Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория системного анализа и принятия решений в БЖД. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

ство, количество операций. В экологии и техносфере эти ограниче-











xBcxPxdPdK







xZx











AxP





TxFxP





ния называют ресурсами системы.

Пример 3.1

В качестве примера ограничений могут выступать стенки цилиндра, которые ограничивают возможность расширения газа фиксированным пространством. Другой пример ограничений – конечный запас энергии, который ограничивает среднюю скорость молекул.

Интерлюдия

Рассмотрим еще одну разновидность первой вариационной задачи, где учитываются ограничения, перечисленные в примере 3.1.

Рассмотрим в качестве ограничения конечный запас энергии W( торый ограничивает средние скорости молекул. Требуется определить распределение частиц, которое приводит к максимизации энтропии системы с огpаничениями c(x) на средние скорости частиц:

(3.4)



Введем аналитическое представление ограничений. Пусть c(x ничение на i-е состояние, P(x) – распределение частиц по энергиям. Тогда

xPxPxS



(3.6)

;)( a



(3.7)

.1)( xP

Составляем сумму из выражений (3.4)–(3.7), следуя методу множителей Лагранжа, используя два множителя Лагранжа B, q:

 ).()()()(ln)( xPqxPxcBxPxPK

Дифференцируем выражение (3.8) и приравняем его к нулю:

 q

Решаем полученное уравнение (3.9):

Bcq

 (3.10)

.max)()ln ()(

;)()()(

 axcxPxW

(3.5)

(3.8)

(3.9)

.0)(1)(ln))(/(

)).(1exp()(

x), ко-

) – огра-

Выделяем один из сомножителей и находим его выражение из условия







xBcZxP











AxP





xUFxP





нормирования

)1exp( xP

 .1)(;

Подставляем выражение (3.11) для сомножителя в (3.10) и получаем

классическое распределение Больцмана:

где A – нормировочная постоянная; j – химический потенциал; Z – статистическая сумма.

Ограничение здесь – это ограничение на энергию частиц W(x) = U, от-

сюда

Распределение Больцмана характеризует число частиц в ячейке с за-

данной энергией. Как видно из распределения (3.15), чем больше энергия частицы, тем реже она встречается в ячейках.

В более общей форме выражение (3.15) называется в статистической

физике вочная постоянная А связывается со свободной энергией F, при этом F =

= –T ln Z, Z = 1

состояний подсистем термодинамической системы. Это распределение иллюстрирует решение традиционной задачи статистической физики.

распределением Гиббса: ]./))(exp[()(

Таким образом, найдено распределение вероятностей для различных





)(





xBc

)(exp(

))(exp(

xBc

))(exp(

xBc





;

(3.12)

));(exp()/1()(

(3.13)

)./exp()( kTU

(3.15)

:1))(exp()1exp(;1))(1exp( xBcqxBcq

(3.11)

(3.14)

),/exp(/1;/1));(exp( kTjAZAxBcZ

Здесь нормиро-

3.2. Первая вариационная задача в теории информации и дистанционном зондировании.

Первая теорема Шеннона

Прелюдия

Рассмотренные в гл. 2 физические системы типа источников сообще-

ний и каналов связи предполагают, что «хорошие» источники сообщений

и каналы связи должны обеспечивать сообщения (состояния) наиболее неожиданные, т. е. с наибольшей энтропией. Но при этом, естественно, существуют технические (в том числе и энергетические) ограничения на процессы генерации и передачи сообщений. Таким образом, снова возникает первая вариационная задача поиска распределения, которое максимизирует энтропию в присутствии ограничений (в качестве последних могут выступать штрафы или мизирующее энтропию при ограничениях, и задает наилучший канал связи.

ограничения на энергетику системы связи). Распределение, макси-

Основная тема

Пусть существует дискретный канал без помех Y, который имеет состояния y. Действие канала связи обусловлено ограничениями c(y) < a. Назовем

пропускной способностью канала связи С

то максимальное значение энтропии, которое может быть достигнуто с учетом ограничений C = sup H(y) = max S(y). Назовем c(y)

функцией штрафов (функцией потерь). Состояния y имеют рас-

пределение вероятностей P(y). Усредняем теперь функцию штра- фов по всем состояниям и их распределениям. Такого рода величина R называется

средними потерями, или риском.

Ограничения тогда приобретают вид

.)()( ayPycR



Требуется максимизировать энтропию при этих ограничениях, выбирая соответствующее распределение P(y). Максимальное значение энтропии обозначается как

пропускная способность C кана-

ла связи: C = max S(y).

Технический смысл первой вариационной задачи состоит в определении С –

пропускной способности канала связи –

в условиях ограничений на риск.

Как уже отмечалось, при отсутствии ограничений решение вариационной задачи дает равномерное распределение для источника сообщений или канала связи. В случае наличия ограничений решение вариационной задачи дает в общем случае

Гиббса

(в более частных случаях техники связи это нормальное

распределение

распределение). Это означает, что существуют методы физической реализации таких каналов связи. Подобные утверждения и составляют предмет практически важной и фундаментальной

первой

асимптотической теоремы термодинамики и теории информа-

. Она известна как первая теорема Шеннона:

ции

Существуют способы организации канала связи, при котором пропускная способность канала равна производительности источника. Эти способы реализуются и рассматриваются в теории и практике эффективного кодирования.

В задачах дистанционного зондирования эта теорема исполь-

зуется для экономного представления огромных цифровых массивов изображений благодаря специальным алгоритмам свертки этих изображений.

3.3. Первая вариационная задача в технике, биологии и экологии

Прелюдия

Напомним, что законы термодинамики являются наиболее общими законами природы. Поэтому неудивительно, что экосистемы также можно рассматривать как термодинамические системы, для которых выполняются законы термодинамики.

В ряде случаев, когда экосистемы можно считать замкнутыми, на них распространяется принцип максимума энтропии с ограничениями. Здесь рассматривается энтропия, связанная с макроскопическими которыми описывается динамика существования популяций.

степенями свободы,

Основная тема

Рассмотрим распределение биомассы между видами в экологической системе. Роль ограниченного ресурса с(x) < a здесь играет ограничение биомассы. Чем выше «стоимость» с(x) состояния x

тем меньше вероятность появления таких особей данного вида (состояния). Состояния (особи данного вида), требующие бесконечных ресурсов (огромные биомассы особи вида), имеют вероятность, равную нулю. Зависимость вероятности появления особи какоголибо вида от массы выглядит как распределение Больцмана (см. (3.4)–(3.13)).

Пример 3.2

В экологии этот закон звучит так:

вида, тем меньше число особей данного вида (тем реже этот вид встречается в экосистеме

чем больше масса особи какого-то

Интересно, что принцип максимума энтропии реализуется

в социальных, больших технических, экономических и лингвистических системах.

Принцип максимума энтропии действует в тех

природных или антропотехнических ситуациях, где важную роль играет равновесный характер процессов и системы изолированы по какому-то ресурсу. При этом возможны и ограничения по некоторым ресурсам (см. (3.1)–(3.15)) – например, когда существует необходимость ограничения энергетических ресурсов системы. При этом система «стремится» к равновесному состоянию, что проявляется

через максимизацию энтропии.

Пример 3.3

Поскольку при дистанционном зондировании природных систем часто приходится иметь дело именно с системами, стремящимися к равновесию, то и представление данных дистанционного зондирования распределениями с максимальной энтропией кажется естественным (как в случае с уже упомянутым принципом максимальной энтропии при обработке изображений). Существует много примеров обработки природных изображений с выделени ем экологических объектов на фоне подстилающей поверхности (которая маскирует объекты). Есть и алгоритмы выделения экологического объекта с помощью алгоритма обнаружения, использующего принцип максимальной энтропии. Здесь в конструкции алгоритма используется свойство

мальной энтропии

верхность отличается от конкретного объекта, который надо выделить. Это обеспечивает значительное повышение разрешения и характеристик надежности обнаружения систем дистанционного зондирования.

Пример 3.4

В ряде задач дистанционного зондирования окружающей среды исследуются оптические спектры подстилающих поверхностей. Для этого весь диапазон наблюдаемого спектра разбивается на отдельные участки рых регистрируется интенсивность излучения. Классификация различных видов подстилающих поверхностей осуществляется после сравнения интенсивностей в этих разных (по положению в спектре) участках. Результаты сравнения регистрируются как отдельные события, которые затем подсчитываются для различных изображений. Как показали практические исследования, для количественного описания подобной классификации целесообразно использовать формулу являет спектральные особенности подстилающих поверхностей и других экологических объектов на изображениях. Энтропия будет зависеть от соотношения различных типов спектров определенных типов земной поверхности. Этот метод был предложен академиком К. Я. Кондратьевым и получил широкое применение в технологиях дистанционного зондирования.

изображения подстилающей поверхности, которым по-

, в кото-

энтропии (см. (2.22)). Величина энтропии хорошо вы-

макси-

Метод послужил основой для средств эффективного кодирования оптических спектров отражений природных образований. С помощью таких кодов появилась возможность различать молодую зеленую растительность, развитую растительность, растительность с осенней окраской, а также высохшую. Кроме того, различению этим способом поддаются песчаники, известняки, сланцы, различные виды снежных поверхностей и т. д.

Основная тема

С точки зрения биологии и экологии стремление организмов, популяций и целых экосистем к максимизации энтропии проявляется в определенной непредсказуемости поведения этих систем. Часто это трактуется как стремление к экспансии на новые неизведанные территории, вариации стереотипов поведения особей и популяций. Возможно, случайные мутации также обусловлены этой фундаментальной

физической закономерностью.

Таким образом, принцип максимизации энтропии дает ясную интерпретацию многим явлениям в биологии и экологии. Возможно, этот принцип даст объяснение и многим примерам неожиданной реакции природы на активное преобразование окружающей среды человеческой цивилизацией. Печальный опыт взаимодействия человека и биосферы требует от промышленной экологии разработки конструктивных методов

и технических средств приро-

допользования.

Крещендо

Рассмотренные ранее принципы максимизации энтропии в природных системах обусловливают

информации) в природопользовании и экологии

Его суть сводится к следующему: априорные суждения обо всех возможных результатах преобразования природных систем всегда выносятся в условиях неопределенности по отношению к возможным последствиям и неопределенности в отношении полного описания текущего состояния систем. Этот принцип хорошо демонстрирует основные принципы и постулаты, которые представляют сложные системы в

Для преодоления этой неопределенности в ноксологии, техносферной безопасности и промышленной экологии используют ряд нетривиальных процедур и мероприятий: машинное (математическое, функциональное, имитационное) моделирование природных и антропогенных систем, математическое прогнозирование поведения этих систем; количественный непрерывный контроль техносферных рисков и принятие решений; дистанционное зондирование. Весь перечисленный комплекс мероприятий получил

логического и техносферного мониторинга

принцип неопределенности (принцип неполноты

, отмеченный Реймерсом.

теории систем.

название эко-

Процесс мониторинга позволяет принимать количественно обоснованные решения по конкретным объектам мониторинга в условиях априорной неопределенности в отношении детальных знаний и многих особенностей поведения данных объектов.

Еще раз подчеркнем, что Ю. А. Израэля) включает в себя логическими объектами,

процесс мониторинга (согласно концепции

процесс непрерывного наблюдения за эко-

процесс моделирования наблюдаемых объектов, процесс прогнозирования их поведения, а также процесс принятия решений

по дальнейшим воздействиям на экологические объекты и управления

техносферными рисками

Концепция мониторинга получила свое развитие в медицине, экономике, социологии, астрономии. В этих отраслях знаний возникают аналогичные ситуации с априорной неопределенностью в отношении объектов исследования. Практика мониторинга демонстрирует успешное преодоление априорных трудностей в этих областях. Такой успех позволяет надеяться, что термодинамическое, статистическое описание процессов в ноксологии, эволюционной биологии и промышленной экологии обеспечит успешное решение широкого круга задач техносферной безопасности, природопользования и даст теоретическую трактовку многим загадочным явлениям взаимодействия человека и природы. Рассмотренные математические схемы дают необходимый инструмент инженерам и биологам для решения этих актуальных задач.

Гла в а 4. ОТКРЫТЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ,

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ТЕХНИКЕ,

ФИЗИКЕ И БИОЛОГИИ

4.1. Открытая термодинамическая система

Примером классической открытой термодинамической системы является нагретое тело (т. е. тело, имеющее определенное избыточное по отношению к среде количество теплоты), которое, в свою очередь, нагревает окружающую среду (т. е. увеличивает интенсивность тепловых движений частиц среды). Другой классический пример – движение тела с трением. На термодинамическом языке эти явления

описываются как передача некоторого количества внутренней энергии данному телу и последующее превращение этой внутренней энергии (возможно, лишь ее части) в тепловую, которая далее передается окружающей среде.

Классическим определением

системы

является следующее: система называется открытой, ес-

ли обменивается с окружающей средой энергией и веществом

открытой термодинамической

. Вы-

ражаясь точнее, открытая система взаимодействует с окружаю- щей средой с помощью потоков вещества и полей. Сам факт взаимодействия приводит к изменению состояния открытой системы.

Специально отметим, что возможна ситуация, когда система взаимодействует с окружающей средой посредством физических полей (например, гравитационных, электромагнитных полей). Кроме того, возможно взаимодействие, при

котором окружающая среда не осуществляет обмен веществом с системой (сколько частиц «вошло», столько и «вышло»), но изменяется кинетическая энергия частиц термодинамической системы (возможен обмен тепловой энергией или, другими словами, «обмен теплотой»). Эти случаи часто называют

ством

при этом не происходит. Подобного рода системы можно

выделить в специальный подкласс, или тип,

обменом энергией, подчеркивая, что обмена веще-

замкнутых систем.

Замкнутые системы. Если система обменивается с окружа-

ющей средой только энергией, а не веществом, то она способна к фазовым переходам в равновесное (упорядоченное) состояние. Такие системы иногда называют

замкнутыми. Свободная энергия

таких систем стремится к минимуму. Пример процессов, в которых







осуществляется такой переход, – образование кристаллов.

Системы, обменивающиеся информацией. Некоторые авто-

ры выделяют специальный тип систем, в котором за счет дополнительной (искусственно привнесенной извне)

качества

(полученной за счет взаимодействия веществ или полей,

энергии высокого

приводящих к усложнению структуры веществ) удается понизить локально энтропию в некоторой части этой системы. Такое локальное понижение энтропии неизбежно связано с локальным повышением динамического порядка в системе (увеличение степени статистической зависимости в случайных движениях частиц системы, усложнение структуры). При этом

образования сложной структуры

возможен процесс задержки

во времени (память). Такого

рода специфические процессы термодинамического взаимодействия можно назвать

информационными процессами.

Интерлюдия

Как известно, локального понижения энтропии можно достичь, если искусственно организовать (за счет дополнительной внешней кинетической энергии) отрицательные обратные связи между элементами системы, т. е. за счет дополнительной кинетической энергии локально упорядочить динамическую структуру (организацию) системы.

Такой процесс взаимодействия системы с окружающей средой часто называется стью рецепции является тот факт, что такое взаимодействие «консервируется», запоминается на некоторое время, а изменение структуры, вызванное взаимодействием, может произойти через некоторое время. Когда это происходит, то инженеры говорят о

цепция могла произойти давно (изменение структуры было задержано, «запомнено»), а использование этого взаимодействия для изменения структуры (совершение работы) может произойти уже тогда, когда система считалась замкнутой. Закрытость системы понимается и в том смысле, что обмена веществом с окружающей средой закону термодинамики) общая энтропия во внешней среде возрастет, несмотря на ражения типа

мацией, это означает, что произошло термодинамическое взаимодействие между телами, которое привело к локальному уменьшению энтропии, но с задержкой

ризующая этот процесс, отождествляется с

рецепцией, измерением или наблюдением. Важной особенно-

системе с памятью.

Такая система некоторыми авторами трактуется как закрытая, ибо ре-

не происходит. При этом (согласно второму

локальное понижение энтропии. Отсюда становятся понятными вы-

«между телами происходит обмен информацией».

Когда инженер говорит, что между телами произошел

. Если задержка ничтожно мала, физическая величина, характе-

негоэнтропией (I* = –S = –H).

обмен инфор-

Некоторые авторы термин «количество информации» используют только для







случая рецепции с существенной задержкой. Очевидно, что в случае задержки результат взаимодействия – это тоже рост упорядоченности структуры системы на величину количества информации I (т. е. на величину разности энтропий до и после взаимодействия dS, I = –dS). Здесь косвенно уже

участвует временная задержка (энтропия уменьшилась на величину dS за время после взаимодействия). Негоэнтропия I* получается, если энтропия системы изменилась до нуля после взаимодействия.

Для количественного описания этого локального понижения энтропии без задержки или с малой задержкой, наряду с термином «негоэнтропия», иногда используют понятие

количество информации по Бриллюэну, вве-

денное ранее.

Если учесть, что и локальный рост количества информации или локальный рост энтропии приводят к повышению энтропии в окружающей среде, можно говорить об обобщенном понятии энтропии S* как о сумме обычной энтропии S (локальной энтропии) и негоэнтропии I*.

В этой ситуации действует обобщенный закон возрастания

энтропии,

по которому в замкнутой системе всегда возрастает сумма энтропии и него-

энтропии:

0)( 

ISS . При этом локально энтропия S может понижать-

ся, если негоэнтропия (количество информации по Бриллюэну) возрастает.

Для процесса рецепции можно вывести своеобразный

ния суммы энтропии и негоэнтропии

: .const)*(

закон сохране-

Такой несколько ис-

кусственный прием позволяет рассматривать информационные процессы в рамках квазистатической или квазиравновесной термодинамики. При этом оказывается чрезвычайно полезной и наглядной концепция принципа

симума информации

по аналогии с принципом максимума энтропии.

мак-

Впрочем, многие авторы утверждают, что данная система, хотя и является закрытой, все же «обменивается информацией» с окружающей средой (т. е. является «открытой» для информации системой). Именно для нее можно ввести

обобщенный второй закон термодинамики.

Отметим, что изучение и реализация этого случая полезны, так как позволяют контролировать и минимизировать затраты высококачественной энергии при организации динамической структуры системы. При этом появляется возможность манипулировать данным процессом во времени (как бы «запоминать и дозировать во времени» процессы организации динамической структуры).

Более детальное изучение этих проблем (с учетом

самопроизвольного естественного локального понижения энтропии) возможно лишь в рамках неравновесной статистической термодинамики. Однако концепция закрытой системы, которая «обменивается» с окружающей средой «информацией», является наглядной и полезной. Здесь, как уже отмечалось ранее, действует

обобщенный второй закон термодинамики. Согласно этому закону, для

таких систем

кально энтропия может уменьшаться

обобщенная энтропия по-прежнему возрастает, хотя ло-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]