Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика построения и применения сетей и графов. Учебное пособие
.pdf
1.4. Раскрашивание графов
81
В 1879 г. Альфред Кемпе объявил о решении этой проблемы. Более
десяти лет математическое сообщество считало, что проблема решена. Однако в 1890 г. Перси Хивуд обнаружил ошибку в доказательстве Кемпе.
Хотя доказательство Кемпе было ошибочным, оно содержало несколько
хороших идей, и Хивуд смог адаптировать его, чтобы доказать, что все
плоские графы могут быть раскрашены пятью цветами. Он также рассмотрел проблему раскрашивания графов на других топологических поверхностях. Ключом к доказательству Хивуда является тот факт, что все плоские
графы являются 5-вырожденными. Таким образом, граница вырождения
немедленно подразумевает, что любой плоский граф может быть раскрашен в 6 цветов.
Теорема 33 (теорема о пяти цветах). Каждый плоский граф можно
раскрасить в 5 цветов.
Доказательство. Мы находим 5-цветную раскраску, используя тот
факт, что любой плоский граф является 5-вырожденным. Используя последовательность построения, мы можем легко раскрасить каждую вершину G, если только вершина не имеет степени 5 и все пять соседей не используют разные цвета. Предположим, что это верно для вершины v с соседями u1, …, u5, последовательно окрашенными в цвета 1, …, 5 вокруг нее.
Пусть Gij − подграф G – v, индуцированный вершинами, окрашенными в
цвета i и j. Подграфы G13 и G25 оба не могут быть соединены, поскольку
(u1 − u3)-путь и (u2 − u5)-путь в G − v содержали бы общую вершину, поскольку G является плоским. Скажем, G13 отключен. Переключите цвета на
компоненте G13, содержащем u1, таким образом, чтобы u1 имел цвет 3. Тогда v может быть окрашен в цвет 1 без конфликта. Таким образом, G может
быть окрашен в 5 цветов (рис. 1.50).
Рис. 1.50. Окрашивание вершины графа v
Путь (u2−u5)-путь называется цепью Кемпе в честь Альфреда Кемпе,
который представил эту идею. Учитывая аргумент в теореме о пяти цветах,
1. Теоретические основы построения графов
82
мы можем предположить, что вершина v со степенью 5 имеет двух непоследовательных соседей одного цвета.
Скажем, u1, …, u5 окрашены в цвета 1, 2, 3, 4, 2 последовательно вокруг v. Цвет 1 может быть исключён из u1, если только G13 не содержит
(u1 − u3)-путь, а G14 содержит (u1 − u4)-путь. Кемпер утверждал, что в этом
случае 2 можно было бы исключить, переключив 2 и 4 в компоненте G24, содержащем u2, и переключив 2 и 3 в компоненте G23, содержащем u5. Недостаток аргумента Кемпе заключается в том, что (u1 − u3)-путь и (u1 − u4)-путь
могут переплетаться, так что выполнение обоих переключений приводит к
соседним вершинам, окрашенным одинаково (рис. 1.51).
Рис. 1.51. Иллюстрация аргумента Кемпе
В 1880 г. Питер Тейт предложил ещё одно возможное решение проблемы. Он прямо показал, что задача о четырех цветах эквивалентна задаче,
связанной с раскрашиванием рёбер графа. Однако он ошибочно полагал, что
решил эту проблему. Ошибки в его аргументации были замечены Джулиусом Петерсеном и другими. Поскольку простого решения не было видно,
математики начали более внимательно изучать структуру плоских графов.
Они искали доказательство с помощью минимального контрпримера.
Определение. Конфигурацией максимального плоского графа является цикл (кольцо) и все, что находится внутри него. Набор конфигураций
неизбежен, если какой-либо плоский граф должен содержать одну из них.
Конфигурация является приводимой, если она не может фигурировать ни в
одном минимальном контрпримере к гипотезе о четырех цветах.
1.4. Раскрашивание графов
83
Таким образом, чтобы доказать гипотезу о четырех цветах, необхо-
димо показать, что любой плоский граф имеет неизбежный набор приводимых конфигураций. Нетрудно показать, что вершина степени 3 или 4 приводима, но задача уменьшения вершины степени 5 гораздо более сложная
задача. Необходимо рассмотреть более крупные конфигурации. В первом
нетривиальном результате такого типа Джордж Биркхофф показал «алмаз
Биркхоффа». Для доказательства существования определённых конфигураций был использован процесс, называемый разрядкой (рис. 1.52).
Рис. 1.52. «Алмаз Биркхоффа»
Работы многих математиков постепенно расширили число приводимых конфигураций и показали, что гипотеза о четырех цветах верна для
графов все большего и большего порядка. В конце концов фокус сместился
в сторону плоских графиков с небольшим кольцом.
В 1976 г. Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен при содействии Джона
Коха, объявил о доказательстве гипотезы четырех цветов13. Их доказательство, которое занимало около 140 страниц, обнаружило неизбежный набор
из 1936 приводимых конфигураций с размером кольца не более 14, используя 487 правил разгрузки. На доказательство потратили более 1000 часов
компьютерного времени, а также подготовили 400 страниц выходных данных, которые пришлось проверять вручную.
Теорема 34 (теорема о четырех цветах). Каждый плоский график
можно раскрасить в 4 цвета.
Доказательство вызвало споры. Математики постарше возражали
против использования компьютера при доказательстве, в то время как математики помоложе возражали против того, что большой результат очень
13
Четырех цветов достаточно / Режим доступа: http://школа-пифагора.рф/
load/mir_matematiki/teorija_grafov/chetyrekh_cvetov_dostatochno/119-1-0-2603, (дата
обращения 24.07.2023).
1. Теоретические основы построения графов
84
трудно проверить. Математики постарше жаловались, что ни один человек
на самом деле не проверил все доказательство целиком. Хотя это правда,
что компьютеры могут допускать ошибки, даже если они запрограммированы правильно, люди также могут ошибаться. Компьютерную программу
всегда можно запустить повторно или на другом компьютере, чтобы перепроверить это. Со временем доказательства с использованием компьютеров получили широкое признание среди математиков.
Сохраняющиеся сомнения по поводу этого доказательства привели
Нила Робертсона, Пола Сеймура, Дэвида Сандерса и Робина Томаса к поиску упрощённого доказательства, использующего те же общие методы.
Они обнаружили неизбежный набор из 633 приводимых конфигураций, использующих 32 правила разгрузки. Они также использовали компьютерную проверку регистров и нашли алгоритм O(n2) для нахождения 4-х раскрасок плоского графа.
Теорема о четырех цветах – самая известная теорема в теории графов. Попытки доказать её привели к дальнейшему развитию теории графов
как отдельной научной дисциплины.
2.1. Методы сетевого планирования и управления
85
2. ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФОВ И СЕТЕЙ
В ЭКОНОМИКЕ, БИЗНЕСЕ И УПРАВЛЕНИИ
2.1. Методы сетевого планирования и управления
ХХ век – это время появления крупных производственных проектов,
разработка и управления, которыми потребовали появления соответствующих методов. Часть из этих методов опирались на представление проекта
в виде графа, содержащего различные виды работ в качестве узлов и последовательности выполнения работ, отражаемых на графе ребрами (дугами).
В США был создан метод PERT (Program Evaluation and Review
Technique), основанный на применении графов14. Хотя концепции, аналогичные лежащим в основе системы PERT, были представлены в советском
капитальном строительстве в 30-х гг. XX в. при строительстве Магнитогорского металлургического комбината, в то время они не получили широкого
распространения.
Компания Buz, Allen и Hamilton, разработавшая вариант PERT для
«Полариса» в 1958 г., заявила, что на разработку потребовалось 15 лет, что
означает, что начало работы относится к 1943 г. Тем не менее, публикации
по системе PERT были сделаны в конце 1950-х – начале 60-х гг.
Основы системы PERT были изданы в США в 1958 г. Отчёты Бюро
специальных проектов ВМС США по первой и второй фазам разработки
системы PERT для «Полариса» состоят из более 300 страниц. Рукопись перевода этого Отчёта была подготовлена С. П. Никаноровым в 1960 г. [3].
Это был первый русскоязычный материал по системе PERT, который был
доступен советским специалистам.
В августе 1961 г. С. П. Никаноров составил Заключение по указанному материалу. В нем он подробно объяснил принципы системы PERT и
высоко оценил метод PERT как средство управления созданием сложных
технических систем. В период с 1961 по начало 1962 гг. в американских
журналах появилось множество статей, которые значительно расширили
понимание различных организационных систем управления.
14
Что представляет из себя PERT? / Режим доступа: https://expe-
rience.dropbox.com/ru-ru/resources/pert, (дата обращения 24.07.2023).
2. Применение графов и сетей в экономике, бизнесе и управлении
86
Было нежелательно использовать термин PERT и его производные,
поскольку методы использования сетевых моделей в централизованной
экономике значительно отличались от методов, используемых в США. С.
П.Никаноров предложил заменить термин «PERT» термином «Система сетевого планирования и управления», который можно кратко назвать «Система СПУ»15. Это предложение было принято.
С. П. Никаноров проводил прикладные работы по применению си-
стем сетевого планирования и управления в начале-середине 60-х гг. и
стремился определить применяемую систему как разработанный «организационный механизм» с определёнными процедурами, формами документов и режимом работы. Из этой позиции следовало, что необходимо
проверить существующие процедуры и формы документов предприятия
и ввести новые. Сетевые системы рассматривались как инструменты, которые можно использовать для улучшения существующей системы планирования и управления.
2.1.1. Метод критического пути (МКП)
Центральным компонентом методов сетевого планирования и
управления (СПУ) являются сетевые модели. Сетевая модель представляет
собой ориентированный граф без петель с одним источником и одним или
несколькими стоками. Сетевой график или ориентированный граф представляет собой графическое представление проекта, в котором стрелки показывают отдельные операции.
Операция или работа – это термин, используемый для описания любого временного процесса. Все операции могут быть действительными или
фиктивными. Основной характеристикой действительной операции является объем работ, физическое содержание которого может включать различные элементы, такие как продолжительность, трудоёмкость или стоимостные показатели. Фиктивные операции бесконечны и не требуют ресурсов. Они либо демонстрируют процесс ожидания, либо демонстрируют
15
К юбилею В. М. Глушкова, С. П. Никанорова, В. Н. Четверикова. Идео-
логи отечественных разработок в области автоматизированных систем управления /
Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/k-yubileyu-v-m-glushkova-s-p-nikano-
rova-v-n-chetverikova-ideologi-otechestvennyh-razrabotok-v-oblasti-avtomatizirovannyh-sistem, (дата обращения 25.07.2023).
2.1. Методы сетевого планирования и управления
87
логические зависимости между действительными операциями. На графике
изображены фиктивные операции с помощью штриховых линий.
Определённый факт, связанный с переходом от одного вида дея-
тельности к другому, называется событием в сетевой модели. После завершения операции происходит событие. Исходное, промежуточное и завершающее событие можно выделить на любом графике. Исходное событие демонстрирует начало выполнения всего комплекса операций, описанного сетевой моделью, без предшествующих работ. Результат окончания одной или нескольких операций, который даёт возможность начать
одну или несколько последующих операций, называется промежуточным
событием. В завершающем событии все операции завершены. Он не
имеет последующих операций.
Все операции на сетевом графике связаны с двумя событиями:
начальным событием, которое непосредственно предшествует данной операции, и конечным событием, которое непосредственно следует за ней. Кодирование используется для однозначного описания операций. В этом случае пара чисел (i,j) обозначает каждое событие операции, где i – номер
начального события и j – номер конечного события. Начальное событие на
сетевом графике должно иметь меньший номер, чем конечное событие.
После создания первого плана необходимо проверить, соответствует
ли он некоторым требованиям:
− только завершающее событие имеет входящие стрелки, а исход-
ное событие только выходящие. Если событие является промежуточным, у
него должны быть как входящие, так и выходящие стрелки;
− все операции должны иметь начало и конец;
− на графике не должно быть отдельных областей, которые не свя-
заны с остальной частью графика операциями.
На сетевом графике не должно быть контуров и петель, потому что
они, по существу, указывают на то, что условием начала операции является
её же окончание. При возникновении контура следует вернуться к исходным данным и пересмотреть состав и последовательность работ, чтобы
устранить его.
Не более одной операции должно быть непосредственно связано с
каждым из двух событий. Вводятся фиктивное событие и фиктивная операция, когда на графике обнаруживаются параллельные операции.
2. Применение графов и сетей в экономике, бизнесе и управлении
88
Путь – это термин, используемый для описания последовательности
операций, в которой конечное событие предыдущей операции является
начальным событием следующей операции.
Полный путь – это набор действий, связанных с исходным и завер-
шающим событием.
Метод критического пути (МКП) использует сетевые графики для
определения оптимальной продолжительности реализации проекта.
В методе критического пути каждое событие связано с двумя моментами времени: ранним и поздним. Наиболее раннее время, когда
можно начать операции, исходящие из соответствующего события, называется ранним моментом (Р) события. Наибольшее из всех поздних времён окончания операций, входящих в это событие, называется поздним
моментом события (П).
Прямой проход – это вычислительный процесс, используемый для
определения ранних моментов событий. Вычисления при прямом проходе
начинаются с первого события и продолжаются слева направо. Ранний момент для начала события должен быть равным 0. Ранний момент предшествующего события определяется просто прибавлением длительности
предшествующего события к раннему моменту последующего события.
В случае, когда в событие входят несколько операций, наиболее ранним
моментом окончания каждой из этих операций считается наибольшее из
всех ранних времён окончания события (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Прямой и обратные проходы.
Поздние и ранние моменты времени операций
Обратный проход – это вычислительный процесс, используемый
для определения поздних моментов событий. Вычисления при обратном
2.1. Методы сетевого планирования и управления
89
проходе начинаются с последнего события и продолжаются справа
налево. Поздний момент (П) предыдущего события определяется вычитанием длительности предыдущей операции из позднего момента последующего события. Если из события выходят несколько операций, то поздний момент события должен быть наименьшим из всех поздних моментов
начала каждой из этих операций.
2.1.2. Расчёт резервов времени выполнения операций
МКП использует моменты событий для вычисления моментов
начала и окончания операций и представляет результаты в таблице, а не на
сетевом графике.
В любой операции ранним началом (РН) считается ранний момент
предшествующего события. Поздний момент следующего события считается окончанием операции (ПО). Позднее начало (ПН) операции определяется как ее позднее окончание после вычета общей продолжительности
операции. Раннее окончание (РО) операции определяется как ее начало и
длительность.
В табл. 2.1 приведены характеристики операций, представленных на
сетевом графике на рис. 2.1.
Таблица 2.1
Расчёт моментов начала и окончания операций
Операция
i–j
Д
Раннее
Позднее
начало
окончание
Рi + д
начало
Пi – Д
окончание
1–2 4 0 4 5
9
1–4 5 0 5 0 5 2–3 3 4 7 9
12
3–7 7 7
14
12
19
4–5 3 5 8 5 8 5–6
10 8 18 8 18
5–7 1 8 9 18
19
6–7 1 18
19
18
19
7–8 4 19
23
19
23
8–9 5 23
28
23
28
Все операции проекта должны быть завершены в срок от начала до
окончания. Проект будет завершён вовремя, если все операции будут
2. Применение графов и сетей в экономике, бизнесе и управлении
90
завершены в этих рамках. В случаях, когда промежуток времени между
двумя операциями более длителен, существует свободное время либо до,
либо после операции. Термин «резерв» используется для описания этого
свободного времени.
Полный резерв (ПР) – это период времени, на который может быть
увеличена продолжительность операции без угрозы срыва запланированного срока завершения проекта. Свободный резерв (СР) – это операция, выполнение которой может быть отложено без ущерба для полного резерва
последующих операций. Его формула: ПР = ПО – РН – Д.
Операции, затягивание которых не влияет на полный резерв ни
предыдущими, ни последующими операциями, могут быть обнаружены независимым резервом (НР): НР = Рj – Пi – Д, если расчёты дают НР < 0, то
НР принимает значение 0. Свободные и независимые резервы также равны
нулю, если полный резерв операции также равен нулю.
Расчет резервов времени для сетевого графика, представленного на
рис. 2.1, представлен в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Расчёт резервы времени для сетевого графика
Опер.
i–j
Д
Резервы
ПР = ПО – РН – Д
СР = Рi – Рi – Д
НР = Рj – Пi – Д
1–2 4 9 – 0 – 4 = 5
4 – 0 – 4 = 0
4 – 0 – 4 = 0
1–4 5 5 – 0 – 5 = 0
5 – 0 – 5 = 0
5 – 0 – 5 = 0
2–3 3 12 – 4 – 5 = 5
7 – 4 – 3 = 0
7 – 9 – 3 = 0
3–7 7 19 – 7 – 7 = 5
19 – 7 – 7 = 5
19 – 12 – 7 = 0
4–5 3 8 – 5 – 3 = 0
8 – 5 – 3 = 0
8 – 5 – 3 = 0
5–6
10
18 – 8 – 10 = 0
18 – 8 – 10 = 0
18 – 8 – 10 = 0
5–7 1 19 – 8 – 1 = 10
19 – 8 – 1 = 10
19 – 8 – 1 = 10
6–7 1 19 – 18 – 1 = 0
19 – 18 – 1 = 0
19 – 18 – 1 = 0
7–8 4 23 – 19 – 4 = 0
23 – 19 – 4 = 0
23 – 19 – 4 = 0
8–9 5 28 – 23 – 5 = 0
28 – 23 – 5 = 0
28 – 23 – 5 = 0
2.1.3. Анализ критического пути
Критический путь (КП) – последовательность операций, длитель-
ность которых определяет наименьшее время для завершения проекта в целом, т.е. предельно короткое время, за которые все виды работ или операций будут завершены, и проект будет исполнен.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]