Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и практика построения и применения сетей и графов. Учебное пособие
.pdf
1.4. Раскрашивание графов
71
Если H является полным, то
χ(G) = ω(G) = 1/2 * ( ω(G) + ω(G) ) ≤ 1/2 * ( ω(G) + n + 1− α(G) ) .
Если H не является полным, то α (H) ≥ 2, поэтому
χ(G) ≤ χ(H) + 1 ≤ 1/2 ( ω(H) + n – α(G) + 1 – α(H) ) +
+ 1 ≤ 1/2 ( ω(G) + n – α(G) + 1).
Эта оценка превосходит оценку вырождения для некоторых классов
графов, таких как полные двудольные графы, но уступает ей для многих других. Как отмечалось ранее, провести подобные расчёты будет не всегда легко.
Рассмотрим раскрашивание непересекающегося объединения двух
графиков G и H. Поскольку между двумя графиками нет рёбер, они оба могут быть раскрашены отдельно, а раскраски объединены. Таким образом,
χ(G ∩ H) = max {χ(G), χ(H)}. Аналогично компоненты Gi несвязанного
графа G могут быть раскрашены отдельно, так что χ(G) = maxχ(Gi).
Когда неполный граф имеет единицу связности, он распадается на
несколько блоков.
Утверждение 14. Пусть G – граф с блоками Bi. Тогда χ(G) = maxχ(Bi).
Доказательство. Каждый блок может быть раскрашен отдельно.
Цвета отдельных блоков могут не совпадать в вершинах, которые являются
точками сочленения. Однако граф можно собрать, добавляя по одному
блоку за раз и переставляя цвета в добавленном блоке таким образом,
чтобы указанная вершина, которую он разделяет с остальной частью графа,
имела тот же цвет.
Когда соединение двух графов окрашено, каждый граф может быть
раскрашен отдельно. Тогда никакие цвета не могут повторяться у этих двух
графов, так как соединение имеет ребра между каждой парой вершин в разных графах.
Утверждение 15. Пусть G и H – графы. Тогда χ(G + H) = χ(G) + χ(H).
Этот результат также полезен, когда граф может быть представлен в виде
соединения двух графов. Любая вершина степени n − 1 в графе должна
быть окрашена иначе, чем все остальные вершины.
Изучая экстремальные k-хроматические графы, мы можем лучше
разобраться, почему графу нужны k цветов.
1. Теоретические основы построения графов
72
Определение. Граф является критическим k-хроматичным, когда
χ(G) = k и χ(H) < k для любого правильного подграфа H ⊂ G.
Единственным графом, критическим для 1, является K1. Единствен-
ным 2-критическим графом является K2. 3-критические графы являются нечётными циклами, поскольку граф можно раскрашивать в 2 цвета тогда и
только тогда, когда у него нет нечётного цикла. Не существует известной
характеристики k-критических графов для k > 3. Вместо этого мы будем
определять некоторые свойства этих графов. Из утверждения 14 следует,
что они должны быть двусвязными. Наименьшим нетривиальным случаем
являются 4-критические графы без вершины степени n − 1. Все такие графы
порядков 7 и 8 показаны на рис. 1.44.
Рис. 1.44. Примеры 4-критических графов
Лемма 6. Если график G является k-критическим, то δ(G) ≥ k − 1.
Доказательство. Если бы у G не было (k − 1)-ядра, оно было бы
(k − 1)-окрашиваемым по границе вырождения. Если бы у G была вершина v, не входящая в (k − 1)-ядро, граф G − v мог бы быть окрашен в
(k − 1)-цвет; следовательно, и G является k-критическим.
Однако обратите внимание, что критически k-хроматический граф
не обязательно должен иметь минимальную степень k − 1. Например, граф
Хватала является 4-критическим и 4-регулярным (рис. 1.45)11.
11
Прикладная теория графов / Режим доступа: https://vital.lib.tsu.ru/vital/access/
services/Download/vtls:000667134/SOURCE1, (дата обращения 24.07.2023).
1.4. Раскрашивание графов
73
Рис. 1.45. Граф Хватала
Из леммы 6 следует, что если G имеет 2-ядерное ядро, то χ(G) =
= χ(C2(G)). Это связано с тем, что остальная часть графа (1-я оболочка)
представляет собой лес и требует не более двух цветов. Аналогично мы
находим, что если G имеет 3-ядро, которое не является двудольным, то
χ(G) = χ(C3(G)). Таким образом, задача оптимальной раскраски графа
может быть легко сведена к раскраске его 3-х ядер. Это может привести
к улучшению границы χ G) ≥ n / α(G), поскольку вершины, не входящие
в 3-ядро, могут иметь более низкие степени. Следующая теорема усиливает лемму 5.
Теорема 29. Если граф G является k-критическим, k ≥ 2, то он явля-
ется (k – 1)-рёберно-связным.
Доказательство. Результат, безусловно, справедлив, когда k равно 2
или 3, поэтому предположим, что k ≥ 4 и доказательство проведём от противного, т.е. предположим наоборот, что G не является (k − 1)-реберно-связанным. Пусть V1 и V2 разделяют V(G) так, чтобы между ними было
меньше k − 1 рёбер.
Поскольку G является k-критичным, G1 = G[V1] и G2 = G[V2] являются (k − 1)-окрашиваемыми. Раскрасьте G1 и G2 одним и тем же набором
цветов k − 1. Поскольку G является k-критичным, должно быть какое-то
ребро, пересекающееся с вершинами, окрашенными одинаково.
Пусть U1, …, Ut − цветовые классы G1, так что для каждого i выполняются неравенства 1 ≤ i ≤ t ≤ k – 2, существует по крайней мере одно
ребро, соединяющее Ui и G2. Для каждого i при условии, что 1 ≤ i ≤ t,
существует ki > 0 рёбер, соединяющих Ui и G2, так что ∑ki ≤ k − 2. Если
какая-либо вершина U1 является смежной с вершиной G2 того же цвета,
переставьте цвета так, чтобы цвет U1 был заменён одним из k − 1 – k1 > 0
1. Теоретические основы построения графов
74
неконфликтующих цветов. Повторите тот же процесс для цвета Ui, оставив прежние цвета неизмененными. Это приводит к (k − 1)-раскраске
графа G, что является противоречием.
Насколько большим должен быть размер k-критического графа по-
рядка n? Конечно, лемма 5 подразумевает, что m ≥ n*(k−1) / 2. Но эта граница не является чёткой, поскольку k-критичный граф (k ≥ 4) не является
регулярным, если только n = k. Следующая оценка является более точной.
Теорема 30. Если G – k-критический граф, то k ≥ 3,
)
3k
3k
1(k
2
n
m
2
−
−
+−
.
Можно охарактеризовать максимальные k-хроматические графы.
Если мы исправим k-раскраску графа G и добавим все возможные ребра
между вершинами разного цвета, мы получим полный k-частичный граф
K
n1,...,nk
=
K
n1
+ … +
K
nk
. Таким образом, полные k-частичные графы яв-
ляются максимальными k-хроматическими графами. Далее рассмотрим поиск максимального размера k-хроматического графа.
Определение. Граф однозначно поддается k-раскраске, если любая
k-раскраска приводит к одному и тому же разбиению вершин. Граф однозначно раскрашивается, если любая минимальная раскраска приводит к одному и тому же разбиению вершин.
Добавление рёбер, соответствующих минимальной раскраске графа,
ограничивает возможные минимальные раскраски до тех пор, пока в конечном итоге граф не станет однозначно раскрашиваемым. Таким образом, однозначно k-раскрашиваемые графы представляют собой более крупный
класс, содержащий максимальные k-хроматические графы.
Один из способов создания уникально раскрашиваемого графа состоит в том, чтобы иметь много перекрывающихся клик. Деревья можно
раскрашивать по-разному, так как каждое ребро соответствует 2-клике.
Если граф G однозначно k-раскрашиваем и добавлена вершина v степени
k – 1 так, чтобы она была смежной для вершин во всех цветовых классах,
кроме одного, новый граф является однозначно k-раскрашиваемым. Таким
образом, k-деревья можно раскрашивать уникальным образом. Добавление
вершины со степенью меньше k − 1 даёт более одного возможного цвета
1.4. Раскрашивание графов
75
для этой вершины, поэтому однозначно k-раскрашиваемый граф G имеет
δ(G) ≥ k − 1. Удивительно, но существуют также однозначно 3-раскрашиваемые графы без треугольников. В приведённом ниже примере одно ребро
удалено из графа Хватала (рис. 1.46).
Рис. 1.46. Граф Хватала без одного ребра
Количество k-раскрасок графа (рассматриваемых как разбиения) мо-
жет быть определено с помощью стандартных методов подсчёта. Если
важны конкретные цвета, это число можно умножить на k!
Пример. В университетском студенческом центре есть несколько одинаковых комнат, которые доступны для групповых встреч и мероприятий.
Они не могут быть зарезервированы заранее, но доступны, когда ещё не используются. Два естественных вопроса заключаются в том, какое минимальное количество комнат необходимо и как они должны быть распределены?
Существует естественное решение этой проблемы. Просто
назначьте каждому собранию зал с наименьшим номером, который доступен в момент его начала. Нам понадобятся k комнат тогда и только тогда,
когда k комнат используются одновременно в какой-то момент времени.
Таким образом, в этой особой ситуации хроматическое число равно номеру
клики, и оба они могут быть определены.
Определение. Граф пересечений имеет вершины, представляющие
множества, и ребра между множествами, которые имеют непустые пересечения. Интервальный граф в графе пересечений с множествами, которые
являются интервалами.
Пример. Предположим, что встречи происходят в промежутках:
I1 = [0, 3], I2 = [2, 6], I3 = [3, 8], I4 = [4, 5], I5 = [6, 9], I6 = [7, 10], I7 = [8, 11].
Граф интервалов показан ниже. Его хроматическое число равно 4,
так как он содержит K4 (рис. 1.47).
1. Теоретические основы построения графов
76
Рис. 1.47. Граф интервалов
Любой граф может быть графом пересечений, но интервальные
графы более ограничены.
Утверждение16. Если G – интервальный график, то χ(G) = ω(G).
Доказательство. Используйте экономную раскраску, и упорядочьте
вершины по левой конечной точке интервала. Для каждой вершины новый
цвет необходим только в том случае, если все существующие цвета используются в интервалах, содержащих левый конец следующего интервала. Таким образом, G может быть окрашен в цвета ω(G).
Свойства, показанные выше для интервальных графов, справедливы
и для более широкого класса графов.
Определение. Граф G идеален, если для каждого индуцированного
подграфа H, χ(H) = ω(H). Класс графа G является наследственным, если
каждый индуцированный подграф графа в G также находится в G.
Идеальные графы можно рассматривать как экстремальные графы
для границы χ(G) ≥ ω(G). Условие для индуцированных подграфов необходимо, чтобы избежать тривиальных примеров.
Непустые двудольные графы имеют χ(G) = ω(G) = 2, а двудольные
графы являются наследственными. Таким образом, двудольные графы совершенны. Двудольные графы могут иметь все свои ребра, ориентированные от одного множества к другому, поэтому они содержатся в следующем
классе графов.
Определение. Транзитивная ориентация графа G – это ориентация D,
когда uv и vw являются рёбрами в D, G содержит ребро uw, ориентированное таким образом в D. Граф сопоставимости – это граф с транзитивной
ориентацией.
Пример. Граф сопоставимости на рис. 1.48 (слева) имеет переходную ориентацию (справа).
1.4. Раскрашивание графов
77
Рис. 1.48. Пример графов с транзитивной ориентацией
Утверждение 17. Графы сопоставимости идеальны.
Доказательство. Каждый индуцированный подграф транзитивного
орграфа является транзитивным. Пусть D – транзитивная ориентация графа
сопоставимости G. Конечно, D не имеет цикла. Раскрасьте G, присвоив
каждой вершине v количество вершин на самом длинном пути D, заканчивающемся на v, соответствующей раскраской. Если uv ∈ E(D), то любой
путь, заканчивающийся на u, может быть расширен до v, поэтому они
должны иметь разные цвета. По транзитивности вершины пути в D образуют клику в G, поэтому G может быть раскрашен цветами ω(G).
Какие графы не идеальны? Любой нечётный цикл (кроме K3) имеет
ω(C
2k+1
) = 2 и χ(C
2k+1
) = 3, и поэтому он не идеален. Легко проверить, что
любое дополнение нечётного цикла (кроме K3) также не является совершенным. Таким образом, любой граф, содержащий нечётный цикл или его
дополнение (кроме K3) в качестве индуцированного подграфа, не является
совершенным. Таким образом, когда идеальный граф содержит нечётный
цикл (кроме K3), он также должен иметь ребро, не входящее в цикл, соединяющий две вершины цикла.
Определение. Хорда цикла – это ребро, не входящее в цикл, соеди-
няющее две вершины цикла. Граф является хордальным, если любой цикл
(кроме K3) имеет хорду. Симплициальная вершина – это вершина, соседи
которой индуцируют клику.
Эквивалентно, хордальный граф не имеет индуцированного цикла
(за исключением K3). Любой индуцированный подграф хордального графа
является хордальным.
Деревья – это хордальные графы. Они обладают тем свойством, что
любой минимальный набор срезов представляет собой одну вершину. Это
наблюдение может быть обобщено для характеристики хордальных графов.
1. Теоретические основы построения графов
78
Лемма 7. Любой минимальный набор разрезов хордального графа
индуцирует клику.
Доказательство. Пусть S − минимальное множество срезов хордаль-
ного графа G, и пусть X и Y – компоненты G – S. Если | S | = 1, то результат
очевиден. Предположим, что | S | ≥ 2, и пусть u, v ∈ S. Тогда существуют
(u − v)-путь минимальной длины через X и Y. Объединение их образует
цикл, единственным аккордом которого может быть uv. Таким образом, в
G[S] присутствуют все возможные ребра, так что это клика.
Теорема 31. Граф является хордальным тогда и только тогда, когда он
полный или может быть получен из двух клик меньших хордальных графов.
Доказательство необходимости. Полные графы являются хордаль-
ными, и операция не может создать цикл без хорд, поэтому любой граф,
сформированный таким образом, является хордальным.
Доказательство достаточности. Пусть G является хордальным и не-
полным, и пусть S – минимальный набор сокращений G, который индуцирует клику. Пусть G1 – S-лепесток G, а G2 – объединение всех остальных
лепестков. Оба графа меньше G и являются хордальными, поскольку они
являются индуцированными подграфами. Таким образом, G может быть
сформирован путём определения разреза S, вершины которого принадлежат и G1, и G2 (рис. 1.49).
Рис. 1.49. Хордальные графы
Лемма 8. Каждый хордальный граф либо является полным, либо
имеет по крайней мере две несмежные симплициальные вершины.
Доказательство. Мы используем индукцию порядка n. Результат
очевиден для n = 1. Предположим, что результат верен для графов с числом вершин менее n. Пусть G – хордальный граф порядка n, пусть S –
минимальный набор разрезов, и пусть G1 и G2 – меньшие хордальные
графы, которые перекрываются на S. Тогда они либо полны, либо имеют
по крайней мере две несмежные симплициальные вершины. В полном
графе каждая вершина симплициальна. Теперь G[S] не может содержать
1.4. Раскрашивание графов
79
все G1 (если оно завершено) и не может содержать несмежные вершины,
поэтому по крайней мере одна симплициальная вершина G1 также симплициальна в G. Таким образом, G имеет по меньшей мере два несмежных симплициальные вершины.
Симплициальные вершины со степенью 1 являются листьями.
Предыдущая лемма аналогична тому факту, что нетривиальные деревья
имеют по крайней мере два листа. Наряду с максимальными k вырожденными графами и k-деревьями, связные хордальные графы являются ещё одним обобщением деревьев. Все k-деревья являются хордальными.
Симплициальные вершины хордального графа могут быть последовательно удалены до тех пор, пока не останется только одна вершина.
И наоборот, хордовый граф может быть построен, начиная с K1 и затем добавляя симплициальные вершины. Это позволяет легко найти минимальные раскраски хордальных графов и показать, что они идеальны.
Теорема 32. Граф G является хордальным тогда и только тогда, когда ω(H) =1 + D (H) для всех индуцированных подграфов H в G.
Доказательство необходимости. Мы используем индукцию порядка n.
Результат справедлив, когда n = 1. Предположим, что он справедлив для графов с порядком меньше n, и пусть G является хордальным с порядком n.
Пусть v − симплициальная вершина, и пусть H = G – v. Тогда H имеет
ω(H) = 1 + D(H). Теперь окрестности v – это клика, так что d(v) ≤ ω(H). Таким
образом, добавление v к H может оставить оба ω и D остаются неизменными
или увеличивают их оба на единицу, таким образом, ω(G) = 1 + D(G).
Доказательство достаточности. Доказательство от противного.
Пусть G не является хордальным. Тогда G содержит цикл Cn, n ≥ 4, в качестве индуцированного подграфа. Тогда ω(Cn) = 2 < 3 = 1 + D(Cn).
Следствие теоремы 32. Хордальные графы идеальны, и любая последовательность построения обеспечивает минимальную раскраску.
Доказательство. Для любого графа G ω(G) ≤ χ(G) ≤ 1 + D(G), и раскрашивание G с помощью последовательности построения использует не
более 1 + D(G) цветов. Согласно предыдущей теореме, все это верно.
Другие порядки вершин для хордальных графов также дают минимальные раскраски. Многие классы совершенных графов связаны
между собой.
1. Теоретические основы построения графов
80
На карте можно выделить различные регионы или страны, раскрасив
их по-разному. Использование разных цветов для каждого региона может
быть дорогостоящим, а использование большого количества оттенков будет означать, что некоторые из них будут выглядеть почти идентично. Таким образом, издатель может спросить, каково наименьшее количество
цветов, которыми можно раскрасить любую карту, чтобы регионы, имеющие общую границу, были окрашены по-разному. Мы предполагаем, что
все регионы являются смежными и совместное использование одной точки
не считается как граница. По-видимому, это новый вид раскраски, при котором мы раскрашиваем области плоскости, а не вершины графа. Однако
мы можем смоделировать этот тип раскраски, используя раскраску графов.
Определение. Раскраска карты – это раскраска областей карты, раз-
делённых границами. Двойник карты – это граф с вершинами, представляющими области карты, и рёбрами между областями, которые обозначают
границы между ними.
Таким образом, раскраска карты может быть преобразована в раскраску графа, и многие из методов, которые мы рассмотрели ранее, будут
полезны. Отличительной особенностью двойника карты является то, что
его можно нарисовать на плоскости без пересечения каких-либо рёбер. Это
называется плоским графом. Таким образом, нас интересует, сколько цветов необходимо для раскрашивания плоского графа. Сразу становится
ясно, что может потребоваться четыре, поскольку K4 является плоским.
В задаче о четырех цветах спрашивают, можно ли раскрасить каждый плоский граф четырьмя цветами12. Гипотеза о четырех цветах утверждает, что это верно. Впервые этот вопрос был задан Фрэнсисом Гатри,
выпускником английского колледжа, в 1852 г. Он задал этот вопрос своему
брату Фредерику, который, в свою очередь, предложил его своему профессору Августу Деморгану. Деморган, который известен своими законами
Деморгана в логике, заявил, что, по его мнению, это новая проблема. Он
написал об этой проблеме Уильяму Роуэну Гамильтону, и проблема получила распространение в математическом сообществе. Несмотря на простую
постановку проблемы, она оказалась трудно решаемой.
12
Теорема о 4-красках / Режим доступа: https://mccme.ru/dubna/2016/
notes/buchstaber-slides1.pdf, (дата обращения 25.07.2023).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]