Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика построения и применения сетей и графов. Учебное пособие
.pdf
1.3. Эйлеровы графы
51
при его удалении оба имеют последовательность степеней 3, 3, 2, 2, поэтому
они должны быть K4 − e. Таким образом, мы имеем уникальный граф G2.
Остальные графы должны быть 3-связными. Если имеется рёберный
разрез из трёх несмежных рёбер, то порядок расположения компонентов
при их удалении должен быть нечётным, так как в противном случае у них
было бы нечётное число нечётных вершин. Граф должен быть 2-регулярным с порядком 3, т.е. K3. Другой должен иметь последовательность степеней 3, 3, 2, 2, 2. Вершины степени 3 либо являются смежными, либо нет,
что приводит к C5 + e и K
2,3
. Таким образом, мы нашли G3 и G4.
Любой треугольник приводит к одному из рёберных разрезов в
предыдущих двух случаях, поэтому мы рассмотрим графы без треугольников. Если граф двудольный, то каждое множество частей имеет четыре вершины, поэтому каждая вершина не является смежной с другой в другом
множестве. Существует четыре взаимно несмежных ребра, поэтому существует один возможный граф G5, такой, что он является кубическим и двудольным с порядком 8, G5 = Q3.
Если существует не двудольный граф без треугольников, предположим, что он имеет 5 циклов. Остальные три вершины имеют сумму степеней 9, а пять рёбер соединяются с 5-циклом. Между тремя вершинами
должно быть два ребра, чтобы они индуцировали P3. Два ребра от конца
пути соединяются с несмежными вершинами в 5-цикле (иначе получился
бы треугольник). Это оставляет только один вариант. Окончательный граф
G6 можно представить в виде лестницы Мёбиуса. Обратите внимание, что
если граф содержит 7 циклов, то конечная вершина примыкает к трём вершинам на нем, создавая меньший нечётный цикл. На рис. 1.31 показаны
шесть кубических графов порядка 8.
Многие из методов, использованных в предыдущем примере, могут быть применены к кубическим графам в целом.
Изоморфизмы могут быть использованы для описания симметрий графа.
Определение. Автоморфизм G – это изоморфизм от G к G. Граф
является вершинно-транзитивным, если для каждой пары вершин u и v
существует автоморфизм, который отображает u в v. Граф является рёберно-транзитивным, если для каждой пары рёбер e и f существует автоморфизм, который отображает e в f.
1. Теоретические основы построения графов
52
Рис. 1.31. Пример кубических графов порядка 8
В вершинно-транзитивном графе каждая вершина похожа на любую
другую, поэтому утверждение для всех вершин можно доказать, просто
взглянув на одну из них.
Пример. Нетривиальный путь имеет два автоморфизма. Внешне они
будут выглядеть идентично. Это также может быть отражено таким образом, чтобы концы пути менялись местами. Таким образом, нетривиальный
путь имеет два автоморфизма, и только P2 является вершинно-транзитивным. Как P2, так и P3 являются гранично-транзитивными.
Определение. Обозначение f(v): V(G) → R вершин графа G – это
присвоение номеров (меток) каждой вершине. Две надписи различны, если
они не создают один и тот же набор рёбер.
Мы видели в предыдущих разделах, что последовательность степеней
графа важна при рассмотрении изоморфизмов и других проблем. В этом разделе мы рассмотрим, какие последовательности могут быть последовательностями степеней графов, классами графов или уникальными графами.
Определение. Последовательность степеней графа G – это список
его степеней d1, …, dn, обычно записываемый в порядке неубывания,
d1 ≥ … ≥ dn. Графическая последовательность – это последовательность
неотрицательных целых чисел, которая является последовательностью
степеней некоторого графа, которая может определять граф S.
Есть обязательные требования:
1. максимальная степень равна не более n − 1;
1.3. Эйлеровы графы
53
2. согласно первой теореме теории графов, сумма степеней ∑di
должна иметь чётное значение.
Пример. Определите, являются ли следующие последовательности
графическими.
(a) 53321: Нет, первый член слишком велик.
(b) 222211: Да, P6 реализует эту последовательность.
(c) 3322221: Нет, сумма нечётная.
(d) 3311: Это удовлетворяет двум условиям, которые мы перечислили. Однако вершина степени 3 должна быть смежной со всеми остальными вершинами. Если мы удалим эту вершину, оставшийся граф должен
иметь последовательность степеней 200. Но это невозможно, поэтому последовательность не является графической.
Последний пример можно обобщить. Мы показываем, что последовательность является графической тогда и только тогда, когда конкретная
более короткая последовательность является графической. Это облегчает
решение проблемы.
Теорема 19 (теорема Гавела–Хакими)8. Последовательности:
d1 = … = dn являются графическими тогда и только тогда, когда последо-
вательность S1, образованная удалением d1 и вычитанием 1 из следующих
по величине членов d1, является графической.
Доказательство необходимости. Предположим, что существует
граф G1 с последовательностью степеней S1, сформированный, как указано
в теореме. Сформируйте граф G, добавив одну вершину, смежную с вершинами, степени которых были уменьшены. Тогда последовательность S
является графической и определяет граф G.
Доказательство достаточности. Пусть граф G реализуется согласно
последовательности степеней вершин d(vi) = di. Мы хотим, чтобы вершина
v1 была смежной с вершинами со степенями d2, …, d
d1+1
. Если это не так,
мы изменим граф таким образом, чтобы он был таким. Предположим, что
существуют вершины w и x с d(w) > d(x), так что вершина v1 является смежной вершине x и не является смежной вершине w. Тогда есть некоторая
8
Алгоритм Гавела-Хакими / Режим обращения: https://intellect.icu/algoritmgavela-khakimi-dlya-proverki-chto-spisok-nazyvaetsya-graficheskim-12002, (дата об-
ращения 24.07.2023).
1. Теоретические основы построения графов
54
вершина y, которая смежная с w, но не смежная с x, так как d (w) > d (x).
Удалите ребра v1x и yw и добавьте ребра v1 и yx. Это сохраняет степень
вершин неизменными и увеличивает сумму степеней соседей v1. Эта операция увеличивает число соседей v1 с желаемыми степенями, поэтому повторение её в конечном итоге приводит к получению графа G’ с желаемым
свойством. Таким образом, удаление вершины v1 приводит к созданию
графа, который может быть реализован последовательностью S1.
Теорема Гавела–Хакими непосредственно подразумевает алгоритм
определения того, является ли последовательность графической.
Алгоритм проверки графической последовательности. Учитывая не
увеличивающуюся последовательность, итеративно удалите первый элемент ∆ и вычтите 1 из ∆ самых больших оставшихся элементов. Остановитесь, когда в последовательности будут все 0 (в этом случае S является графической последовательностью) или содержится отрицательное число
(в этом случае S не является графической последовательностью).
Обратите внимание, что нам часто придётся изменять порядок последовательностей, чтобы они не увеличивались. Мы можем сократить конечные условия, если более ранняя последовательность, созданная алгоритмом, распознаётся как графическая или как не графическая.
Пример. Чтобы определить, является ли 887664432 графической последовательностью, применяем алгоритм. Находим следующее:
S: 887664432;
S1: 76553321;
S2: 5442210;
S3: 331100;
S4: 20000;
S5: 0,0,–1,–1.
Таким образом, S не является графической последовательностью.
Это может быть обобщено на алгоритм построения графа, реализующего
графическую последовательность.
Алгоритм построения графа по графической последовательности.
Учитывая последовательности не увеличивающейся степени S0, … Sk, полученные по алгоритму проверки последовательности, найдите граф Gk, реализующий Sk. Повторите добавление вершины, степень которой является
1.3. Эйлеровы графы
55
первым членом Si, смежной с вершинами G
i+1
, степени которых были
уменьшены в S
i+1
. Остановитесь, когда будет произведён G0.
Обратите внимание, что граф, созданный с помощью этого алгоритма,
часто не уникален, поскольку иногда существует выбор, к каким вершинам
примыкает вновь добавленная вершина. Кроме того, некоторые графы, такие
как 2P3, не могут быть созданы с использованием этого алгоритма.
Когда несколько графов имеют одинаковую последовательность
степеней, мы можем задаться вопросом, как все они могут быть получены.
Мы используем операцию, содержащуюся в доказательстве теоремы
Гавела–Хакими, которая сохраняет последовательности степеней.
Определение. K-ядро графа G, Ck(G) является максимальным индуцированным подграфом
GH
таким, что δ(G) ≥ k, если оно существует.
Если δ(G) ≥ k, мы говорим, что G – это k-ядро. Граф не содержит k-ядер,
если он не содержит k-ядра. Число вершин в ядре C(v) является наибольшим значением для k таким, что v ∈ Ck(G). Максимальное ядро G индуцируется вершинами с максимальным числом ядер. Ядра графа вложены;
если k > j, то
(G)C(G)C
jk
.
Алгоритм нахождения k-ядра. Введите граф G и целое число k. Повторите шаг удаления всех вершин степени меньше k. Остановитесь, когда
таких вершин больше не будет. Если граф остаётся, то это k-ядро. Если
графа не осталось, то у G нет k-ядра.
Теорема 20. Применение алгоритма нахождения k-ядра графа G даёт
k-ядро G, если оно существует. То есть вершина v находится в k-ядре G
тогда и только тогда, когда она не удалена алгоритмом.
Доказательство необходимости. Все вершины в k-ядре имеют по
крайней мере k соседей в k-ядре. Ни одна из этих вершин не будет удалена
на первой итерации. Если ни одна из них не была удалена после i-й итераций, то ни одна из них не будет удалена и при следующей итерации. Таким
образом, ни одна из них никогда не будет ошибочно удалена.
Доказательство достаточности. Все вершины, не удалённые алгоритмом, имеют степень не менее k в графе, созданном алгоритмом. Таким образом, все они находятся в k-ядре, поэтому ни одна вершина не будет включена неверным образом.
1. Теоретические основы построения графов
56
Мы можем определить последовательность вершин, основанную на
порядке их удаления с помощью нахождения k-ядра графа. Мы также
можем построить граф, последовательно добавляя вершины относительно
небольшой степени.
Определение. Последовательность удаления графа G – это последо-
вательность его вершин, сформированная путём повторения операции удаления вершины наименьшей степени и добавления её к последовательности до тех пор, пока не останется ни одной вершины. Последовательность
построения графа – это обращение соответствующей последовательности
удалений вспять. Граф является k-вырожденным, если его вершины могут
быть последовательно удалены таким образом, что при удалении каждая из
них имеет степень не более k. Вырождение D (G) графа G является
наименьшим k таким, что оно является k-вырожденным.
Пример. Последовательность удаления на приведённом ниже графе
такова: z, t, u, s, v, y, r, w, x. Граф имеет вырождение 2 (рис. 1.32).
Рис. 1.32. Пример 2-вырожденного графа
Следствие теоремы 20. Для любого графа его максимальное число
ядер равно его вырожденности.
Доказательство. Пусть G – граф с вырождением D и максимальным
числом ядер k. Согласно теореме 20, поскольку G имеет k-ядро, оно не
является (k − 1)-вырожденным, поэтому k ≤ D. Поскольку G не имеет
(k + 1)-ядра, оно k-вырожденное, поэтому k = D.
Таким образом, граф G является k-вырожденным тогда и только тогда, когда G не содержит (k + 1) ядер.
Из определения вырождения непосредственно следует, что δ(G) ≤
≤ D(G) ≤ ∆(G). Мы можем охарактеризовать графы, для которых выполняется D(G) = ∆(G).
1.3. Эйлеровы графы
57
Утверждение 11. Пусть G – связный граф. Тогда D (G) = ∆ (G) тогда
и только тогда, когда G является регулярным.
Доказательство необходимости. Если G является правильным, то его
максимальная и минимальная степени равны, так что результат очевиден.
Доказательство достаточности. Пусть D (G) = ∆ (G) = k. Тогда G имеет
подграф H такой, что δ (H) = ∆ (G) ≥ ∆ (H), так что H является k-регулярным.
Если бы H не было всем G, то, поскольку G связно, некоторая вершина H
имела бы соседа не в H, тогда должно выполняться ∆ (G) > ∆ (H) = δ (H) =
= ∆ (G). Но это не так, поэтому G = H, а G является регулярным.
Рассмотрим графы для нижней границы, т.е. графы, у которых
δ (G) = D (G).
Определение. Граф G является k-моноядерным, если D(G) = δ(G) = k.
Граф является моноядерным, если он является k-моноядерным для некоторого k.
Обратите внимание, что 0-моноядерные графы – это в точности пустые графы, а связанные 1-моноядерные графы – в точности нетривиальные деревья. Обычные графы являются моноядерными. На самом деле,
почти все классы графов, которые мы рассматривали до сих пор, были
моноядерными.
Один класс максимальных k-вырожденных графов особенно важен.
Определение. K-дерево – это граф, который может быть сформирован, начиная с K
k+1
и повторяя операцию создания новой вершины, смеж-
ной со всеми вершинами k-клики существующего графа. Клика, используемая для начала построения, называется корнем k-дерева.
Пример. Приведённый ниже граф представляет собой 2-дерево
(рис. 1.33). Корнем может быть любой треугольник.
Рис. 1.33. Граф 2-дерево
Легко видеть, что k-дерево является максимальным k-вырожденным. Класс 1-деревьев – это просто класс деревьев. Однако k-деревья и
максимальные k-вырожденные графы не эквивалентны при k ≥ 2. Любой
1. Теоретические основы построения графов
58
максимальный k-вырожденный граф содержит k-дерево некоторого порядка, но это может быть не весь граф. Одна из характеристик максимального k-вырожденного графа, которые являются k-деревьями, включают в
себя хордовые графы. Другая характеристика включает подразделения.
Теорема 21. Максимальный k-вырожденный граф является k-дере-
вом тогда и только тогда, когда он не содержит разбиения на K
k+2
.
Доказательство необходимости. Пусть G – k-дерево. Конечно, K
k+1
не содержит деления на K
k+2
. Предположим, что G – контрпример мини-
мального порядка с вершиной v степени k. Тогда G − v – это k-дерево без
разбиения на K
k+2
, поэтому разбиение в G содержит v. Но тогда v не является одной из k + 2 вершин степени k + 1 в подразделении, поэтому она
находится на пути P между двумя такими вершинами. Пусть его соседями
по P будут u и w. Но поскольку соседи v образуют клику, uw ∈ G − v, поэтому путь P мог бы не проходить через v, поскольку G − v имеет подразделение K
k+2
. Это является противоречием.
Доказательство достаточности. Докажем от противного. Пусть
граф G является максимальным k-вырожденным, и не является k-деревом.
Поскольку G строится, начиная с k-дерева, для данной последовательности
построения существует первая вершина в последовательности, которая делает G не k-деревом. Пусть v – эта вершина, а H – максимальный k-вырожденный подграф, индуцированный вершинами последовательности построения вплоть до v. Тогда n(H) ≥ k + 3, dH(v) = k, v имеет несмежных
соседей u и w, а H − v – это k-дерево. Теперь существует последовательность по меньшей мере из двух (k + 1)-клик, начинающаяся с одной, содержащей вершину u, и заканчивающаяся одной, содержащей вершину w, так
что каждая пара последовательных (k + 1)-клик в последовательности перекрывается на k-клике. Затем две из этих клик и путь через v приводят к
разбиению на K
k+2
.
Любая k-клика k-дерева может быть корнем, используемым для его
построения. Таким образом, идентификация двух k-клик из двух k-деревьев
приводит к созданию другого k-дерева. Эту операцию можно провести в
обратном направлении, чтобы разделить k-дерево на два или более меньших k-дерева (рис. 1.34).
Определение. S-лепесток графа G является подграфом G, индуцированным набором разрезов S и компонентом G − S.
1.3. Эйлеровы графы
59
Рис. 1.34. Пример разреза по двум вершинам и получение
индуцированных компонентов
Существует простое условие, гарантирующее существование под-
разделения K4 в графе.
Теорема 22. Каждый граф, имеющий не более одной вершины со
степенью меньше 3, содержит подразделение K4.
Доказательство. Мы используем индукцию порядка n. Наименьший
порядок с графом (K4), удовлетворяющим гипотезе, при n = 4, что безусловно, удовлетворяет утверждению теоремы. Предположим, что результат справедлив для всех графов с порядком n’, т.е. 4 ≤ n' < n, а где n – это
порядок G. Если G имеет более одного компонента или блока, то некоторый компонент или конечный блок удовлетворяет гипотезам, и по индукции он содержит подразделение K4. Следовательно, мы можем предположить, что G является 2-связным.
Если G имеет набор разрывов S = {u, v}, рассмотрим лепесток H,
который не содержит ни одной вершины со степенью меньше 3. Если этот
лепесток содержит другой набор разрезов размера 2, рассмотрите новый
набор и лепесток меньшего размера. Таким образом, мы можем предположить, что H не имеет набора разрезов размера 2. Тогда u и v оба имеют по
крайней мере двух соседей в H (иначе замена одного на его соседа привела
бы к другому набору сокращений в H). Если uv ∈ H, то H удовлетворяет
гипотезе индукции. Если нет, то существует u – v-путь вне H, который
можно рассматривать как разделённое ребро.
Если граф G 3-связен, то для любой вершины v граф G − v 2-связен.
Таким образом, G − v содержит цикл C. Поскольку граф G 3-связен, то существует три независимых пути между v и C. Эти пути и C образуют подразделение K4.
Следствие теоремы 22. Если G имеет m > 2n − 3, то G содержит подразделение K4, а графики размера 2n − 3, которые не содержат подразделения K4, являются в точности 2-деревьями.
1. Теоретические основы построения графов
60
Электрические цепи можно моделировать с помощью графиков, где
ребра представляют провода, а вершины – их пересечения. Компоненты
электрической цепи могут быть объединены последовательно (один за другим) или параллельно (рядом друг с другом).
Определение. Последовательно-параллельный мультиграф – это
мультиграф, который может быть построен из K2 путём разделения рёбер
и дублирования рёбер (рис. 1.35).
Рис. 1.35. Пример построения
последовательно-параллельного мультиграфа из К
2
Последовательно-параллельный мультиграф можно рассматривать
как имеющий две выделенные вершины, источник и приёмник, которые
являются начальными двумя вершинами, когда он строится из K2. Ток будет течь от источника к приёмнику. Таким образом, все ребра последовательно-параллельного мультиграфа могли бы быть направлены от источника к приёмнику, но это не обязательно. Последовательно-параллельные
схемы позволяют легко вычислять физические величины, такие как сопротивление. Сопротивления суммируются в последовательных цепях
(R = R1 + R2), в то время как для параллельных цепей (1 / R = 1 / R1 + 1 / R2)
суммируются обратные величины.
Теорема 23. Мультиграф G не имеет K4-разбиения тогда и только
тогда, когда каждый блок G последовательно-параллелен.
Доказательство необходимости. Пусть G последовательно-паралле-
лен, поэтому его можно построить так, как указано в определении. В K2 нет
подразделения K4, и ни одна операция не может его создать. Таким образом, G не содержит K4-подразделения.
Доказательство достаточности. Доказательство проведём от против-
ного. Пусть у G есть блок H, который не является последовательно-параллельным, поэтому δ(H) ≥ 2. Если H имеет повторяющиеся рёбра или вершину степени 2, то его можно построить, используя одну из операций с
графом меньшего размера. Таким образом, мы можем предположить, что
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]