Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологические особенности задачного подхода в обучении математике. Монография
.pdf
41
25
625
25
n
m
.
При этом т должно быть натуральным числом,
nm
, т. е.
0
25
25
n
n
,
откуда
25n
и в то же время
n
n
n
25
25
,
откуда
.50n
Таким образом, натуральные значения п,
5025 n
, следует подбирать
так, чтобы соответствующие значения т, а вместе с ними и дробь
25
625
n
были натуральными числами. Следовательно, число
25п
должно быть дели-
телем числа 625, а это возможно при
1) n − 25 = 1, откуда
26п
;
2) n − 25 = 5, откуда
30п
;
3) n − 25 = 25, откуда
50п
;
4) n − 25 = 125, откуда
150п
;
5) n − 25 =625, откуда
650п
.
С учетом условия
5025 n
получаем два решения:
m = 650, n = 26 и
m = 150, n = 30.
2.4.4. Задачный материал.
1. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод протяженностью 150 м. Имеются трубы 13 и 9 м длиной. Сколько требуется труб,
чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода?
2. Надо разлить 1 500 т нефти в цистерны емкостью в 50 и 80 т так, чтобы
все использованные цистерны были полными. Сколько цистерн той или другой
емкости потребуется?
42
3. По условиям трудового договора, официанту за каждый час работы
платят 10 руб и высчитывают 2 руб. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 руб. Определите, сколько часов он работал и
сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.
4. Школа получила 1 млн. руб. на приобретение учебного оборудования
(на всю сумму без остатка). Администрации школы предложили закупить три
вида оборудования стоимостью 3 000, 8 000 и 12 000 руб. за единицу. Сколькими способами школа может закупить это оборудование? Выбрать один из способов.
5. На складе имеются гвозди, упакованные в ящики по 16, 17 и 40 кг. Может ли кладовщик отпустить 140 кг гвоздей, не вскрывая ни одного ящика?
В заключение параграфа отметим, что диофантовы уравнения интересны
не только с чисто теоретической точки зрения. С помощью диофантовых уравнений могут быть смоделированы некоторые задачи физики, астрономии, экономики, биологии (генетики). Диофантовы уравнения тесно связаны с содержанием вузовского курса алгебры и теории чисел. Свой вклад в развитие их теории внесли П. Ферма, Л. Эйлер, Ж. Л. Лагранж, К. Ф. Гаусс, П. Л. Чебышев и
другие.
2.5. Эффективные и неэффективные решения
для классов алгоритмически разрешимых задач
Как отмечалось выше, алгоритмическая неразрешимость означает лишь
отсутствие единого способа для решения всех единичных задач данной бесконечной серии, в то время как могут быть решены своим индивидуальным способом не только отдельные задачи серии, но и целые подклассы задач этого
класса. Поэтому, если проблема неразрешима в общем случае, нужно искать ее
разрешимые частные случаи.
Проиллюстрируем сказанное на примере класса алгебраических уравне-
ний п-ой степени (
1п
):
0...
01
axaxa
n
n
;
ограничимся случаем действительных коэффициентов уравнения
0
a
,
1
a
,…,
0;
пп
aa
, но решения (в радикалах) будем искать, вообще говоря, в поле ком-
плексных чисел.
43
2.5.1. Частные случаи классов линейных и квадратных уравнений относят-
ся к алгоритмически разрешимым. В XVI веке была (Дж. Кардано) установлена
алгоритмическая разрешимость уравнений третьей степени. Речь идет о так
называемых формулах Кардано, а по сути — об алгоритме решения уравнения
0
23
dcxbxах
.
Можно считать
1а
, иначе обе части уравнения можно поделить на а.
Основные шаги алгоритма будут следующими:
1) Сведение уравнения к трехчленному:
0
3
qpyy
путем замены переменных:
3
b
yx
,
где
327
2
,
3
33
bcb
dq
b
cp
.
2) Поиск решения трехчленного уравнения в виде:
z
p
zy
3
,
так что уравнение становится квадратным относительно
3
z
:
.0
27
3
36
p
qzz
В результате приходим к формулам:
3
3
2
3
2
q
рq
y
44
или (что тоже самое)
3
3
2
3
2
q
рq
y
.
В итоге получаем:
3
2
3
2
3
3
b
q
рq
x
,
где
274
32
pq
— дискриминант кубического уравнения.
Замечание. Двузначность квадратного корня в поле комплексных чисел
учтена различными знаками перед
в записях двух (равнозначных) результа-
тов для у; выбрав одну из предложенных форм записи, ставим соответствующий (уже определенный) знак перед
. Многозначность (вообще говоря, три
комплексных значения) корня кубического следует учитывать в ответе. Здесь
возможно следующее:
а) наличие трех действительных различных корней кубического уравнения;
б) наличие трех действительных корней, среди которых один — двукратный;
в) трехкратный действительный корень;
г) два комплексно сопряженных корня и один действительный корень.
2.5.2. Обращаясь к истории вопроса, отметим, что дальнейшие поиски алгоритмов решения алгебраических уравнений высших степеней в общем случае
ни к чему не привели. Исключение составили уравнения четвертой степени.
Здесь имеются так называемые формулы Л. Феррари. Эти формулы получаются
на основе алгоритма построения по уравнению четвертой степени ассоциированного с ним специального кубического уравнения и уже с использованием
его корней решения двух квадратных уравнений.
Для уравнений пятой и более высоких степеней были получены результа-
ты в случаях некоторых специальных классов. В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что в общем случае нельзя вывести формулы для решения
уравнений пятой степени и выше.
45
2.5.3. Следующий пример дает повод для обсуждения эффективных и
неэффективных путей решения задач.
Пример 1. Решить уравнение
063 xx
.
Если следовать формулам Кардано, то при
6,1,0 dcb
получим
6
327
2
,1
3
33
bcb
dq
b
cp
и дискриминант
27
242
,
27
1
9
274
32
pq
,
откуда
3
2
3
2
3
3
b
q
рq
x
,
то есть
3
3
27
242
33
1
27
242
3
x
.
Дальнейшее решение связано с извлечением кубического корня; напом-
ним, что для комплексного числа
)sin(cos
irz
, представленного в триго-
нометрической форме, значения корня п-ой степени (
,...3,2п
) определяются в
виде
1,...,1,0),
2
sin
2
(cos
nk
n
k
i
n
k
rw
n
k
;
при этом
n
r
следует понимать как арифметическое значение корня.
46
Таким образом, предстоит еще извлечение корней кубических (в поле
комплексных чисел), в силу чего возникает вопрос об эффективности метода
для данного конкретного уравнения.
В то же время уравнение
06
3
xx
может быть записано в виде
0)2()8(
3
xx
или
0)2()42)(2(
2
xxxx
,
так что
0)32)(2(
2
xxx
,
откуда
21x
,
тогда как уравнение
032
2
xx
имеет корни
21
3,2
ix
.
Итак, предложенный элементарный путь разложения многочлена на мно-
жители оказался более эффективным в сравнении с алгоритмом Кардано.
Уточним последнее понятие. Способ решения задачи (алгоритм) назовем
эффективным, если:
- он позволят получить решение задачи за наименьшее (в сравнении с
другими способами) количество шагов (операций);
или (и)
- этим способом (посредством этого алгоритма) достигается в наиболее
простой форме результат, дающий ответ непосредственно на вопрос задачи.
47
При выборе одного из нескольких возможных алгоритмов следует обра-
щаться к тому, который обеспечивает эффективное решение. Довольно часто
алгоритм решения задач широкого класса приводит к неэффективному решению, тогда как частный алгоритм (алгоритм, обслуживающий более узкий
класс задач) или специальный прием обеспечивает эффективное решение.
В связи с формулами Кардано приведем еще один пример: решить урав-
нение
023
3
xx
. Один корень уравнения легко угадывается:
.1x
Запишем
тогда уравнение в виде
0)1(2
3
xxx
или
0)1(2)1(
2
xxx
,
откуда
0)2)1()(1( xxx
,
так что
0)2)(1(
2
xxx
.
Теперь
2,1,1
321
xxx
.
Если же воспользоваться формулами Кардано при
2,3,0 dcb
, то
получим
2,3 qp
и дискриминант
0
27
)3(
4
2
32
,
так что
3
3
3
3
13
3
1
3
2
3
2
b
q
рq
x
или
3
3
1
1
1х
.
48
Поскольку
)sin(cos11
i
, то имеем следующие значения кубическо-
го корня:
.2,1,0),
3
2
sin
3
2
(cos1
3
k
k
i
k
w
k
Получаем соответственно значениям k:
)31(
2
1
,
3
sin
3
cos
00
iwiw
;
,sincos
1
iw
или
1
1
w
;
,
3
5
sin
3
5
cos
2
iw
так что
)31(
2
1
2
iw
.
Записав
2,1,0,
1
k
w
wх
k
kk
,
имеем
31
2
)31(
2
1
0
i
iх
.
Преобразуем
0
х
к виду
)31)(31(
)31(2
)31(
2
1
0
ii
i
iх
или
)31(
2
1
)31(
2
1
0
iiх
,
так что
10х
.
49
Далее
.2;
1
1
1
11
хх
Наконец,
31
2
)31(
2
1
2
i
iх
или
)31)(31(
)31(2
)31(
2
1
2
ii
i
iх
,
то есть
)31(
2
1
)31(
2
1
2
iiх
,
откуда
1
2
х
.
Таким образом, по формулам Кардано получены те же, что и прежде, зна-
чения корней уравнения (отличие лишь в их нумерации). Мы видим, что соответствующий алгоритм Кардано содержит значительно большее число операций (а также значительно больший объем опорной информации), чем вышеприведенный элементарный алгоритм разложения на множители. Следовательно, в
данной задаче решение по формулам Кардано оказывается неэффективным.
2.5.4. Пример другого характера — алгоритм вычисления площади
треугольника по формуле Герона. Так, треугольник со сторонами
34,3,1 cbа
имеет полупериметр, равный
2
3431
p
,
и если следовать соответствующему алгоритму (формуле), то его площадь
50
))()(( cpbpappS
будет равной
)3431()3431)(3413)(3431(
4
1
S
,
то есть получаем ответ в «непрозрачном» (неупрощенном) виде.
В то же время на основании теоремы косинусов
cos2
222
abbaс
,
где
— угол между a и b.
Поэтому
cos323134
,
так что
2
1
cos
,
откуда
о
60
.
Теперь
sin
2
1
abS
,
то есть
o
S 60sin3
2
1
или
4
3
S
.
Таким образом, предложенный способ (в отличие от универсального ал-
горитма Герона) является эффективным.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]