Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологические особенности задачного подхода в обучении математике. Монография
.pdf
А.Д. Нахман, Ю.В. Родионов
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ
ОСОБЕННОСТИ
ЗАДАЧНОГО ПОДХОДА
В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Монография
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2026
УДК 371.3
ББК 74.04
Н34
Авторы:
Нахман А.Д. — канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики
Тамбовского государственного технического университета;
Родионов Ю.В. — д-р техн. наук, проф.,
проф. кафедры механики и инженерной графики
Тамбовского государственного технического университета
Рецензенты:
Куликов Г.М. — д-р физ.-мат. наук, проф.,
зав. научно-исследовательской лабораторией
«Механика интеллектуальных материалов и конструкций»
Тамбовского государственного технического университета;
Монастырев П.В. — д-р техн. наук, проф.,
директор Института архитектуры, строительства и транспорта
Тамбовского государственного технического университета
Нахман, Александр Давидович.
Н34 Технологические особенности задачного подхода в обучении матема-
тике : монография / А.Д. Нахман, Ю.В. Родионов. — Москва : Ай Пи Ар
Медиа, 2026. — 100 с. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-4798-3
В монографии предлагается теоретическое исследование технологических особенностей задачного подхода в обучении математике. Представлена концепция редукции математических задач к задачам стандартных алгоритмически разрешимых классов. Построена модель поиска способа решения задачи и осуществления решения. Разработаны
методические материалы, отвечающие современным инновационнотехнологическим требованиям.
Монография адресована исследователям в области образовательных
инноваций, а также преподавателям математики.
Научное электронное издание
ISBN 978-5-4497-4798-3 © Нахман А.Д., Родионов Ю.В., 2026
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2026
Научное издание
Нахман Александр Давидович
Родионов Юрий Викторович
Редактор Н.Г. Шиндина
Технический редактор Т.П. Устьянцева
Корректор В.Д. Попова
Компьютерная верстка, обложка С.С. Сизиумова, фотобанк Freepik
Подписано к использованию 18.09.2025. Объем данных 7 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛОССАРИЙ ............................................................................................................... 5
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 7
ГЛАВА 1. ЗАДАЧНЫЙ ПОДХОД В КОНТЕКСТЕ СИСТЕМНО-
ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА ........................................................................ 10
1.1. Проблемное поле............................................................................................. 10
1.2. Задачный подход в контексте системно-деятельностного подхода .......... 11
1.3. Общие требования к системе задач в контексте задачного подхода......... 15
1.4. Этапы решения математической задачи ....................................................... 15
ГЛАВА 2. АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ........................................ 19
2.1. Элементы теории алгоритмов ........................................................................ 19
2.2. Проблема алгоритмической разрешимости ................................................. 26
2.3. О проблеме алгоритмической разрешимости диофантовых уравнений
первой степени ....................................................................................................... 28
2.4. Диофантовы уравнения высших степеней ................................................... 35
2.5. Эффективные и неэффективные решения для классов
алгоритмически разрешимых задач ..................................................................... 42
2.6. Эффективные решения алгебраических уравнений:
задачный материал ................................................................................................. 51
ГЛАВА 3. РЕДУКЦИЯ. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
АЛГОРИТМИЗАЦИИ И РЕДУЦИРОВАНИЯ ...................................................... 58
3.1. Базовые понятия нечеткой логики ................................................................ 58
3.2. Редукция. Моделирование процессов выбора алгоритма
и редуцирования в терминах нечеткой логики ................................................... 60
ГЛАВА 4. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ АЛГОРИТМИЗАЦИИ
И РЕДУЦИРОВАНИЯ НА ПРИМЕРЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ............................................................................................................ 67
4.1. Алгоритм решения дифференциальных уравнений
с разделяющимися переменными......................................................................... 68
4.2. Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений
первого порядка ..................................................................................................... 75
4.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ...................... 81
4.4. Моделирование движения в терминах второго закона Ньютона ............. 86
4.5. Уравнения, допускающие понижение порядка ........................................... 89
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................................... 98
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................................................... 99
5
ГЛОССАРИЙ
Настоящий глоссарий предназначен для первичного ознакомления с по-
нятийным полем данной работы. Дальнейшее рассмотрение и уточнение понятий содержится в текстах соответствующих глав.
Алгоритм — набор инструкций, описывающих порядок действий испол-
нителя для достижения некоторого результата.
Алгоритмизация — этап решения задачи, состоящей в подборе по ее
условию соответствующей последовательности действий.
Алгоритмическая разрешимость — возможность подобрать алгоритм
для решения каждой задачи из данного класса задач.
Алгоритм Эвклида — эффективный алгоритм нахождения наибольшего
общего делителя (НОД) пары целых чисел.
Анализ — метод исследования, характеризующийся выделением и изуче-
нием отдельных частей объектов исследования.
Ассоциированность алгоритмическая — наличие у задачи признаков
принадлежности некоторому классу алгоритмически разрешимых задач.
Ветвящийся алгоритм — алгоритм, в котором в зависимости от истин-
ности или ложности заданного условия выбирается один из нескольких возможных вариантов (путей) процесса исследования.
Вывод нечеткий логический — процесс получения нечетких заключений
на основе нечетких условий или предпосылок.
Высказывание нечеткое — высказывание , степень истинности которого
можно оценить числом из интервала [0, 1].
Диофантово уравнение — задача о нахождении целых корней многочле-
на с целыми коэффициентами.
Задачный подход (в узком смысле) — система учебных задач, решение
которых должно обеспечить овладение требуемыми знаниями и умениями.
Задача с параметрами — задача исследовательского характера
),( ахР
,
множество решений которой зависит от возможных значений параметра а.
Интерпретация ответа — его истолкование, перефразирование в дру-
гих терминах, прояснение его прикладного значения.
Квадратическая функция — функция вида
0,
2
acbxаху
.
Ключевая задача — задача, идея решения которой применяется при ре-
шении других задач данной темы.
6
Концепция развития математического образования — система взгля-
дов на базовые принципы, цели, задачи и основные направления развития математического образования в Российской Федерации.
Кордано формулы — формулы решения алгебраических уравнений тре-
тьей степени.
Нечеткое множество — множество, степень (уровень) принадлежности
элемента которому можно оценить числом из интервала [0, 1].
Редукция — логико-методологический прием сведения сложного к более
простому.
Рефлексия — способность к самооценке, анализ выполненной деятельности.
Синтез — метод научного исследования, противоположный анализу, со-
стоящий в соединении разнообразных явлений, вещей, качеств в единство, в
целое.
Система — совокупность взаимосвязанных элементов, образующих
определенную целостность, обладающую новыми интегративными свойствами.
Сходимость алгоритма — остановка его действия после конечного чис-
ла шагов.
Технология обучения — комплекс методов и средств обучения, направ-
ленный на гарантированное достижение учебной цели и отличающийся воспроизводимостью, устойчивостью результатов.
Федеральные государственные образовательные стандарты
(ФГОС) — совокупность требований, обязательных при реализации основных
образовательных программ начального, общего и профессионального образования.
Функция принадлежности — обобщение понятия характеристической
функции обычного множества; характеризует для каждого элемента степень
(уровнь) нечеткой его принадлежности множеству.
Цель — образ требуемого результата, определяющий отбор действий, ве-
дущих к его достижению.
Эффективное решение — решение задачи за наименьшее (в сравнении с
другими способами) количество шагов (операций) или (и) достижение результата в наиболее простой форме.
7
ВВЕДЕНИЕ
Задачный подход в изучении фундаментальных дисциплин — развивающееся направление современных исследований в области образовательной инноватики. Придя на смену формально-знаниевому подходу, он значительно
оживил образовательную деятельность и поспособствовал активному включению обучающегося в эту деятельность.
Задачный подход в первом приближении — есть обучение с помощью
решения задач. Ответ на вопрос: «Как именно обучать?» — следует искать в
соответствующих разработанных и разрабатываемых технологиях. Технология
обучения традиционно понимается как комплекс методов и средств, направленный на гарантированное достижение учебной цели и отличающийся воспроизводимостью, устойчивостью результатов.
Выделяя в составе технологии обучения именно задачный подход, мы в
данном исследовании концентрируем внимание на таких его особенностях, как
алгоритмизация и редуцирование. Возможность алгоритмизировать решения
задач — важнейшая характеристика технологии задачного подхода. Объединяющим фактором понятий технологии и алгоритмизации является свойство де-
терминированности. Детерминированность понимается как полная определенность и независимость результата от исполнителя в том случае, если он (исполнитель) строго выполняет обусловленные технологией (алгоритмом)
предписания.
Целью исследования является разработка путей и способов дидактической
реализации некоторых сторон задачного подхода в обучении математике.
Объект исследования — процесс обучения математике в условиях общего
и высшего профессионального образования.
Предмет исследования — дидактические средства работы с учебными и
практико-ориентированными задачами.
Гипотеза исследования — научно-методическое обеспечение задачного
подхода может быть успешно реализовано, если в обучении используются
определенные типы учебных и практико-ориентированных задач, которые могут быть редуцированы к задачам определенных алгоритмически разрешимых
классов.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается
в следующем:
- обогащена концепция задачного подхода в обучении математике;
- установлены связи задачного подхода с системно-деятельностным под-
ходом;
8
- предложена концепция редукции задач к задачам стандартных алгорит-
мически разрешимых классов;
- представлена модель поиска способа решения задачи и осуществления
решения.
Практическая значимость исследования определяется следующими факторами:
1) обучение математике посредством постановки и решения задач повы-
шает мотивацию учащихся к математической деятельности;
2) разработанное методическое сопровождение решений задач, по наше-
му мнению, находится в соответствии с современными инновационнотехнологическими требованиями (воспроизводимость, универсальность и т. п.);
3) в исследовании представлен значительный объем задачного материала,
в том числе адресованного учащимся для самостоятельного решения, что способствует практической реализации общих методов алгоритмизации и редуцирования, развитию математических способностей, приобретению навыков математического моделирования.
В первой главе монографии мы рассматриваем задачный подход в контексте системно-деятельностного подхода. В частности, исследуется вопрос о
наиболее важных с точки зрения принципов системности и деятельности аспек-
тах решения задач (задача как мотив приобретения нового знания, использование результатов решения на практике, обобщение результатов решений и др.).
Во второй главе излагаются современные представления об алгоритмах и
их свойствах и рассматривается проблема алгоритмической разрешимости математических задач. Основные аспекты данной проблемы подробно иллюстрируются на примере диофантовых уравнений. Соответствующий задачный материал может быть полезен как учащимся школ, так и студентам вузов.
В этой же главе вводится понятие эффективных решений для классов алгоритмически разрешимых задач (оно примыкает к понятию меры сложности
алгоритма). Данное понятие применяется к решению алгебраических уравнений
высших степеней. Попутно обсуждаются алгоритмы решений уравнений некоторых специальных классов, что также представляет интерес как для старшеклассников, так и для студентов.
В третьей главе предпринята попытка моделирования процессов алгоритмизации и редуцирования решений задач. Ввиду объективно существующих
ситуаций «недетерминированности выводов» (пути решения многих задач заранее определить невозможно), такое моделирование осуществляется в терминах нечеткой логики. В этой связи вводится и обсуждается понятие алгоритми-
9
ческой ассоциированности данной задачи с некоторыми классами алгоритмически разрешимых задач. В целом материал третьей главы вскрывает «внутренние механизмы» процессов решений.
Четвертая глава по сути служит приложением основных выводов и рекомендаций работы и иллюстрирует процессы алгоритмизации и редуцирования
решений в части некоторых типов дифференциальных уравнений. Соответствующий задачный материал во многом носит практико-ориентированный характер и будет полезен студентам инженерных и экономических направлений
подготовки.
Литературные источники [1]–[4] относятся к материалу первой главы и посвящены общим положениям системно-деятельностного и задачного подходов.
Основные подходы к понятию алгоритма (ключевого в данном исследовании) изложены в [5]. Вопросы алгоритмической разрешимости задач (см.:
главу 1) иллюстрируются примерами задач на делимость и диофантовыми
уравнениями; подробный задачный материал на эти темы можно найти в работах [6]–[10].
В работе [11] представлены основные понятия нечеткой логики, применяемые при моделировании процесса решения задач (глава 3).
Введение в теорию дифференциальных уравнений (глава 4) содержится в мно-
гочисленных литературных источниках; элементарный подход см., напр., в [12].
Основные понятия системного анализа и синтеза, на которые мы ссылаемся в заключении к монографии, можно найти в [13]–[16].
Практические рекомендации по применению алгоритмизации и редукции
решений математических задач представлены в работах [17]–[21].
10
ГЛАВА 1. ЗАДАЧНЫЙ ПОДХОД
В КОНТЕКСТЕ СИСТЕМНО-ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА
1.1. Проблемное поле
Федеральные образовательные стандарты высшего образования (ФГОС
ВО) [1] нового поколения нацеливают систему профессионального образования
на подготовку специалистов, обладающих фундаментальными знаниями, творчески применяющих их в профессиональной деятельности и на этой основе
принимающих необходимые решения. В этих условиях актуализируется задача
поиска дидактических средств и методов, повышающих мотивацию и интенсифицирующих обучение, в том числе обучение фундаментальным дисциплинам
и в первую очередь математике. Одним из главных направлений такого поиска
является научно-методическое обеспечение задачного подхода в обучении.
Задачный подход альтернативен формально-знаниевому подходу, в рамках которого учащийся получал необходимую совокупность знаний в готовом
виде, что не мотивировало к постановке и творческому поиску решения познавательных задач.
С утверждением в профессиональном образовании компетентностного
подхода (в общем образовании также формируются «элементы компетенций», к
которым относятся в первую очередь универсальные учебные действия), остаются не до конца решенными следующие проблемы:
- неэффективно осваиваются обобщенные способы решения различного
рода задач;
- сохраняется тенденция к экстенсификации, то есть решению больших
объемов задач без глубокого осмысливания опыта решений;
- недостаточно используются методы моделирования знаний.
Таким образом, мы сталкиваемся с противоречием, вызванным сохраняющимся наследием формально-знаниевого подхода и необходимостью реализации задачного подхода в контексте компетентностной парадигмы. Тем самым
вышеобозначенная необходимость научно-методического обеспечения задачного подхода вырастает в проблему данного исследования и определяет его
теоретическую значимость.
Задачный подход в обобщенном смысле понимается как совокупность це-
лей и способов организации деятельности обучающихся, реализуемая через методическую систему заданий. Общая теория задачного подхода представлена в
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]