Теория вероятностей и математическая статистика. Математическая статистика. Практикум

j



j



j



j



j





x

где

здесь S боды k;



2

– несмещенная оценка дисперсии 2 с числом степеней сво-

()tk-– квантиль распределения Стьюдента;

1/2





-< или

jj

tkSa

= ( 1,2,...,jm= ), (1.68)

1/2



-

нальный элемент матрицы

()

jj

1

A-, 1 P





=,

jj

a – диаго-

j

=- , Р – доверительная веро-

ятность.

Как было указано выше, если рассматриваемая модель регрессии адекватна, то дисперсия адекватности служит несмещенной оценкой истинной дисперсии эксперимента. Следовательно, в случае адекватности модели в формулу (1.68) в качестве оценки среднего квадратического отклонения S можно подставить корень из дисперсии адек-

ватности

SS= .

ад ад

2

В построенной регрессионной модели (1.61) некоторые коэффициенты могут быть незначимы, т.е. может выполняться гипотеза Н

0

 = . Для проверки этой гипотезы можно найти доверительный

j

интервал для коэффициента

с уровнем значимости . Если этот

0

:

интервал «накрывает» значение 0 коэффициент чае коэффициент

 признается незначимым, в противоположном слу-

значим.

= , гипотеза Н

j

принимается и

0

1.8.4. Задача регрессии для линейной функции

Рассмотрим случай, когда уравнение регрессии (1.61) является линейной функцией

т.е. базисные функции

yx

() 1x

1

=+ , (1.69)

12

= ,

()xx

= . В этом случае система

2

(1.63) имеет вид

ì

ï ï

nxY



ï

12

ï ï

ï í

nnn

ï ï

ï



ååå

12

ï ï

===

111

iii

ï

î

nn

+=

åå

ii

==

11

ii

2

+=

iiii

xYx

,

(1.70)

.

51

x

B

X

-

X

Расчет упростится, если ввести замену

=

и рассматри-

h

вать уравнение

x

-

,

где

=

yB BX B B

=+ =+

12 12

n

1

x

– среднее арифметическое аргументов х; h выбирает-

å

i

n

1

=

i

(1.71)

h

ся из условия, чтобы значения Х были целыми не имеющими общего множителя. Уравнение (1.71) будем называть уравнением с кодиро-

ванным переменным, в отличие от уравнения (1.69) с реальным пере-

n

0

менным. В этом случае

X==å и система (1.70) будет иметь вид

i

1

i

ì

ï ï

Bn Y

ï ï ï

ï í

nn

ï ï

ï

åå

2

ï ï

==

ii

ï

î

n

å

=

,

i

=

1

i

.

=

1

2

xYx

iii

11

Откуда имеем формулы для оценок коэффициентов регрессии

уравнения с кодированным переменным:

n

Y

å

i

1

i

=



=

B

1

,

B

n

YX

å

ii

1

=

i



=

2

å

=

i

. (1.72)

n

2

i

1

Для контроля расчетов удобно воспользоваться свойством откло-

нений ()

YYYx

=-

ii i



экспериментальных результатов

Y от рассчи-

i

танных по оценкам (1.72) значений функции регрессии



()

Yx B Bx

=+ :

12

ii

n

å

i

1

0

Y==

. (1.73)

i

Дисперсия адекватности (1.66) для проверки адекватности линей-

ной регрессионной модели вычисляется по формуле

52

n

X

x

B



å

2

i

Skn

=

==-

ад ад

()

Y



i

1

k

ад

2

;2

. (1.74)

Границы доверительных интервалов для параметров линейной функции регрессии с кодированным переменным (1.71) имеют вид



;();

Btk



=

11 1



1

-

2

S



Btk

n

;().



=

22 2



1

-

2

n

å

i

=

S

1

(1.75)

2

i

Оценки коэффициентов регрессии линейной функции (1.69) с реальным переменным при этом могут быть найдены по формулам





BB



=-

112

;



h

2



2

.

= (1.76)

h

Границы доверительных интервалов для коэффициентов линейной функции с реальным переменным (1.69) имеют вид



ˆˆ

 

= +å

;() ;

11 1



ˆˆ

 

=

;().

22 2

tkS



-

1

2

1

n

tk



-

1

2

hX

2

x

n

22

hX

S

n

å

i

=

i

=

i

1

(1.77)

2

i

1

1.8.5. Задача регрессии для квадратичной функции

Рассмотрим случай, когда уравнение регрессии (1.61) является квадратичной функцией

т.е. базисные функции

yxx

1

=+ + , (1.78)

12 3

() 1x= , 2()xx= ,

2

()xx = . В этом слу-

3

2

чае система (1.63) имеет вид

53

x

ì

x

B

ï

ï ï ï

ï ï

ï í ï

ï ï

ï ï ï

ï

î

nx xY

 

12 3

nn nn

 

åå åå

12 3

== ==

ii ii

11 11

nnnn



åååå

iiiii

123

iiii

1111

====

nnn

++ =

ååå

iii

===

iii

111

++=

ii iii

2342

++=

23

xxYx

2

,

Как и в предыдущем параграфе, сделаем замену

n

1

=

условия, чтобы значения

x

– среднее арифметическое аргументов х; h выбираем из

å

i

n

i

1

=

Х были целыми, не имеющими общего

множителя, т.е. преобразуем уравнение (1.78) к виду

xxx

yB BXBX B B B

=+ + =+ +

12 3 12 3

2

--

hh

æö ç

ç

èø

(1.79)

,

.

x

-

X

=

, где

h

2

÷

. (1.80)

÷

В этом случае

n

å

i

1

X==

i

0

. Кроме того, введем условие

n

å

i

X==

1

3

0

i

Оно будет выполняться, например, в том случае, когда переменная в исходных данных меняется с постоянным шагом. Тогда система (1.79) существенно упрощается:

ì

ï

Bn B x Y

ï

13

ï

ï ï

í ï

ï ï

ï ï ï

ï

î

Bx Yx

nnn

xBx Yx

ååå

iiii

13

iii

111

===

nn

+=

nn

åå

2

ii

11

==

242

+=

2

åå

ii

11

==

2

=

iii

,

(1.81)

.

Решая эту систему, получаем формулы для оценок коэффициен-

тов регрессии уравнения с кодированным переменным (1.80):

54

.

х

nnnn

X

422

YXYX

åååå



B

=

1

⋅- ⋅

ii iii

1111

iiii

====

nn

nX X

åå

11

ii

==



B

=

3

æö

42

ç

-

ç

ii

ç

èø

nnn

nYX X Y

ååå

ii i i

111

===

iii

nn

nX X

åå

==

11

ii

2

÷

22

-⋅

æö

42

ç

-

ç

ii

ç

èø

;

B

2

÷

n

YX

å

ii

i

1

=



=

2

n

å

i

=

;

2

i

1

. (1.82)

Формула (1.73) для квадратичной модели регрессии также имеет место, и ее удобно использовать для контроля расчетов. Дисперсия адекватности (1.66) для проверки адекватности квадратичной функции регрессии вычисляется по формуле

n

å

2

i

1

Skn

=

==-

ад ад

2

()

Y



i

;3

k

ад

. (1.83)

Границы доверительных интервалов для параметров квадратичной функции регрессии с кодированным переменным (1.80) имеют вид

n

4

X

å

i

=



;() ;



=

BtkS

11 1



Btk



=

22 2



BtkS

;() .



=

33 3



-

1

2

;();



-

1

2

nX X

åå

ii



1

-

2

nX X

åå

1

nn

==

11

æö

42

ç

-

ç

ii

ç

èø

S

n

2

X

å

i

=

i

1

2

÷

(1.84)

n

nn

ii

==

11

æö

42

ç

-

ç

ii

ç

èø

2

÷

55

Оценки коэффициентов регрессии квадратичной функции с ре-

x

B



л

альным переменным (1.78) при этом будут

2

æö



 

BB B



=- +

112 3

hh

x

÷

ç

÷

ç

÷

ç

èø

;



B



=-



2

h



2

x

2

3

;

2

h



3





3

.

= (1.85)

2

h

Границы доверительных интервалов для параметров квадратич-

ной функции с реальным переменным (1.78) имеют вид

n

Xn

å

1

=



ˆˆ

 

;() ;

= +

11 1



ˆˆ

;() ;

= +

22 2



ˆˆ

 

=

33 3

tkS



1

-

2

tk

1

;() .

S1 4



-

h

2

tk

-

1

i

nn

nX X

å

i

42

åå

ii

11

==

ii

n

2

X

i

=

1

S



22

h

2

nX X

4

x

4

+

i

4

h

æö ç

-

ç

èø

2

÷

nx

æö

nn

ç

24 2

ç

hn X X

ç

åå

ç

èø

-

ii

==

11

ii

n

nn

åå

==

11

ii

æö

42

ç

-

ç

ii

ç

èø

2

x

n

22

hX

å

=

i

2

æö ç

ç

èø

i

1

(1.86)

2

÷

Задача 1.25. Результаты экспериментов представлены в первых

двух столбцах табл. 1.11. Экспериментальные значения

Y являются

независимыми и равноточными. Построить линейную и квадратичную регрессионные модели.

Таблица 1.11

Условие задачи 1.25 и результаты расчета

x Y

0,2 4,5 –2 –9,0 4 5,3 –0,8 0,64

0,4 7,0 –1 –7,0 1 6,25 0,75 0,56

0,6 8,0 0 0,0 0 7,2 0,8 0,64

0,8 7,5 1 7,5 1 8,15 –0,65 0,42

1,0 9,0 2 18,0 4 9,1 –0,1 0,04

3,0 36,0 0 9,5 10 0 2,30



xX-

=

0,2

0,6

XY

2

X

Y

лин

Y

лин

2

Y

ин

56

Решение

x



Сначала найдем решение задачи регрессии в кодированных значениях переменной

x

-

X

=

, где

h

х (1.71). Введем новую переменную по формуле

n

11

xx

==⋅=

å

n

1

=

i

30,6.

5

Если значения величины

х – 0,6 поделить на число h = 0,2, то получатся целые значения, не

имеющие общего множителя. Поэтому

=

.

0,6

xX-

0, 2

По формулам (1.72) находим оценки коэффициентов линейной регрессии

n

Y

å

i

36

1

=

i



B

===

1

n

5

7,2;

B

n

YX

å

ii

1

=

i



===

2

n

X

å

1

=

i

9,5

0,95.

10

2

i

Получили линейную модель регрессии

7,2 0,95 .YX

=+

лин

По полученной формуле вычисляем значения линейной функции регрессии

ем значений

гласно формуле

Y

при всех значениях аргумента Х, а затем рассчитыва-

лин

YYY

=- отклонения экспериментальных значений



линiii

Y

, полученных по функции регрессии. Контроль, со-

линi

n

0

Y==

å

i

1

, выполнен. Все расчеты приведены в

i

Y от

i

табл. 1.11.

Уравнение линейной регрессии

Y от реального переменного х

найдем, сделав преобразование

0,6

x



Yx x

=+ = + = +

лин 12

7,2 0,95 4,35 4,75 .

-

0, 2

Построим квадратичную модель регрессии (1.80):

0,6 0,6

xx

yB BX BX B B B

=+ + =+ +

12 3 12 3

2

--

0, 2 0, 2

æö ç

ç

èø

2

÷

.

÷

57

n

X





Заметим, что в нашем случае

å

i

X==

1

3

0

, поэтому для оценок ко-

i

эффициентов регрессии можно воспользоваться формулами (1.82). Все расчеты приведены в табл. 1.12.

Таблица 1.12

Результаты расчета квадратичной модели регрессии (к задаче 1.25)

3

–8 18 16 4,8 –0,3 0,09 –1 7 1 6,5 0,5 0,25 0 0 0 7,7 0,3 0,09 1 7,5 1 8,4 –0,9 0,81 8 36 16 8,6 0,4 0,16



0 68,5 34 0 1,4

2

4

YX

Y

кв

Y

кв

2

nnnn

422

XY XYX

åååå

iiii



B

===

1



B

===-

3

⋅- ⋅

ii iii

====

1111

nn

nX X

åå

==

ii

11

æö

42

ç

-

ç

ii

ç

èø

å



B

===

2

nnn

nYX X Y

ååå

iii

22

⋅- ⋅

ii i i

===

111

nn

nX X

åå

==

ii

11

æö

42

ç

-

ç

ii

ç

èø

n

i

=

n

å

i

=

1

YX

ii

X

i

÷

2

÷

9,5

10

2

568,5 1036

2

34 36 10 68,5

⋅-⋅

534 100

⋅-

0,95;

⋅-⋅

534 100

⋅-

0, 25

7,7

;

.

Получили квадратичную модель регрессии

n

Условие

58

å

i

Y==

1

7,7 0,95 0, 25 .YXX

=+ -

кв

0

выполняется.

i

2

Уравнение квадратичной регрессии Y от реального переменного х



найдем, сделав преобразование

Yxx

 

=+ + = + - =

кв 12 3

2,6 12, 25 6, 25 .

=+ -

2

xx

0,6 0,6

xx

7,7 0,95 0,25

--

0, 2 0, 2

2

æö ç

ç

èø

2

÷

Пригодность каждой из полученных регрессионных моделей будет оценена ниже.

Задача 1.26. В задаче 1.25 рассчитаны линейная и квадратичная

модели регрессии. По отдельной независимой серии измерений получена несмещенная оценка дисперсии свободы

k, равным 20. Проверить адекватность линейной и квадра-

тичной моделей регрессии с уровнем значимости

2

S

= 0,32 с числом степеней

 = 0,05.

Решение

Для нахождения дисперсии адекватности (1.66) необходимо вычислить сумму квадратов отклонений результатов эксперимента от функ-

2

Y

ции регрессии

å

для каждой модели регрессии. Для линейной

модели эта сумма равна 2,3 (см. последний столбец табл. 1.11). Число точек, в которых проводился эксперимент, параметров равна

m = 2, тогда k

2

S

ад лин

= 5 – 2 = 3. Дисперсия адекватности (1.74)

ад

= 2,3/3 = 0,767. Для проверки гипотезы об адекватности

n = 5; число оцениваемых

линейной модели вычисляем критерий Фишера (1.67):

2

F =

S / S

ад

(3; 20)F = 3,10. Так как 2,4 < 3,1, то гипотеза об адекватности ли-

0,95

нейной модели принимается с уровнем значимости

= 0,767/0,32 = 2,40. Квантиль распределения Фишера

эксп

 = 0,05.

Адекватность квадратичной модели проверяется аналогично.

2

Y

Сумма квадратов отклонений табл. 1.12) равна 1,4.

2

S / S

ад

2

= 0,7/0,32 = 2,19.

эксп

F =

n = 5; m = 3; k

å

0,95

(см. последний столбец

= 5 – 3 = 2; S

ад

(2; 20)F =

3,49. Так как 2,19 < 3,49,

2

= 1,4/2 = 0,7,

ад кв

гипотеза об адекватности квадратичной модели принимается с уровнем значимости

 = 0,05.

Квадратичную модель в данной задаче строить нецелесообразно. Так как линейная модель оказалась адекватной, ее уточнять не было необходимости.

59

Задача 1.27. В задаче 1.25 получено уравнение линейной и квад-





ратичной модели регрессии. По отдельной независимой серии измерений получена несмещенная оценка дисперсии степеней свободы

k равным 20. Считая результаты экспериментов

2

S

= 0,32 с числом

независимыми, равноточными и подчиняющимися нормальному закону распределения, построить доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов обеих моделей с надежностью

Р = 0,95.

Решение

В задаче 1.25 получена линейная модель регрессии от кодирован-

ной переменной



=+ = +

12

7,2 0,95 .yB BX X

Границы доверительных интервалов (1.75) для коэффициентов

и

В

при этом будут:

2

tk t



== = =

10,975

-

1

0,95 ;B =

22

S

() (20) 2,086 0,52;



n

2



===

2

Уравнение линейной регрессии от реального переменного

Границы доверительных интервалов для коэффициентов β

7,2 ;B=

11

0,32 0,32

55

tk

( ) 2, 086 0,38.



-

1

2

=+ = +

12

S

n

2

X

å

i

1

=

i

4,35 4,75 .yx x

0,32

10

х

и β2

1

находим по формулам (1.77):

ˆ



1



60

() 2,086 0,32 1,24;

=+=⋅+=

tkS



-

1

2

4,75 ; ( ) 2,086 1, 9.

= = = =

222

110,36

n

ˆˆ

x

22

hX

å

i

=

4,35 ;

11

2

n

i

1

tk



-

1

2

ˆ

=

S

n

å

=

i

2

i

1

hX

50,0410

⋅

0,32

0, 2 10

В

1