Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологические особенности задачного подхода в обучении математике. Монография
.pdf
61
сведение (преобразование) данных, сущностей, задач, понятий, предложений,
методов рассуждения и доказательства к чему-то более простому и легче поддающемуся точному анализу. Например, в математике решение задачи А редуцируется к решению задачи В, если из решения задачи В может быть получено
решение задачи А. Редукция является эффективным средством познания практически во всех областях наук.
Сущность редукции как познавательного приема состоит в том, что для
решения какой-то задачи исследователь старается свести ее к более простому
варианту, разложить сложную структуру на составляющие элементы.
В математических задачах процессу редукции предшествует анализ зада-
чи, то есть последовательность рассуждений, обеспечивающих движение от искомых фактов к данным задачи. Анализ, таким образом, — есть последовательность логических конструкций вида «для того, чтобы найти (доказать) А, достаточно знать (найти, доказать) В». Анализ успешно осуществлен, если в
последнем звене цепочки В — это компонент условия задачи или известный
(при выполнении условий задачи) факт.
Стоит отметить, что в общем случае анализ — есть метод научного познания, состоящий в разложении изучаемого объекта на составные части, стороны, свойства и изучение их.
В применении к математическим задачам анализ сам по себе во многих
случаях собственно решением или доказательством не является: он лишь указывает направление редукции, то есть помогает свести задачу к цепочке более
простых. Выполнив анализ, мы устанавливаем:
а) какому классу К алгоритмически разрешимых задач принадлежит данная задача или те задачи-компоненты, к которым будет редуцирована данная
задача;
б) какой именно алгоритм (алгоритмы) к ней применим (применимы).
Обычно вслед за анализом наступает этап синтеза. В общем случае синтез — это логический прием, метод познания, соединяющий в целое отдельные
элементы, стороны, свойства, которые могли быть получены в результате анализа. Синтетический путь решения задачи — это путь рассуждений, идущих от
данных задачи к искомым (устанавливаемым) фактам. Речь идет о последовательности логических конструкций вида «зная (доказав) В, мы можем определить (доказать) А». В этом смысле синтетические конструкции обратны аналитическим.
Анализ и синтез, таким образом, дополняют друг друга, составляя единый
аналитико-синтетический метод.
3.2.2. Говоря в п. 2.1 о логических приемах или конструкциях, мы остава-
лись в границах «четкой» логики. Однако этап определения принадлежности
62
задачи к определенному классу К алгоритмически разрешимых задач на практике не всегда непосредственно осуществим (см. выше: понятие недетерминированности выводов). В ряде задач повышенной или высокой сложности
(например, в задачах с параметрами) мы можем лишь говорить о нечеткой принадлежности задачи классу К. Здесь присутствуют рассуждения типа «задача р,
скорее, принадлежит классу К, нежели классу L». В терминах нечеткой логики
это означает, что
)()( pp
LK
. Если исследователь (в нашем случае — уча-
щийся) «выставляет» задаче р экспертную оценку
2
1
)( p
K
, то имеет смысл
прилагать усилия, чтобы редуцировать задачу р к некоторой алгоритмически
разрешимой задаче из класса К. Будем говорить в подобных случаях, что задача
р алгоритмически ассоциирована с классом К.
3.2.3. В результате анализа некоторой задачи р мы могли получить после-
довательность
n
ррр ,...,,
21
задач, к которым может быть редуцирована данная р.
Возможна ситуация, когда каждая
j
р
алгоритмически ассоциирована с некото-
рым классом
njK
j
,...,1,
. В этом случае мы получаем декартово произведение
классов
n
KKK ...
1
и данная задача р будет алгоритмически ассоциирована
с классом К.
Если удается обнаружить алгоритмы для каждого из таких классов
j
K
, то
дальнейшее решение осуществляется посредством синтеза. Таким образом,
процесс решения задачи может быть формализован в виде следующей схемы.
Схема алгоритмизации и редуцирования решения задачи
Условие задачи выявление принадлежности определенному классу задач
выявление четкой принадлежности
выявление нечеткой принадлежности
переход к алгоритму
обращение к ассоциированным
алгоритмам,
выстраивание их комбинации
реализация алгоритма
последовательная реализация
алгоритмов
фиксация результата
63
3.2.4. Смоделируем процесс поиска алгоритма решения и редукции на
примере следующих трех задач с параметрами.
1. При каких значениях параметра а уравнение
012 хах
имеет единственное решение? Найти это решение.
2. При каких значениях параметра а парабола
1
2
ахху
имеет единственную общую точку с осью абсцисс? Найти абсциссу этой точки.
3. При каких значениях параметра а прямая
1 аху
является касатель-
ной к параболе
аахху 3
2
?
Введем следующие классы алгоритмически разрешимых задач:
1
K
{исследование квадратного трехчлена},
2
K
{линейная функция и линейное уравнение},
3
K
{касательная к графику функции}.
Обратимся к первой задаче
.
1
рр
Поскольку возможны случаи
0а
(дан квадратный трехчлен) и
0а
(линейная функция), то речь может идти об
алгоритмической ассоциированности задачи с классами
1
K
и
2
K
соответствен-
но. Очевидно, что в первом случае
1)(
1
1
p
K
, а во втором
1)(
2
p
K
(«четкая»
принадлежность), так что имеем в обоих случаях ситуацию детерминированности выводов.
Случай 1. Анализ: чтобы квадратное уравнение имело единственное решение (точнее, двукратный действительный корень), необходимо и достаточно,
чтобы его дискриминант был равен нулю. Следовательно, имеем редукцию к
следующей задаче: решить уравнение
0D
, где D — дискриминант квадратно-
го уравнения. Соответственно, выстраивается следующий алгоритм:
- выписать коэффициенты квадратного уравнения;
- сформировать дискриминант D;
- решить уравнение
0D
;
- записать найденное (найденные) значение (значения) параметра а;
- подставить а в данное уравнение;
64
- решить полученное квадратное уравнение (уравнения);
- выписать в ответе найденные значения параметра а и соответствующие
значения х.
Теперь осуществляем синтез решения. Ключевым моментом служит рассмотрение уравнения
041 а
,
откуда
25,0а
.
При найденном а получим
0125,0
2
хх
и, следовательно,
.2х
Случай 2:
.0а
Сразу же получаем линейное уравнение
01х
,
откуда
1х
.
Во второй задаче (
2
рр
) коэффициент перед
2
х
отличен от нуля, поэто-
му высказываем гипотезу о ее принадлежности классу
1
K
. В то же время речь
идет об оси абсцисс (прямая) и, по-видимому, о касании, так что не исключено
использование алгоритмов, соответствующих классам классов
2
K
и
3
K
. В ре-
зультате анализа экспертная оценка склоняется все-таки в пользу класса
1
K
:
2
1
)(
2
1
p
K
; действительно, парабола имеет одну общую точку с осью абс-
цисс тогда и только тогда, когда квадратное уравнение
012 ахх
имеет
единственное решение (двукратный действительный корень).
65
Таким образом, выстраивается алгоритм, подобный использованному в
случае 1, решения задачи
.
1
p
Синтез состоит в нахождении дискриминанта
4
2
aD
и решении уравнения
04
2
a
,
откуда
2a
.
При каждом из найденных значений a находим абсциссу общей точки
параболы и оси ОХ:
1тогда,2 xa
и
1тогда,2 xa
.
Обратимся к задаче
.
3
рp
Предположительно (судя по условию)
3
р
— за-
дача на тему «Касательная к графику». В то же время, анализируя задачу, приходим к заключению, что ситуация касания прямой с уравнением вида
bkxy
и
параболы означает, в частности, наличие ровно одной их общей точки, так что система уравнений прямой и параболы имеет ровно одно решение. Поэтому первичная экспертная оценка может выглядеть следующим образом:
2
1
)()(
33
31
pp
KK
.
Обратимся теперь к алгоритмам, соответствующим классам
3
K
и
1
K
. В
первом случае предстоит реализовать следующее условие касания:
;
31
)3(
2
2
aaxxax
aaxxa
во втором — потребовать, чтобы уравнение
aaxxax 31
2
66
имело единственное решение. Второй случай представляется более «экономным» (алгоритм эффективнее), так что происходит переоценка:
.
2
1
)(
3
1
p
K
На этапе синтеза решения, соответствующего алгоритмам класса
1
K
,
приходим к условию
0D
, где D — дискриминант уравнения
014
2
aaxx
.
Имеем
)1()2(
2
ааD
,
то есть
014
2
аа
,
откуда
.
8
171
а
67
ГЛАВА 4. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ
АЛГОРИТМИЗАЦИИ И РЕДУЦИРОВАНИЯ
НА ПРИМЕРЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В настоящей главе мы иллюстрируем процессы алгоритмизации и редуцирования на примерах дифференциальных уравнений первого порядка
),( yxfy
и некоторых специальных видах уравнений второго порядка
),,( yyxfy
.
В случае задания начальных условий речь будет идти о задаче Коши для
уравнений, соответственно, первого порядка
00
)(
),(
yxy
yxfy
или второго порядка
00
00
)(
)(
),,(
yxy
yxy
yyxfy
.
Решить уравнение — значит восстановить такую (такие)
()y y x
, при
подстановке которой (каждой из которых) в уравнение оно обращается в тождество. Ясно, что класс всех решений уравнения первого порядка будет определяться значениями постоянной интегрирования, то есть будет иметь вид
),( Cxyy
, тогда как класс решений уравнения второго порядка
),,(
21
CCxyy
определяется двумя произвольными постоянными интегрирования
1
C
и
2
C
.
Класс функций
()y y x C
называется общим решением уравнения первого по-
рядка, если при каждом конкретном (действительном) значении
0
CC
соответ-
ствующая
0
()y y x C
является его решением; каждая полученная таким образом
функция
0
()y y x C
называется частным решением. При этом предполагается,
что для заданного начального условия из указанного класса можно выбрать
68
(единственным образом) то решение, которое удовлетворяет этому начальному
условию.
Аналогичным образом определяется общее решение
),,(
21
CCxyy
урав-
нения второго порядка — предполагается, что для заданной пары начальных
условий из указанного класса можно выбрать (единственным образом) то решение, которое удовлетворяет этим условиям; каждое решение, полученное
при конкретных значениях
1
C
и
2
C
, называется частным решением уравнения
второго порядка.
4.1. Алгоритм решения дифференциальных уравнений
с разделяющимися переменными
4.1.1. Разделение переменных. Изучим случай, когда функция в правой
части уравнения
),( yxfy
есть произведение двух функций одной перемен-
ной, зависящих, соответственно, только от x и только от y:
12
( ) ( )y f x f y
(1.1)
Общий прием решения (1.1) состоит в рассуждениях, уже знакомых нам
по уравнению, приведенному в параграфе 4 главы 1.
Будем считать, что функция
2
()fy
при рассматриваемых x отлична от ну-
ля, поделим тогда на нее обе части уравнения, запишем
y
в виде отношения
дифференциалов и умножим затем обе части полученного рaвенства на dx. Последовательно получаем:
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dy
y f x f x dy f x dx
f y f y dx f y
Цепочка приведенных преобразований называется процессом разделения
переменных, а последнее равенство — уравнением с разделенными переменны-
ми. Поскольку искомая функция зависит от x, т. е.
()y y x
, то получаем соот-
ношение
1
2
1
( ) ( )
( ( ))
dy x f x dx
f y x
69
и его теперь можно понимать как равенство двух дифференциалов некоторой
функции от x. Тогда равны и соответствующие интегралы:
1
2
1
( ) ( )
( ( ))
dy x f x dx
f y x
или
1
2
1
()
()
dy f x dx
fy
(1.2)
Полученное равенство интегралов (1.2) и представляет собой общее
решение уравнения (1.1) с разделяющимися переменными.
4.1.2 Особое решение. В процессе разделения переменных были исклю-
чены точки
0
yy
, в которых
20
( ) 0fy
(деление на
20
()fy
невозможно). Мы
утверждаем, что постоянная функция
0
yy
является тогда также решением
(1.1). Действительно, подставим ее в обе части уравнения, воспользовавшись
определением решения. Имеем левую часть (1.1) в виде
0
( ) 0y
, а правая часть
также равна нулю:
1 2 0
( ) ( ) 0f x f y
Значит, всякая точка
0
y
, в которой
20
( ) 0fy
, порождает решение
0
yy
;
такое решение будем называть особым. При всех же остальных y (т. е. при таких y, что
( ) 0gy
) класс решений, как выяснено выше, имеет вид (1.2).
4.1.3. Уравнение, записанное в терминах дифференциалов. К виду (1.1)
легко могут быть сведены путем элементарных преобразований также и уравнения, записанные в виде
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0p x q y dx p x q y dy
(1.3)
Bпрочем, здесь разделение переменных возможно без перехода к (1.1):
достаточно выполнить деление на
21
( ) ( )p x q y dx
(если при рассматриваемых x и
y
функции
2
()px
и
1
()qy
отличны от нуля) и записать
21
12
( ) ( )
( ) ( )
q y dy p x dx
q y p x
(1.4)
70
Таким образом, мы пришли к уравнению с разделенными переменными, и
для получения общего решения следует перейти к интегрированию обеих его
частей.
В случае же значений
0
xx
,
0
yy
, для которых, соответственно,
20
( ) 0px
,
0)(
01
yq
, постоянные функции
0
xx
и
0
yy
(соответственно) обра-
щают обе части уравнения в тождество; эти функции здесь также называются
особыми решениями.
4.1.4. Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяю-
щимися переменными.
Шаг 1. Убедиться в возможности разделения переменных: функции в
обеих частях уравнения могут быть представлены произведениями множителей, каждый из которых зависит только от одной переменной (от x или от y).
Шаг 2. Производную
y
записать в виде отношения дифференциалов dy и
dx
(если уравнение записано в терминах дифференциалов, то этот шаг отсут-
ствует).
Шаг 3. Путем выполнения надлежащих операций умножения и деления
привести уравнение к виду (1.2) или (1.4): одна часть уравнения должна содержать только переменную x, а другая — только y (уравнение с разделенными
переменными).
Шаг 4. Произвести интегрирование обеих частей уравнения.
Шаг 5. Если задана задача Коши, то, воспользовавшись начальным усло-
вием, выделить из общего решения соответствующее частное решение; иначе — перейти к шагу 6.
Шаг 6. Исследовать наличие особых решений.
4.1.5. Примеры.
Пример 1. Решить задачу Коши
2
2
2
cos
cos 2 2
y
x
yy
Решение. Шаг 1: возможность разделения переменных. Функция, записанная в правой части уравнения, представима в виде частного выражений, зависящих только от одной переменной.
Шаг 2. Запишем производную в виде отношения дифференциалов, так
что уравнение примет вид:
2
2
2
2
cos
cos
y
x
dy
dx
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]