Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологические особенности задачного подхода в обучении математике. Монография
.pdf
81
4.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Выше отмечался такой важный аспект задачного подхода, как использо-
вание практико-ориентированных задач. В этой связи начнем рассмотрение ли-
нейных дифференциальных уравнений с моделирования процесса изменения
температуры некоторого тела.
4.3.1. Задача о нагревании (остывании) тела.
Рассмотрим следующую задачу: определить температуру
()y y t
тела в
каждый момент времени t, если скорость нагревания (остывания) тела пропорциональна разности температур
()h h t
окружающей среды и
()y y t
тела;
функцию
()h h t
, коэффициент k пропорциональности (называемый также ко-
эффициентом теплообмена) считать известными.
Математической моделью процесса нагревания (остывания) служит, оче-
видно, дифференциальное уравнение вида
( ( ) ( ))y k h t y t
. (3.1)
В частном случае
()h t h const
имеем уравнение с разделяющимися пе-
ременными. Ограничимся пока рассмотрением этого случая. Для каждого значения t такого, что
()y t h
(т. е. когда еще температура тела не сравнялась с
температурой среды), возможно разделение переменных:
()
dy dy dy
k h y kdt k dt
dt h y h y
откуда в результате интегрирования последовательно получаем
ln ln ln
kt
yh
y h kt C kt y h Ce
C
С помощью найденного общего решения имеем полное описание процес-
са. Например, если начальная температура тела равнялась
95
o
, температура воз-
духа составляет
25
o
и за 10 минут тело охладилось до
60
o
, то имеем
25 (0) 95 (10) 60
kt
y Ce y y
откуда
0 10
95 25 60 25
k
Ce Ce
82
так что
70C
и
11
10 2
lnk
Подставляя найденные значения в уравнение, опи-
сывающее процесс охлаждения, окончательно имеем
01
25 70 0 5
t
y
4.3.2. Линейное дифференциальное уравнение в общем виде.
Уравнение (3.1) относится к классу дифференциальных уравнений (пер-
вого порядка) вида
( ) ( )y p x y g x
(3.2)
называемых линейными; функции
и
предполагаются заданными и не-
прерывными на некотором отрезке. Изучим сначала случай, когда
()p x p
—
постоянная величина.
4.3.3. Однородное линейное дифференциальное уравнение по определе-
нию есть уравнение вида
0y py
(3.3)
представляющее собою частный случай (3.2) при
( ) 0gx
. Как и уравнение бо-
лее общего вида
y py q q const
оно легко решается путем разделения переменных. Однако мы поступим несколько иначе: подберем какое-либо ненулевое решение этого уравнения среди
функций вида
kx
e
,
.constk
Наводящим соображением служит следующий
факт: производная каждой такой функции отличается от самой
kx
e
постоянным
коэффициентом k; его мы и постараемся подобрать так, чтобы
y
и py разли-
чались лишь знаком.
Функция
kx
ey
0
будет являться решением (3.3) тогда и только тогда, когда
0)(
kxkx
pee
т.е.
0
kxkx
peke
или
0)( pke
kx
.
Итак, выбор параметра k определяется условием
0kp
, и тогда реше-
нием однородного линейного дифференциального уравнения является
pxey
0
.
83
Заметим, что уравнение
0kp
называется характеристическим по отношению к (3.3).
Заметим также, что общее решение однородного линейного дифференци-
ального уравнения вида (3.3), найденное путем разделения переменных, имеет
вид
px
Cey
.
4.3.4. Нахождение общего решения линейного дифференциального
уравнения первого порядка с постоянным коэффициентом.
Докажем следующее утверждение. Класс функций вида:
0
( ) ( )y y x u x C
(3.4)
является общим решением уравнения
)(xgpyy
, (3.5)
если
()u u x C
— общее решение для
0
( ) ( )y x u g x
(3.6)
а
0
y
— одно из решений (3.3), например,
px
exy
)(
0
.
Действительно, находя в случае (3.4) производную
0
0
y u y u
y
и под-
ставляя ее вместе с выражением (3.4) в уравнение (3.5), приходим к равенству:
00
0
()u y u py u g x
y
или
00
0
( ) ( )py u y u g x
y
откуда, в силу (3.3.3), обнаруживаем, что функции
()u u x C
определяются
условием (3.6).
Итак, получен следующий алгоритм нахождения общего решения (3.5):
84
1) записать решение
px
ey
0
однородного уравнения (3.3);
2) найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными (3.6);
3) записать общее решение в виде (3.4).
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
2
23
x
y y e x
Решение. Имеем линейное дифференциальное уравнение (3.3) в случае
2
2 ( ) 3
x
p g x e x
.
Одним из решений соответствующего однородного уравнения
20yy
является
2
0
x
ye
. Теперь переходим к поиску общего решения уравнения (3.6)
22
( ) 3
xx
e u x e x
Оно равносильно следующей задаче интегрирования:
( ) 3u x x
. Инте-
грируя, последовательно получаем:
3
1
22
2
( ) 3 ( ) 3 ( ) 2
3
u x x dx u x x C u x x x C
Теперь, согласно (3.3.4), имеем общее решение в виде:
2
(2 )
x
y e x x C
4.3.5. Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения
первого порядка в общем случае.
Повторяя рассуждения п. 3.3, 3.4, нетрудно получить следующий алго-
ритм решения уравнения (3.2)
( ) ( )y p x y g x
Шаг 1. Найти одно из решений
0
()yx
однородного линейного уравнения,
соответствующего (3.2)
( ) 0y p x y
85
Это уравнение допускает, очевидно, разделение переменных:
( ) ( )
dy dy
p x y p x dx
dx y
так что в результате интегрирования получаем
()
ln ( )
p x dx
y p x dx y e
Выбираем одну из функций полученного класса, например
()0Px
ye
где
()Px
любая из первообразных для
()px
.
Шаг 2. Найти общее решение
()u u x C
— уравнения с разделяющимися
переменными (3.6).
Шаг 3. Записать искомое общее решение (3.2) в виде (3.4).
Пример. Найти общее решение уравнения
.sinctg
2
xxyy
Решение. Имеем линейное дифференциальное уравнение (3.2), в котором
2
( ) ( ) sinp x x g x x
. Следуя вышеприведенному алгоритму, находим поначалу
решение соответствующего однородного уравнения (шаг 1)
0ctg
xyy
.
Разделяем переменные:
dx
x
x
y
dy
dxx
y
dy
xy
dx
dy
cos
;ctg;ctg
,
в результате интегрирования имеем
(sin )
ln ln sin
sin
dy d x
y x C
yx
86
В случае, например,
0C
получаем
sinyx
, откуда одним из решений
однородного уравнения можно выбрать
0
sinyx
.
Теперь (шаг 2) переходим к решению уравнения (3.6):
2
sin sinu x x
Обе его части можно сократить на
sin x
, поскольку
sin 0x
, согласно об-
ласти определения исходного уравнения. Получаем задачу интегрирования
sinux
общее решение которой имеет вид
cosu x C
Остается записать (шаг 3) общее решение (3.3.4) исходного уравнения в
виде (3.4):
( cos )siny C x x
4.3.6. Упражнения.
1. Найти общее решение каждого из следующих уравнений:
8
1) 7 2 0
x
y y e
2
2) 2 4
x
e
yy
x
3)
04
2
x
x
y
y
;
4)
xx
xx
y
y ln2
ln
.
2. Решить задачу Коши:
2
1) ( 1) 1 2 ( 2) 1x y y x x y
2)
1)0(;02
2
yxexyy
x
.
3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,2), у которой
угловой коэффициент касательной в каждой точке равен разности ординаты и
абсциссы точки касания.
4.4. Моделирование движения
в терминах второго закона Ньютона
4.4.1. Постановка задачи. Если движение тела массы m происходит пря-
молинейно под действием силы, величина которой равна F, и a — ускорение
движения, то, согласно второму закону Ньютона, имеет место соотношение:
87
F ma
Как известно, если
()y y t
— есть расстояние, пройденное телом к мо-
менту времени t, то
()a y t
, а поэтому
F my
В общем случае сила F зависит от трех переменных: времени t и вели-
чин y и
y
:
()my F t y y
(4.1)
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение второго порядка
(4.1), служащее математической моделью движения, описываемого вторым законом Ньютона. Рассмотрим несколько частных случаев (4.1).
4.4.2. Частные случаи уравнения (4.1).
1)
0
FF
есть постоянная величина. Записав (4.1) в виде:
0
()m y F
имеем задачу интегрирования, из которой определяется
y
:
0
F
y dt
m
т.е.
0
1
F
y t C
m
где
1
C
— произвольная постоянная. Полученное уравнение первого по-
рядка имеет следующее общее решение:
0
1
F
y t C dt
m
или
2
0
12
2
F
y t C t C
m
2) В случае, когда действующая сила обратно пропорциональна квадрату
времени t, протекшего с начала движения (коэффициент пропорциональности
k
задан), рассмотрим временной отрезок
1
2
[ 1]t
, при этом в момент
1t
ско-
рость тела v и пройденное расстояние y будем считать равными, соответственно, заданными числами 0 и 2. Получаем задачу Коши:
2
(1) 2 (1) 0
k
my y y
t
88
Записав уравнение второго порядка в виде
2
()
k
yt
m
приходим к задаче интегрирования, из которой определяется
1
1
k
y t C
m
Значение постоянной
1
C
можно найти, воспользовавшись начальным
условием
(1) 0y
:
1
0
k
C
m
так что
1
k
C
m
а тогда
1
(1 )
k
yt
m
Полученное уравнение первого порядка есть снова задача интегрирова-
ния; интегрируя, получаем класс функций:
2
( ln )
k
y t t C
m
Согласно начальному условию
(1) 2y
, находим
2
2
k
C
m
так что искомый закон движения (при
1
2
[ 1]t
) имеет вид:
( 1 ln ) 2
k
y t t
m
В частности, например, путь, пройденный к моменту
1
2
t
, равен
11
ln2 2
22
k
y
m
89
4.4.3. Упражнения.
1. Проверить, является ли решением данного дифференциального уравне-
ния функция
()y y x
:
11
1) 11 1
x
y y y e
;
1
2
6
2) 11 5
y
x
y y x x
;
2
3) ( ) 1 ln(1 )xy y y x x
;
43
99
4
4) ( )
y
y y x
;
34
5) 12 16cos2 2 2cos2 4y x y x x x x
2. Убедиться, что решениями данного дифференциального уравнения
второго порядка при любых действительных значениях постоянных
1
C
и
2
C
яв-
ляются все функции
12
()y y x C C
указанного вида и выделить решение, удо-
влетворяющее заданным начальным условиям:
12
1) 81 0 cos9 sin9 ( ) 2 ( ) 9y y y C x C x y y
;
22
2
1
12
2
( 1)
2) (0) 1 (0)
x
x
y y C C x x y y
;
2
12
3) 2 sin 3cos cos
xx
y y y x x y C e C e x
;
4)
(0) 0 (0) 4yy
.
4.5. Уравнения, допускающие понижение порядка
4.5.1. Задача интегрирования.
Нахождение общего решения уравнения второго порядка:
()y f x
пpоизводится путем двукратного последовательного интегрирования:
1
( ) ( )y f x dx y F x C
1
( ( ) )y F x C dx
или
21
)( CxCdxxFy
;
90
здесь через
()Fx
и
dxxF )(
обозначены произвольные первообразные для
()fx
и
()Fx
соответственно. Переход к уравнению, содержащему первую производ-
ную, называется понижением порядка.
Уравнение n-го порядка вида:
()
()
n
y f x
(5.1)
решается аналогично — путем последовательного n-кратного интегрирования
его обеих частей.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
2 3 2
( 4 4) 4 1x x y x x
Решение. Запишем, в соответствии с (5.1), уравнение следующим образом:
2
22
41
( 4 4) ( 2)
xx
y
x x x
преобразуем теперь его к виду, удобному для интегрирования:
2
35
5
( 2) 5
( 2) 5( 2)
( 2)
x
y y x x
x
Понижаем порядок, восстанавливая вторую производную:
3 5 2 4
1
15
(( 2) 5( 2) ) ( 2) ( 2)
24
y x x dx y x x C
Продолжаем понижать порядок путем интегрирования:
13
12
15
( 2) ( 2)
2 12
y x x C x C
Наконец, находим общее решение полученного уравнения первого по-
рядка:
22
1 2 3
1 5 1
ln 2 ( 2)
2 24 2
y x x C x C x C
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]