Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика построения и применения сетей и графов. Учебное пособие
.pdf
2.1. Методы сетевого планирования и управления
91
Критический путь начинается с первого события и продолжается по
всему сетевому графу, заканчиваясь последним событием. Каждая операция, проводимая на критическом пути, считается критической. Для определения критических операций необходимо проверить выполнение условий:
1. для критической операции i–j ранние и поздние моменты собы-
тий i, а также события j, совпадают;
2. полный резерв операцииi i–j равен нулю.
Полный резерв полезен для выявления критических операций в этом
случае. Критические операции проекта должны быть завершены в срок.
Чем меньше резерв операций, тем важнее его значение. Поскольку задержка любой операции увеличивает время, необходимое для завершения
проекта, руководство проекта должно в первую очередь контролировать
операции, которые имеют решающее значение, т.е. не имеют резервов времени и являются критическими операциями (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Критический путь: 1–4–5–6–7–8–9
Определим критический путь для сетевого графика, изображённого
на рис. 2.2 (отмечен жирными линиями). Операция 5–7 не является критической, так как для неё не выполняется условие: Пj = Рi – Д, т.е. имеется в
наличии полный резерв.
Метод анализа и оценки программ (PERT TIME)
Метод PERT хорошо работает для управления разработкой и реализацией проектов. Этот подход применяется в тех случаях, когда достижение целей проекта зависит от фактора неопределённости.
2. Применение графов и сетей в экономике, бизнесе и управлении
92
В методе PERT используются три характеристики длительности опе-
раций для оценки вероятности операций. Три оценки длительности операции: оптимистическая (a), наиболее вероятная (m) и пессимистическая (b).
Формула для определения среднего времени выполнения операции:
6
b4ma
t
e
++
=
Вероятность выполнения операции за время te составляет 50 %.
Когда определено te для каждой операции, можно определить дли-
тельность выполнения проекта ТЕ. Вероятность окончания всего проекта за
время ТЕ также равна 50 %.
Может случиться так, что ожидаемая длительность выполнения про-
екта не устраивает руководство по тем или иным причинам. Руководство
задаёт в качестве времени реализации проекта время TS, отличное от ТЕ.
Для нахождения вероятности завершения проекта по времени TS
необходимо привести распределение длительности выполнения проекта к
стандартному нормальному распределению. Для этого нужно вычислить
величину Z:
( )
E
T
ES
σTTZ −=
,
где
E
T
- стандартное (среднеквадратическое) отклонение,
=
e
E
tT
Dσ
;
e
t
D
- дисперсия величины te и
2
t
6
ab
D
e
−
=
.
В формуле для
E
T
сумма берётся по операциям, входящим в кри-
тический путь.
По таблице функции стандартного нормального распределения нахо-
дим величину V, соответствующую величине Z. Эта величина, выраженная
в процентах, указывает вероятность реализации проекта за время TS.
Аналогично определяется вероятность достижения и любого собы-
тия проекта за необходимое время. В этом случае берётся критический
путь, приводящий к данному событию.
Пример. Рассмотрим проект, состоящий из 4-х операций:
Оценки длительности всех операций представлены в табл. 2.3.
2.1. Методы сетевого планирования и управления
93
Рис. 2.3. Проект, состоящий из 4-х операций
Таблица 2.3
Оценки длительности операций проекта: оптимистическая (a),
наиболее вероятная (m) и пессимистическая (b)
Опреации (i–j)
a m b
1–2 4 6
8
2–3 3 8 9 3–4 2 4
7
4–5 4 5
6
t
e(1-2)
= (4 + 24 + 8) / 6 = 6;
t
e(2-3)
= (3 + 9 + 32) / 6 = 7,33;
t
e(3-4)
= (2 + 7 + 16) / 6 = 4,17;
t
e(4-5)
= (4 + 6 + 20) / 6 = 5;
( )( )
44,0648
2
)21(
=−=
−e
t
D
;
( )
163)(9D
2
t
3)e(2
=−=
−
;
( )
0,6962)(7D
2
t
4)e(3
=−=
−
;
( )
0,1164)(6D
2
t
5)e(4
=−=
−
;
150,110,6910,44σ
e
T
=+++=
.
Найдём вероятность выполнения этого проекта за время Ts = 21,5.
Z = (21,5 – 22,5) / 15 = – 0,67.
Из таблицы функции стандартного нормального распределения
находим величину V, соответствующую величине Z:
V = 0,5 – 0,25 = 0,25 или V = 25 %
Таким образом, вероятность реализации проекта через 21,5 дней
равна 25 %; иначе говоря, имеется 25 шансов из 100, что проект будет закончен через 21,5 дней.
Найдём вероятность реализации события 4 за 16 дней, т.е. при Ts = 16.
Для расчётов берётся критический путь, приводящий к данному событию:
2. Применение графов и сетей в экономике, бизнесе и управлении
94
Te(4) = 6 + 7,33 + 4,17 = 17,5;
=
e
E
tT
Dσ
;
1,460,6910,44σ
E
T
=++=
;
03,146,1)5,1716( −=−=Z
.
Из таблицы функции стандартного нормального распределения
находим величину V, соответствующую величине Z:
V = 0,5 – 0,3485 = 0,1515 или V = 15 %.
Таким образом, вероятность реализации событий проекта с 1 по 4 за
16 дней равна 15 %.
Анализ экономической реализуемости проекта
с использованием сетевых графиков
С экономической точки зрения оптимизация выполнения проекта заключается в том, чтобы свести стоимость проекта к минимуму при имеющихся ограничениях. Для этого время реализации и стоимость каждой операции определяются таким образом, чтобы суммарные затраты были минимальными.
Для выполнения расчётов необходимо иметь в виду четыре величины, описывающие каждую операцию проекта:
✓ нормальная длительность (НД) операции, которую необходимо
выполнить при использовании имеющихся ресурсов и без привлечения дополнительных средств;
✓ нормальную стоимость (НС), соответствующую нормальной
длительности;
✓ форсированную длительность (ФД) операции, которую необхо-
димо выполнить при наличии дополнительных ресурсов;
✓ форсированную стоимость (ФД) стоимость операции при форси-
рованной длительности.
График на рис. 2.4 отображает зависимость между временем реализации и стоимостью операции. По этому графику можно определить коэффициент стоимости (КС), равный количеству денежных средств, необходимому для уменьшения длительности операции на единицу времени.
В нашем примере:
КС = (ФС – НС) / (НД – ФД);
КС = (400 – 100) / (16-12) = 75 (тыс. ден. ед.).
2.1. Методы сетевого планирования и управления
95
Рис. 2.4. График зависимости между временем реализации
и стоимостью операции
То есть для сокращения срока реализации проекта на 1 неделю тре-
буется в среднем 75 тыс. ден. ед.
Пример. Рассмотрим проект, состоящий из четырёх операций
(рис. 2.5).
Рис. 2.5. Сетевой график проекта
Длительности и стоимости операций приведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Длительность и стоимость операций проекта
Операции
Длительность
(недели)
Стоимость
(тыс. руб.)
нормальная
форсированная
нормальная
форсированная
1–2 6 4
500
800
1–3 3 2
300
500
2–4 4 2
300
400
3–4 6 3
800
1000
Итого:
1900
2700
2. Применение графов и сетей в экономике, бизнесе и управлении
96
Нормальная продолжительность проекта – двенадцать недель. Руководство проекта пришло к выводу, что этот проект может быть завершён в
более короткие сроки. Необходимо определить, какие операции можно
ускорить и на сколько возможно сократить их длительность. Нормальная
стоимость проекта за 12 недель составляет 1 900 тыс. рублей. Если все операции проводятся в форсированном режиме, длительность проекта сократится на шесть недель, а стоимость проекта составит 2 700 тыс. рублей.
Все ли операции должны проводиться в форсированном режиме?
Есть ли смысл сократить общую длительность операций 1–3 и 3–4, поскольку проект не может быть завершён менее чем за 6 недель? Таким образом, у нас есть возможность выбрать, какую из операций 1–3 или 3–4
экономически более целесообразно сократить до форсированной длительности. Рассмотрев коэффициенты стоимости для каждой операции, можно
определить ответ (табл. 2.5).
Таблица 2.5
Коэффициенты стоимости операций
Операции
1–2
1–3
2–4
3–4
KC
75
200
50
66,7
Следует сокращать в первую очередь длительность операции с меньшими затратами на одну сэкономленную неделю. Это – операция 3–4.
В результате длительность операции 3–4 уменьшится до 3-х недель,
а длительность операции 1–3 останется без изменения. Длительность и стоимость операций после форсирования проекта представлены в табл. 2.6.
Таблица 2.6
Длительности и стоимости операций проекта
после форсирования операции 3–4
Опера-
ции
Сокращение
длительности
(недели) t
Дополнительные
Затраты (тыс. руб)
С = КС + t
Суммарные
Затраты (тыс. руб)
СС = НС + С
1–2 4 300
800
1–3
0 0 300
2–4 2 100
400
3–4 3 200
100
Итого: 600
2500
2.2. Распределение прав и обязанностей в аппарате управления
97
В результате проведенных расчетов при сохранении минимального
срока реализации проекта в 6 недель удалось снизить суммарные затраты
на реализацию проекта с 2 700 тыс. рублей до 2 500 тыс. рублей.
2.2. Распределение прав и обязанностей
в аппарате управления
На основе использования метода СПУ можно рационально распределять ответственность и нагрузку среди сотрудников аппарата управления
любого предприятия или организации, где производственный процесс (или
иной другой) может быть представлен в виде сетевой модели.
Для каждой операции сетевого графика определяется коэффициент
ответственности по формуле:
Кот = 1 – R / (tкр – t
кр(с)
),
где R – полный резерв времени на выполнение данной работы; tкр – общая
продолжительность критического пути; t
кр(с –
суммарная продолжитель-
ность работ критического пути по ветви, в состав которой входит работа,
для которой определяется коэффициент ответственности.
Пример. Определим коэффициент ответственности для каждой операции сетевого графика, представленного на рис. 2.6.
Рис. 2.6. Сетевая модель, критический путь: 1–3–4–5
1. Определим полный резерв времени.
Для этого находим критический путь, который определяет общую
продолжительность работ по графику. Он проходит через события
1–3–4–5 и равен 24 дням (6 + 8 + 10 = 24). Все остальные пути этого графика менее продолжительны. Так путь, проходящий через события
1–2–3–4–5, равен 23 дням, т.е. в запасе у некритических операций этого
пути (1–2 и 2–3) имеется один день резерва (24 – 23 = 1). Путь, проходящий через события 1–2–4–5 имеет резерв 7 дней (24 – (2 + 5 + 10)).
2. Применение графов и сетей в экономике, бизнесе и управлении
98
2. Определим величину t
кр(с)
.
В состав пути 1–2–3–4–5 входят две операции критического пути
(3–4 и 4–5) общей продолжительностью 18 дней. Поэтому для операций
этого пути 1–2 и 2–3 t
kp(c)
= 10. В состав пути 1–2–4–5 входит всего одна
операция критического пути продолжительностью 10 дней. Для операции
2–4 величина t
kp(c)
= 10.
3. Определим коэффициенты ответственности для операций 1–2,
2–3, 2–4.
К
ОТ(1-2)
= 1 – 1 / (24 – 18) = 0,8;
К
ОТ(2-3)
= 1 – 1 / (24 – 18) = 0,8;
К
ОТ(2-4)
= 1 – 1 / (24 – 10) = 0,5.
Для операций 1–3, 3–4, 4–5 КОТ = 1.
Для распределения ответственности по уровням руководства устанавливаются величины Кот по каждому уровню руководства (табл. 2.7):
Таблица 2.7
Коэффициенты ответственности по уровням руководства
№
п/п
Должность
Коэффициент
ответственности
1
Директор
1,0
2
Главный инженер
0,8-0,99
3
Начальник производства
0,6-0,79
4
Начальник цеха
до 0,6
Все оперативные сообщения о ходе выполнения работ будут поступать на соответствующий уровень руководства. Например, информация о
ходе работ по операции 2–4 (Кот = 0,5) должна поступать к начальнику цеха.
Использование рассмотренного математического аппарата, а также
соответствующей функциональной матрицы позволяет создать более рациональную структуру управления и снизить управленческие расходы.
2.3. Численный анализ и сравнительные оценки различных
типов организационных структур управления
Для проведения формализованной оценки организационная струк-
тура управления может быть представлена графом G(X, U), в котором:
2.3. Численный анализ и сравнительные оценки различных типов…
99
X – множество вершин (| X | = p), соответствующее множеству орга-
нов управления;
U – множество рёбер (| U | = q), соответствующее множеству связей
между разными органами управления.
Граф G в общем случае неориентированный, так как между эле-
ментами системы могут устанавливаться двусторонние связи, и описывается квадратной матрицей смежности S размером р, элементами которой являются:
=
0
1
S
ij
,
где Sij = 1 при наличии связи между элементами i и j, и Sij = 0 при её
отсутствии.
На основе матрицы смежности рассчитывается оценка структурной
избыточности системы R:
R = q / (p – 1) – 1 = (ΣSij) / 2(p – 1),
где р – количество элементов системы; q – количество связей между элементами системы; ΣSij – сумма всех элементов матрицы смежности.
Вводимая характеристика является косвенной оценкой экономичности и надёжности исследуемой структуры, определяющей принципиальную возможность функционирования и сохранения связей системы при отказе некоторых её компонентов и связей. Система с большей избыточностью может быть более надёжной, чем система с минимальным количеством связей по отношению к минимальному числу p – 1.
Один и тот же уровень структурной избыточности могут иметь различные типы организационных структур, поэтому подобная интегральная
оценка не может быть достаточной и должна быть дополнена характеристикой, учитывающей влияние отдельных элементов на связанность системы.
Такую характеристику можно получить, используя показатель неравномерности распределения связей E, определяя вес каждого элемента по числу его
связей с другими элементами. Этот показатель показывает, насколько надёжна
система с точки зрения влияния отказов отдельных компонентов. В качестве
такого показателя можно использовать расстояние между концами исходящих
из начала координат векторов заданного и концами равномерного или среднего распределения весов при определённом количестве связей.
2. Применение графов и сетей в экономике, бизнесе и управлении
100
−=
=
p
1i
2
i
ρ)(ρE
,
где
=
=
p
1j
iji
Sρ
– вес i-го элемента или количество связей у одного элемента
со всеми остальными элементами системы;
pρρ
p
1i
i
=
=
– среднее количе-
ство связей у одного элемента системы.
Система с большей неравномерностью распределения связей E мо-
жет быть менее надёжной, чем система с меньшим значением Е. Система с
одной связью достигает максимального значения неравномерности связей.
Максимальное значение неравномерности (E
max)
связей достигается
в системе, имеющей максимально возможное число «висящих» вершин,
т.е. имеющих одну связь. Для сравнения различных систем по неравномерности связей используют относительную величину: Е
ОТН
= Е / E
maх
. Вели-
чину E
max
определяют по эмпирической формуле:
)/)1(4)1((E
2
max
pppp −−−=
,
где р – количество вершин.
E
ОТН
= 0 в структурах с равномерным распределением связей.
Количество разделяющих связей в системе, отсутствие которых при-
водит к несвязной системе, это ещё один индикатор, используемый для характеристики организационных структур управления.
Для создания дополнительных оценок надёжности организационной
структуры можно использовать дистанционную матрицу D, в которой элементы dij представляют собой минимальное количество связей, соединяющих элементы i и j.
Диаметр системы: d = max dij, эта величина равна самому большому
расстоянию между любыми парами элементов системы.
Структурная компактность Q характеризует общую структурную
близость элементов между собой. Чтобы вычислить этот показатель системы, необходимо найти сумму всех элементов дистанционной матрицы.
=
p
ji,
ij
d Q
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]