Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологические особенности задачного подхода в обучении математике. Монография
.pdf
71
Шаг 3: разделение переменных, то есть:
22
22
cos cos
y
x
dy dx
Шаг 4. Выполняем интегрирование обеих частей:
22
22
cos cos
y
x
dy dx
откуда получаем общее решение
C
xy
2
tg2
2
tg2
.
Шаг 5. Согласно начальному условию, при
2
x
значение
2
y
а тогда
22C
или
0C
, так что решение задачи Коши имеет вид:
2
tg
2
tg
xy
.
Преобразуем тангенсы к отношениям синусов и косинусов; тогда
sin cos sin cos 0
2 2 2 2
y x x y
или
,0
2
sin
yx
откуда
2 0 1 2x y k k
Заметим, что полученный результат справедлив на области определения
уравнения с разделенными переменными, т. е. когда исключены значения
,...2,1,0,;2,2 mnmynx
Пример 2. Найти все решения уравнения
2 cos 3 2sin 0y xdx xdy
72
Решение. Уравнение имеет вид (1.3), поэтому приступаем к разделению
переменных, выполняя шаги 2–6.
Случай 1. Рассмотрим значения
0y
; очевидно, что
3 2 0sin x
при
всех x (в противном случае получили бы
sin 1 5x
что невозможно). Записав
уравнение в виде
3 2sin 2 cosxdy y xdx
мы сможем тогда поделить обе его части на
3 2sinxy
с тем чтобы собрать в
левой части все выражения с y, а в правой — с x. Будем иметь уравнение с
разделенными переменными
cos
2
3 2sin
dy x
dx
yx
так что можно перейти к интегралам:
cos
2
3 2sin
dy x
dx
yx
Вычислим каждый из интегралов:
1 2 1 2
11
22
dy
y dy y C y C
y
в результате замены переменных
3 2sintx
получим
2cosdt xdx
и
22
2cos
2 2 3 2sin
3 2sin
x dx dt
t C x C
xt
здесь
1
C
и
2
C
— произвольные постоянные интегрирования. Значит,
2 2 3 2sin 2y x C
(разность постоянных
21
CC
обозначена через 2C), откуда
2
( 3 2sin )y C x
—
искомое общее решение.
73
Случай 2. В случае
0y
имеем
0y
. Постоянная функция
0y
является тогда решением уравнения; это проверяется непосредственной подстановкой, если учесть, что
0dy
для постоянной функции
()y y x
.
Ответ:
2
( 3 2sin ) 0y C x y
.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
( )( )x y k M y N y
где
1 0 0kN
— постоянные величины.
Решение. Легко проверить (путем подстановки в уравнение), что
yN
—
одно из решений; точно также
My
— его решение, то есть уже найдены
особые решения. Для поиска общего решения ограничимся рассмотрением значений
0x
,
M y N
. Запишем уравнение следующим образом:
( )( )
( )( )
dy dy
x k M y N y kx dx
dx M y N y
Прежде, чем перейти к интегрированию, выполним преобразование дроби, содержащейся в левой части, к сумме дробей:
1
( )( ) ( )( )( )
M y N y
M y N y M N M y N y
1
( )( ) ( )( )
M y N y
M N M y N y M y N y
1 1 1
M N N y M y
Теперь
1 1 1
dy kx dx
M N N y M y
или
1
1
( ln ln ) ln
1
k
N y M y x C
MN
74
Выполним преобразование логарифмов:
1
()
ln
1
M y k M N
Cx
Ny
при рассматриваемых
M y N
имеем тогда общее решение
1
()
ln
1
M y k M N
Cx
Ny
В частности, при
00M
имеем:
kNx
y
Ce
Ny
откуда
kNx
kNx
Ne
y
Ce
или, поделив на
kNx
e
числитель и знаменатель дроби,
kNx
Ce
N
y
1
.
4.1.6. Упражнения.
1. Найти общие решения следующих дифференциальных уравнений:
1)
x
e
y
y
2
2) 2 3y xy x y
22
3) 4 2 4y x y
4) ( 1) ( 2)( 1) 0x ydx x y dy
5) 2y x y
2. Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих за-
данным начальным условиям:
23
1) cos 2sin ( )
y
y x y
2) 2 (0) 0
xy
y e y
22
3) 4 4 ( 1) 1y x y y y
75
2
4) (8) 2
7
y
y y e
x
5) (1 ) (0) 1
xx
y e ye y
3. Тело массой
05m
кг сброшено с высоты с начальной скоростью 2
м/с. Сопротивление воздушной среды пропорционально скорости тела
()v v t
с
коэффициентом пропорциональности
1k
. Определить скорость тела через 3
секунды.
Указание. Результирующая сила (вычисляемая по второму закону Ньюто-
на) равна разности между силой тяжести и силой сопротивления воздуха.
4. Найти уравнение линии, проходящей через точку
1
2
(4 )
, для которой от-
резок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в
точке пересечения с осью ординат.
4.2. Алгоритм решения однородных
дифференциальных уравнений первого порядка
4.2.1. Общий вид однородного уравнения. Изучим случай, когда правая
часть уравнения
),( yxfy
зависит только от отношения аргументов, т. е.
х
у
. Другими словами, запишем уравнение в виде
y
yg
x
(2.1)
где
()g g t
— некоторая функция одного переменного t, а в качестве значе-
ний t выбрано
х
у
. Полученное уравнение (2.1) называется однородным диффе-
ренциальным уравнения первого поpядка.
К виду (2.1) могут быть приведены и другие задачи. Так, речь может идти
об уравнениях вида
()
()
n
n
P x y
y
Q x y
(2.2)
где
()
n
P x y
и
()
n
Q x y
— так называемые однородные многочлены от двух
переменных одной и той степени n, т. е. алгебраические суммы одночленов
()
kl
x y k l n
степени n. Преобразовать (2.2) к случаю (2.1) можно путем одно-
76
временного деления каждого члена в числителе и знаменателе дробина
n
x
.
Примером служит уравнение вида:
(2 ) 2x y y y
(2.3)
которое приводится указанным способом к виду (2.1):
yx
y
y
2
2
;
x
y
x
y
y
2
2
.
4.2.2. Однородное уравнение может быть редуцировано к уравнению с
разделяющимися переменными путем замены переменных
x
y
t
в (2.1). Дей-
ствительно, в этом случае
y tx
, а тогда
y x t t x
или в иных обозначениях
dt
y t x
dx
Следовательно, (2.1) принимает вид
()
dt
t g t
dx
или
()
dt
g t t
dx
а теперь при
ttg )(
возможно разделение переменных путем умножения обеих
частей на dx и деления на
()g t t
:
()
dt
dx
g t t
Проинтегрировав обе части полученного равенства и подставив затем
x
y
t
, получаем общее решение (2.1).
Случай
()g t t
соответствует следующему виду (2.1):
y
y
x
77
Очевидно, что здесь переменные разделяются непосредственно:
x
dx
y
dy
.
Далее
x
dx
y
dy
и
Cxy ln||ln||ln
,
откуда
|||| xCy
.
4.2.3. Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения
первого порядка.
Шаг 1. Проверить, имеет ли место признак однородности уравнения, то
есть зависимость обеих частей уравнения лишь от
x
y
.
Шаг 2. Обозначить
x
y
t
и производную
y
записать в виде
dt
y t x
dx
Шаг 3. В уравнении, записанном теперь в терминах t и x, выполнить
разделение переменных.
Шаг 4. Произвести интегрирование обеих частей уравнения.
Шаг 5. Вернуться к переменным y и x, подставив
x
y
t
в общее решение.
4.2.4. Примеры.
1. Найти общее решение уравнения (2.3).
Решение.
Шаг 1. Уравнение — однородное первого порядка, в чем мы убедились
выше, записав его в виде
x
y
x
y
y
2
2
.
Шаг 2. Пусть
x
y
t
, тогда
dt
y t x
dx
Уравнение примет вид
2
2
dt t
tx
dx t
78
Шаг 3. Выполняем разделение переменных:
2
2
(2 )
2
dt t t dt dx
x
dx t t x
Шаги 4–5. Интегрируем обе части:
2
(2 )t dt dx
tx
или
2
2
dt dx
t dt
tx
откуда
2 2 2
ln ln ln ln ln
tx y x
t C x
t C t C y
а значит, общее решение может быть записано в виде
.||
2
y
x
Cey
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,0) и обладающей
тем свойством, что величина отрезка, отсекаемого касательной на оси ординат,
равна расстоянию от точки касания до начала координат.
Решение. Пусть кривая имеет уравнение
()y y x
и
0
x
— точка касания.
Величина l отрезка, отсекаемого касательной на оси ординат, может быть
найдена из уравнения касательной
0 0 0
( ) ( )( )y y x y x x x
в котором достаточно положить
0x
:
0 0 0
( ) ( )l y x x y x
По условию задачи, эта величина (с точностью до знака) равна расстоя-
нию от точки
00
( ( ))x y x
до начала координат, т. е. числу
22
00
()x y x
; будем (для
определенности) считать l неотрицательной величиной. Ограничимся рассмот-
79
рениeм случая, когда точка касания
00
( ( ))x y x
расположена в малой окрестности
данной точки (1,0), так что, в частности,
0
0x
. Опуская в дальнейших записях
индексы и аргумент искомой функции
()y y x
, приходим к дифференциально-
му уравнению
22
y xy x y
Если поделить обе его части на x (мы уже отмечали, что рассматриваем
0x
), то получим однородное уравнение первого порядка
2
1
yy
y
xx
Таким образом, выполнен шаг 1 вышеприведенного алгоритма. Выполня-
ем дальнейшие шаги:
y dt
t y t x
x dx
а тогда
2
1
dt
t t x t
dx
.
В результате разделения переменных и интегрирования последовательно
получаем
22
11
dt dx dt dx
xx
tt
т. е.
2
ln 1 lnt t C x
Если заметить, что
22
10t t t t t t
то при
0x
можно опустить
знак модуля в обеих частях полученного равенства:
80
2
ln 1 ln
yy
Cx
xx
Таким образом, найдено общее решение однородного дифференциально-
го уравнения.
Далее искомая кривая проходит через точку (1,0), так что имеем началь-
ное условие:
0y
при
1x
. Подставив эти значения х и у в общее решение, по-
лучаем
0C
, и, следовательно,
2
1
1
yy
x x x
Отсюда
22
1
1
yy
xx
и, закончив преобразования, приходим к уравнению искомой кривой
2
1
2
x
y
4.2.5. Упражнения.
1. Найти общее решение каждого из следующих уравнений:
3 2 3
1) 4x y x y y
3
2) 3 5
yy
y tg
xx
3) ( )y xy dx xdy
2. Решить задачу Коши:
2
1) 0 ( 1) 1
x
xy y y
y
;
61
2) 2
2
xy
yy
x
.
3. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой
касательной, равен абсциссе точки касания.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]