Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологические особенности задачного подхода в обучении математике. Монография
.pdf
91
4.5.2. Уравнения второго порядка, явно не содержащее переменную y.
Такие уравнения могут быть записаны в следующем общем виде:
()y f x y
(5.2)
Понижение порядка достигается путем замены переменной
zy
или в
более подробной записи
( ) ( )z x y x
. Тогда вторая производная искомой функ-
ции может быть записана следующим образом:
dx
yd
y
или
dx
dz
y
.
В новых обозначениях уравнение (5.2) принимает вид
()
dz
f x z
dx
(5.3)
т. е. становится уравнением первого порядка. Находя его общее решение
1
()z z x C
, получаем еще одно уравнение первого порядка
1
()y z x C
(5.4)
представляющее собой задачу интегрирования. Остается найти общее решение (5.4):
12
()y y x C C
Итак, имеем следующий алгоритм понижения порядка в случае, когда
уравнение явно не содержит переменную
y
:
Шаг 1. Убедиться, что уравнение второго порядка в явном виде не содер-
жит переменную у и ввести замену
zy
.
Шаг 2. Найти общее
1
()z z x C
решение полученного уравнения первого
порядка (5.3).
Шаг 3. Вернуться к прежним обозначениям, записав (5.4), и найти общее
решение полученного уравнения.
Пример 1. Найти общее решение уравнения:
yxy
1tg
Последовательно выполняем шаги 1, 2, 3. Положим,
zy
; получаем
уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
92
tg
1
dz
xz
dx
Рассмотрим пока только случай значений
1y
; ясно, что тогда
0sin x
(в противном случае правая часть обратится в ноль, что противоречит только
что введенному oграничению). Разделяем переменные и производим интегрирование обеих частей получаемого уравнения
cos
1 sin
dz x dx
zx
cos (sin )
1 sin 1 sin
dz x dx dz d x
z x z x
ln 1 ln sin ln 1 sinz x C z C x
Заметим, что в последнем соотношении постоянная
0C
; теперь
1 z
и
sinCx
(имея равные модули) либо совпадают, либо отличаются знаком; этот
факт можно записать в виде
1
1 sinz C x
где постоянная
1
C
может быть как по-
ложительной, так и отрицательной (но ненулевой ввиду ограничения
1y
,
означающего, что
1z
). Итак,
1
sin 1y C x
следовательно,
12
cosy C x x C
—
искомое общее решение.
Остается рассмотреть случай значений
1y
. Это уравнение имеет об-
щее решение
y C x
Непосредственной подстановкой найденного для y вы-
ражения в исходное уравнение получаем, что и класс функций вида
y C x
служит решением данного уравнения. Впрочем, последний класс содержится в
ранее найденном общем решении (случай
1
0C
). Окончательно имеем
12
cosy C x x C
Пример 2. Найти общее решение уравнения
x
y
yyx
ln
.
93
Уравнение не содержит у. В соответствии с шагом 1, положим,
yz
, то-
гда
yz
и, следовательно,
x
z
zzx ln
или
x
z
x
z
z ln
.
Шаг 2: решаем полученное уравнение первого порядка. Обе части урав-
нения зависят от отношения переменных z и x. Следовательно, задача редуцируется к случаю однородного уравнения первого порядка (п. 3.3). Применяем
теперь соответствующий встроенный алгоритм.
Положим,
,
x
z
t
так что
txtz
. Значит,
tttxt ln
или
)1(ln
ttxt
.
Разделяем переменные:
x
dx
tt
dt
tt
dx
dt
x
)1(ln
),1(ln
.
Заметим, что
t
dt
td )1(ln
, поэтому
x
dx
t
td
1ln
)1(ln
,
откуда
1
lnln)1(lnln Cxt
или
1
ln)1(lnln xCt
;
1
1ln xCt
;
111
111
1
;;;1ln
xCxCxC
xeze
x
z
etxCt
.
Получено уравнение первого порядка (шаг 3):
1
1 xC
xey
. Ясно, что
dxxey
xC
1
1
.
Интегрируем по частям:
dxedvxu
xC
1
1,
, тогда
94
dxdu
,
1
1
1
1
xC
e
C
v
.
Имеем
2
1
2
1
1
1
11
1
Ce
C
e
C
x
y
xCxC
.
Замечание. При вычислении интегралов вида
)0(ln||ln CCu
u
du
раскрытие модулей (для определенности) было выполнено со знаком «+».
4.5.3. Уравнения второго порядка, явно не содержащее переменную х,
имеют вид
),( yyfy
.
Можно считать аргументом функций
y
и
y
переменную y. В этом слу-
чае понижение порядка осуществляется путем замены
)(ypy
. Тогда
dy
dp
py
и, следовательно,
),( pyf
dy
dp
p
.
Находя общее решение
),(
1
Cyp
, приходим к уравнению первого по-
рядка
),(
1
Cyy
. Теперь остается найти его общее решение.
Таким образом, реализуем следующий алгоритм:
Шаг 1. Убеждаемся, что уравнение второго порядка в явном виде не со-
держит переменную х, и вводим замену
)(ypy
.
Шаг 2. Используя соотношение
dy
dp
py
, записываем уравнение первого
порядка относительно
)( ypp
.
Шаг 3. Решаем полученное уравнение первого порядка.
95
Шаг 4. Получив общее решение
),(
1
Cyp
, переходим к уравнению
первого порядка
),(
1
Cyy
. Затем находим его общее решение.
Замечание. В случае задачи Коши
00
00
)(
)(
),(
yxy
yxy
yyfy
значение постоянной
1
C
(постоянной первого интегрирования) можно найти,
воспользовавшись уравнением
),(
1
Cyy
, подставив в него значения
0
y
(вме-
сто y) и
0
y
(вместо
y
), получаемые при
0
xx
.
Пример 1. Решить задачу Коши
9)0(
31)0(
09
2
y
y
yyy
.
На шаге 1 выясняем, что уравнение явно не содержит переменную х. По-
лагая
py
, получим
dy
dp
py
, и следовательно (шаг 2), уравнение принимает
вид
0
9
2
y
dy
dp
yp
. На шаге 3 разделяем переменные:
dy
y
dpp
3
9
, откуда
2
2
9
2
,9
1
2
2
3
C
y
p
dyydpp
, т.е.
1
2
2
9
C
y
y
.
Шаг 4: постоянную
1
C
ищем на этом этапе, используя при
0x
началь-
ные условия:
9)0(,
3
1
)0(
yy
. Имеем
08181;
9
1
9
9
11
2
CC
.
96
Значит, решаем уравнение
,
9
2
2
y
y
или
y
y
3
; при извлечении корня
для определенности выбран знак плюс; это оправдано тем, что в точке
0x
у и
y
имеют одинаковый знак. Разделяя переменные, имеем
2
2
6,3,3 Cxydxdyydxdyy
.
Найдем
2
C
из условия
:
3
1
)0( y
,0
9
1
2
C
т.е.
9
1
2
C
.
Следовательно, получаем ответ в виде
9
1
6
2
xy
.
Пример 2. Решить задачу Коши
5,0)0(
5,0)0(
2)(
2
y
y
yy
.
Уравнение явным образом не зависит ни от х, ни от у, поэтому можно вы-
бирать способы решения как в п. 5.3, так и в п. 5.2. Положим, например,
zy
(где
)(xzz
); тогда
dx
dz
y
и уравнение принимает вид
2
2z
dx
dz
, откуда:
xC
y
xC
zx
z
Cdx
z
dz
2
1
;
2
1
;2
1
;2
11
1
2
.
Условие
5,0)0(
y
дает возможность определить соответствующее значе-
ние
C
1
:
2;
0
1
2
1
1
1
C
C
теперь
)1(2
1
xy
. Следовательно,
97
2
)1(ln
2
1
2
C
xy
или
)1(ln2
2
xCy
.
Согласно условию
5,0)0( y
, получаем
1ln1
2
C
, т. е.
1
2
C
. Итак,
)1(ln12 xy
.
4.5.4. Упражнения.
1. Найти общие решения уравнений:
22
1) cos 3 siny x x
2
2) 0
xx
y y e e
2
3) 1x y xy
4)
1
2
x
y
y
.
2. Решить задачу Коши:
2
1) ( ) (0) 1 (0) 1y y y y
2) ln ln ( ) ( )xy x y y y e y e e
3) 6 1 0 5 ( 6) 0 ( 6) 8y x y y
4)
2
ln
x
x
x
y
y
,
.0)1(,4)1(
yy
3. Течение процесса
()y y t
описывается уравнением:
6sin 2 9cos 3 4y t t
скорость процесса в момент
0t
равна нулю, начальное состояние процесса
(0)y
задано:
(0) 18y
. Найти состояние процесса в момент
3 14t
. Вычисления
повести с точностью до
0 01
.
98
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как установлено выше (и продемонстрировано многочисленными приме-
рами), алгоритмизации и редукция — процедуры, представляющие основу решения математической задачи. Вообще говоря, категория «решения задачи»
восходит к понятийному полю теории систем. Действительно, процесс решения — есть интеграция некоторых фактов и связывающих их процедур ([13]–
[16]). Анализ задачи (в ситуации, когда система еще должна быть выстроена),
процедуры отыскания адекватных алгоритмов и редукций, а затем синтез (собственно выстраивание системы) — это своеобразная интерпретация системного
подхода.
Предложенная нами (в первой главе) упорядоченная совокупность этапов
решения математической задачи альтернативна по форме, но эквивалентна по существу декомпозиции процедуры принятия решения в общем случае слабо структурированных и неструктурированных проблем [16]. В самом деле, на этапе осознания условия задачи предполагается, в частности, формулировка проблемной
ситуации, определение целей и критериев их достижения; на этапе анализа осуществляется поиск оптимального (допустимого) варианта решения (алгоритма), на
этапе редукции — подготовка решения к реализации; на этапе синтеза — утверждение решения и управление ходом его реализации; проверка эффективности
решения. Этапы формирования результата (ответа), интерпретации и рефлексии
предполагают, в частности, проверку эффективности решения.
Наконец, подчеркнем, что возникновение эмерджентных свойств описываемой системы, то есть возникновение (в результате решения задачи) нового
для учащегося знания, есть совокупный результат интегративной процедуры
анализ — синтез. Практические рекомендации по применению системного анализа и синтеза (и в частности, по применению алгоритмизации и редукции решений математических задач) представлены в работах [17]–[21].
99
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Федеральные государственные образовательные стандарты [Электрон-
ный ресурс]. — Режим доступа: https://fgos.ru/ (дата обращения: 12.07.2018).
2. Асмолов, А. Г. Системно-деятельностный подход к разработке стандар-
тов нового поколения // Педагогика. — 2009. — № 4. — С. 18–22.
3. Нахман, А. Д. Задачный подход как технологическая основа процесса
обучения математике // Международный журнал экспериментального образования. — 2018. — № 2. — С. 34–39. — Режим доступа: URL:
http://expeducation.ru/ru/article/view?id=11793 (дата обращения: 19.06.2018).
4. Гузеев, В. В. Методы и организационные формы обучения. — М.:
Народное образование, 2001. — 127 с.
5. Игошин, В. И. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. по-
собие для студ. высш. учеб. заведений. — М.: «Академия», 2008. — 448 с.
6. Гельфонд, А. О. Решение уравнений в целых числах. Популярные лек-
ции по математике. — М.: «Гостехиздат», 1957. — 66 с.
7. Корянов, А. Г., Прокофьев, А. А. Математика. Задачи на целые числа. —
Ростов-на-Дону: «Легион» — 252 с.
8. Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: «Наука»,
1972. — 68 с.
9. Никифоровский, В. А. В мире уравнений. — М.: «Наука», 1987. — 176 с.
10. Образовательный портал «Решу ЕГЭ» [Электронный ресурс] / Режим
доступа: https://ege.sdamgia.ru (дата обращения 12.07.2018).
11. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 165 с.
12. Нахман, А. Д., Иванова, И. Ю. Преподавание математики в условиях
реализации федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования: учебно-методический комплект по элементам математического анализа. — Тамбов: ТОГОАУ ДПО «Институт повышения квалификации работников образования», 2012. — 115 с.
13. Лебедев, С. А. Философия науки: Словарь основных терминов. — М.:
Академический Проект, 2004. — 320 с.
14. Волкова, В. И., Денисов, А. А. Основы теории систем и системного
анализа. — СПб.: Изд. СПбГТУ, 1997. — 510 с.
15. Энгельгардт, В. А. Интегратизм — путь от простого к сложному в познании явлений жизни. В кн.: Материалы к 2-му Всесоюз. совещ. по филос.
вопр. соврем. естествознания. — М.: Ин-т философии АН СССР, 1970. — 48 с.
100
16. Дрогобыцкий, И. Н. Системный анализ в экономике: учебник /
И. Н. Дрогобыцкий. — 2-е изд., перераб. и доп. — M., 2011. — 423 с.
17. Нахман, А. Д, Иванова, И. Ю., Селянская, Т. В. Математическая подго-
товка в системе «школа — вуз» в условиях реализации Концепции развития
российского математического образования // Вопросы современной науки и
практики. Университет им. В. И. Вернадского. — 2014. — № 3. — С. 89–96.
18. Нахман, А. Д., Иванова, И. Ю., Селянская, Т. В. Формирование компетенции в области математического моделирования в системе «школа — вуз» //
Вопросы современной науки и практики. Университет им. В. И. Вернадского. — 2016. – № 3. — С. 104–111.
19. Родионов, Ю. В., Гливенкова, О. А., Нахман, А. Д. Логико-алгоритмический компонент математической компетенции обучающихся // Вопросы современной науки и практики. Университет имени В. И. Вернадского. —
2017. — № 1. — С. 148–157.
20. Родионов, Ю. В., Нахман, А. Д. Формирование метапредметных уме-
ний обучающихся средствами математических моделей // Вопросы современной науки и практики. Университет имени В. И. Вернадского. — 2018. —
№ 1. — С. 156–164.
21. Карлова М. Ю., Фомина Т. П. Из опыта преподавания курса «Теория
вероятностей и математическая статистика» для будущих учителей математики // Вопросы современной науки и практики. Университет имени В. И. Вернадского. — 2018. — № 2. — С. 155–162.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]