɣ ɩɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦ ɚɤɬɢɜɧɵɯ ɫɪɟɞ ɥɚɡɟɪɨɜ,
ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɡɧɚɧɢɣ ɞɥɹ ɢɡɭɱɟɧɢɹ ɮɢɡɢɤɢ ɪɚɛɨɬɵ ɥɚɡɟɪɨɜ, ɨɡɧɚɤɨɦɥɟɧɢɟ ɫ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɬɢɩɚɦɢ ɥɚɡɟɪɨɜ, ɫ ɢɯ ɤɨɧɫɬɪɭɤɬɢɜɧɵɦɢ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɹɦɢ ɢ ɫ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɹɦɢ
ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɥɚɡɟɪɨɜ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɢɫɬɨɱɧɢɤɨɜ ɤɨɝɟɪɟɧɬɧɨɝɨ, ɦɨɧɨɯɪɨɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢɡɥɭɱɟɧɢɹ.
ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɢ ɨɪɝɚɧɢɡɚɰɢɨɧɧɨ-
Ʌɟɤɰɢɨɧɧɵɣ ɤɭɪɫ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɱɟɬɵɪɟɯ ɱɚɫɬɟɣ:
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɚɤɬɢɜɧɵɯ ɫɪɟɞ ɥɚɡɟɪɨɜ.
1.
2.
Ɉɫɧɨɜɵ ɬɟɨɪɢɢ ɥɚɡɟɪɨɜ.
ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɤɭɪɫɚ
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