Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Математическая статистика. Практикум
.pdf
Замечание. Если проверку гипотезы о равенстве дисперсий Н
22
:
0
12
= проводят
при известных математических ожиданиях, то вместо (1.32) используют функцию
критерия
2
где
В этом случае критерий Фишера имеет
ми свободы, т.е.
му, описанному выше, только в формулах (1.33) – (1.35) числа степеней свободы k
k
заменяют на объемы выборок
2
2
S и
S – оценки дисперсии
01
02
F =
(, )Fn n . Гипотезу проверяют полностью аналогично алгорит-
12
22
FSS= , (1.36)
01 02
2
(1.4) при известном математическом ожидании.
F-распределение Фишера с
n и 2n .
1
n и 2n степеня-
1
1
и
Пусть заданы n > 2 независимых выборок из n нормальных генеральных совокупностей (n серий экспериментов). Для проверки ги-
потезы Н
об однородности дисперсий:
0
22 2
12
...
=== можно
n
воспользоваться критерием Кохрена G . В случае равенства чисел
степеней свободы k
22 2
, , ...,
SS S рассматривается отношение наибольшей из этих
сий
12
дисперсий
2
S к сумме всех дисперсий:
max
Согласно критерию Кохрена гипотезу Н
значимости , если
случае. Квантили распределения Кохрена (, )
= k2 = ... = kn ( = k) несмещенных оценок диспер-
1
n
222 2
GS S S S=+++. (1.37)
( ... )
max 1 2
1
-
(,)GG kn
< , и отвергают в противоположном
n
принимают с уровнем
0
Gkn приведены в
p
табл. П8 приложения.
Задача 1.13. В двух сериях независимых экспериментов (двух вы-
борках из нормальных генеральных совокупностей (ГС)) получены
2
несмещенные оценки дисперсии
боды и
2
S = 0,75 с k2 = 20 степенями свободы. Проверить гипотезу о
2
равенстве дисперсий при альтернативной гипотезе
нем значимости
= 0,05.
S = 1,95 с k1 = 15 степенями сво-
1
22
¹ с уров-
12
Решение
Вычислим значение критерия Фишера (1.33) F = 1,95/0,75 = 2,60 и
сравним его с квантилью распределения Фишера по табл. П5 приложения (двусторонний критерий) F
(15; 20) = 2,57. Так как
0,975
F = 2,60 > 2,57, то гипотезу о равенстве дисперсий в двух сериях экспериментов следует отвергнуть.
31
Задача 1.14. Партия чугунных отливок принимается, если дис-
H
H
H
персия контролируемого размера не превышает 0,15 с уровнем значимости 0,01. Из партии отливок произвели случайную выборку объемом n = 46. Оценка дисперсии получилась равной 0,23. Можно ли
принять эту партию отливок, если генеральная совокупность имеет
нормальное распределение?
Решение
2
Объем выборки n = 46;
верить гипотезу
22
> . Математическое ожидание ГС неизвестно. Критерий одно-
0
0
S = 0,23; = 0,01;
22
:
= при альтернативной гипотезе
0
2
= 0,15. Надо про-
0
1
сторонний (правосторонний). Вычислим значение критерия Z по
формуле (1.27):
2
kS
Z
== =
и сравним его с критическим значением
торый найден по таблице квантилей
Так как Z = 69 < 70, то гипотеза
сти
= 0,01 (см. (1.30)) и данную партию отливок можно принять.
45 0, 23
⋅
2
0,15
0
0
69
22
() (45) 70k
2
-распределения (табл. П3).
=»
-
10,99
, ко-
принимается с уровнем значимо-
:
Задача 1.15. Сравнивается точность штамповки деталей на двух
станках. Из продукции первого станка было отобрано 13 деталей,
второго – 15 деталей. Оценки дисперсии этих выборок оказались
равны
2
S = 3,24 и
1
2
S = 1,2. При уровне значимости = 0,05 прове-
2
ряем гипотезу о том, что оба станка обеспечивают одинаковую точность, причем в качестве альтернативной выбираем две гипотезы:
1) станки обеспечивают неодинаковую точность; 2) второй станок
обеспечивает более высокую точность.
Решение
Из условия задачи следует, что математические ожидания выбо-
рок не известны.
1. Вычислим значение критерия F по формуле (1.33):
32
22 22
бол мен 12
/3,24/1,22,7.FS S SS====
Критерий двусторонний, так как альтернативная гипотеза
H
F
Z
22
¹ . Критическое значение критерия F
12
:
1
( , ) (12;14) 3,05.FkkF
1/212 0,975
-
==
2,7 3,05F =< , следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий при-
нимается с уровнем значимости
= 0,05. Принимаем утверждение,
что станки обеспечивают одинаковую точность.
2. Альтернативная гипотеза Н
:
1
> , поэтому критерий одно-
12
22
сторонний, критическая область правосторонняя. Значение критерия
Фишера
22
SS= = 3,24/1,2 = 2,7. Критическое значение критерия
12
Фишера
( , ) (12; 14) 2,53.Fkk F
112 0,95
-
==
2,7 2,53F => , следовательно, гипотезу о равенстве дисперсий от-
вергаем с уровнем значимости
= 0,05 (1.35) и принимаем утвер-
ждение, что второй автомат обеспечивает более высокую точность.
Замечание. Как видно из рассмотренной выше задачи, разные альтернативные
гипотезы могут привести к разным выводам о
H
-гипотезе.
0
Задача 1.16. Для оценки погрешности нового измерительного
прибора на нем была проведена серия измерений эталонной величины (т.е. математическое ожидание было известно). Число измерений
n = 45. Оценка дисперсии оказалась равной 0,21. Прибор считается
годным, если дисперсия не превышает 0,15 при уровне значимости
= 0,05. Можно ли принять прибор в эксплуатацию, если генераль-
ная совокупность нормальна?
Решение
Следует проверить гипотезу Н
0
n = 45 и альтернативной гипотезе Н
2
2
:
=
при
0
2
:
>
1
2
= 0,15;
0
2
. Математическое ожи-
0
2
S = 0,21;
0
дание известно. Критерий односторонний (правосторонний).
Вычислим значение критерия Z по формуле (1.31):
2
2
/
nS=
0
и сравним с критическим значением
четное значение Z = 63 больше критического, поэтому гипотезу Н
45 0, 21 / 0,15 63 =⋅ =
0
22
-
10,95
() (45) 61,7n
==. Рас-
33
0
отвергаем и делаем вывод, что прибор не может быть принят в экс-
плуатацию.
Задача 1.17. До наладки электронных весов на них была проведе-
на серия повторных измерений эталонного образца, состоящая из 15
2
испытаний. Получена оценка дисперсии
S = 0,020. После наладки
01
провели еще 20 испытаний того же образца. Получили новое значе-
2
ние оценки дисперсии
S = 0,012. Можно ли считать, что в резуль-
02
тате наладки весов точность взвешивания увеличилась? Принять
= 0,05. Генеральная совокупность нормальна.
Решение
Надо проверить гипотезу Н
зе Н
n = 15;
1
22
:
> . Математическое ожидание известно.
1
12
2
S = 0,012; 2n = 20. Критерий односторонний (правосто-
02
:
0
= при альтернативной гипоте-
12
2
S = 0,020;
01
22
ронний).
Вычислим значение критерия Фишера по формуле (1.36):
22
01 02
0,020 / 0,012 1, 67FSS== =
и сравним эту величину с критическим значением
( , ) (15; 20) 2, 20Fnn F
112 0,95
-
==,
которое находим по таблице квантилей распределения Фишера (табл.
П4). Поскольку вычисленное значение F меньше критического значения, гипотезу Н
принимаем с уровнем значимости = 0,05.
0
Можно сделать вывод, что точность взвешивания не изменилась.
Задача 1.18. Проведено шесть серий независимых измерений зна-
чений функции в шести точках, по три измерения в каждой. В каждой точке результаты измерений предполагаются равноточными и
распределенными по нормальному закону. При первичной обработке
этих результатов получены следующие несмещенные оценки дис-
2
персии:
2
S = 0,04. Можно ли считать все измерения равноточными при
6
S = 0,04;
1
уровне значимости
34
2
S = 0,26;
2
= 0,05?
2
S = 0,12;
3
2
S = 0,08;
4
2
S = 0,06;
5
Решение
X
X
H
H
Вычисляем отношение (1.37):
G = 0,26/(0,04 + 0,26 + 0,12 + 0,08 + 0,06 + 0,04) = 0,433
и сравниваем его с квантилью распределения Кохрена (табл. П8):
(2; 6) = 0,616. Так как 0,433 < 0,616, то нет оснований отвергать
G
0,95
гипотезу о равноточности всех измерений.
1.7.3. Проверка гипотез о математических ожиданиях
нормального распределения
Пусть задана выборка X1, X2, ..., Xn из генеральной совокупности,
имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием а
2
и дисперсией
Найдена оценка математического ожидания
о равенстве математического ожидания заданному числу.
– некоторое заданное число). Рассмотрим два случая.
(а
0
Первый случай: дисперсия
. Значение математического ожидания неизвестно.
. Проверяем гипотезу
:Haa=
00
2
известна.
Гипотезу проверяется с помощью функции критерия
()
an
-
U
= , (1.38)
0
которая имеет стандартное нормальное распределение, т.е.
1).
u – квантиль стандартного нормального распределения. Рас-
p
смотрим проверку гипотезы
гипотезы
1. Н
.
1
: а ¹ а0. Критерий двусторонний. Гипотеза Н0 принимается
1
при трех вариантах альтернативной
0
N(0;
U
при выполнении неравенства
Uu
в противном случае гипотеза Н
: а < а0. Критерий односторонний (левосторонний). Гипотеза
2. Н
1
принимается при выполнении неравенства
Н
0
Uu
в противном случае гипотеза Н
: а > а0. Критерий односторонний (правосторонний). Гипоте-
3. Н
1
принимается при выполнении неравенства
за Н
0
< , (1.39)
1/2
-
отвергается.
0
> , (1.40)
отвергается.
0
35
X
H
H
X
X
Uu
< , (1.41)
1
-
в противном случае гипотеза Н
Второй случай: дисперсия
отвергается.
0
2
неизвестна.
Гипотеза проверяется с помощью функции критерия
()
an
-
t
= , (1.42)
0
S
которая имеет t-распределение Стьюдента с k степенями свободы, т.е.
()ttk= ; S – оценка среднего квадратического отклонения
число степеней свободы при вычислении оценки
. ( )
tk – квантиль
S
P
(1.6); k –
распределения Стьюдента. Как и выше, рассматриваем проверку гипотезы
1. Н
при трех вариантах альтернативной гипотезы
0
: а ¹ а0. Критерий двусторонний. Гипотеза Н0 принимается
1
.
1
при выполнении неравенства
< , (1.43)
в противном случае гипотеза Н
2. Н
: а < а0. Критерий односторонний (левосторонний). Гипотеза
1
Н
принимается при выполнении неравенства
0
()ttk
> , (1.44)
в противном случае гипотеза Н
3. Н
: а > а0. Критерий односторонний (правосторонний). Гипоте-
1
за Н
принимается при выполнении неравенства
0
()tt k
1/2
-
отвергается.
0
отвергается.
0
()tt k
в противном случае гипотеза Н
< , (1.45)
1
-
отвергается.
0
Пусть заданы две независимые выборки из двух нормальных ге-
неральных совокупностей. Первая выборка имеет объем
N(a
; 1), вторая –
1
n , Х
2
(2)
N(a2; 2). Математические ожидания a1 и
i
n , Х
1
(1)
i
a2 неизвестны.
Проверяем гипотезу о равенстве математических ожиданий
этих двух генеральных совокупностей, т.е. Н
выборке находим оценки математических ожиданий
:
aa= . По каждой
0
12
и
1
. Рас-
2
смотрим два случая.
36
Первый случай: дисперсии 1 и 2 известны.
X
H
Гипотеза проверяется с помощью функции критерия
U
=
12
22
12
nn
12
, (1.46)
+
X
-
функция имеет стандартное нормальное распределение, т.е.
N(0; 1). Рассмотрим различные варианты альтернативной гипо-
U
тезы
1.
.
1
Н
: а
¹ а
1
1
. Критерий двусторонний. Гипотеза Н0 принимается
2
при выполнении неравенства
Uu
в противном случае гипотеза
2.
Н
: а
< а
1
Н
принимается при выполнении неравенства
0
. Критерий односторонний (левосторонний). Гипотеза
1
2
< , (1.47)
1/2
-
Н
отвергается.
0
в противном случае гипотеза
3.
Н
: а
> а
1
за
Н
принимается при выполнении неравенства
0
. Критерий односторонний (правосторонний). Гипоте-
1
2
в противном случае гипотеза
Второй случай: дисперсии
венстве дисперсий принимается.
Uu
> , (1.48)
Н
отвергается.
0
Uu
< , (1.49)
1
-
Н
отвергается.
0
и
12
неизвестны, но гипотеза о ра-
22
22
SSn – несмещенные оценки дис-
12
персий первой и второй выборок. Находим сводную оценку дисперсии
22 2
()()SSkSkkk=+ +.
св 11 22 1 2
Гипотеза проверяется по критерию Стьюдента, функция критерия
XX
-
t
=
S
12
11
+
св
nn
12
(1.50)
37
имеет t-распределение Стьюдента с
H
X
()ttk= .
cв
св 1212
вычислении оценки
SS= . Рассмотрим различные варианты
св св
альтернативной гипотезы
1.
Н
: а
¹ а
1
1
. Критерий двусторонний. Гипотеза Н0 принимается
2
1
2kkknn=+=+- – число степеней свободы при
2
.
при выполнении неравенства
k степенями свободы, т.е.
св
< , (1.51)
в противном случае гипотеза
2.
Н
: а
< а
1
Н
принимается при выполнении неравенства
0
. Критерий односторонний (левосторонний). Гипотеза
1
2
> , (1.52)
в противном случае гипотеза
3.
Н
: а
> а
1
за
Н
принимается при выполнении неравенства:
0
. Критерий односторонний (правосторонний). Гипоте-
1
2
< , (1.53)
в противном случае гипотеза
()tt k
1/2св
-
Н
отвергается.
0
()ttk
св
Н
отвергается.
0
()tt k
1 св
-
Н
отвергается.
0
Рассмотрим примеры проверки статистических гипотез. Во всех
нижеприведенных задачах предполагается, что рассматриваемые генеральные совокупности имеют нормальное распределение.
Задача 1.19. Из продукции цеха выбрано n = 60 отливок, средняя
масса которых составила
= 2,87. При уровне значимости = 0,01
проверить гипотезу о том, что математическое ожидание массы чугунной отливки составляет
альтернативной гипотезы первая
шить задачу в двух случаях: 1) дисперсия известна:
a = 3, причем выдвинуты два варианта
0
Н
: а ¹ а0 и вторая Н1: а < а0. Ре-
1
2
= 0,16 и
2) дисперсия неизвестна, но оценка дисперсии, найденная по той же
2
выборке, равна
S = 0,16.
Решение
1. По формуле (1.38) вычислим функцию критерия
()
xa n
-
U
== »-
0
38
(2,87 3) 60
-
0, 4
2,517
.
Критическая область двусторонняя. В таблице квантилей стан-
дартного нормального распределения (табл. П1) найдем критическое
значение
Н
тезу
принимается с уровнем значимости = 0,01 (см. (1.39)).
0
== . Так как U = 2,517 < 2,576 , то гипо-
1/2 0,995
-
2,576uu
Критическая область левосторонняя. Найдем критическое зна-
чение
гипотезу
==-=- . Так как U = –2,517 < –2,326, то
0,01 0,99
Н
отклоняется с уровнем значимости = 0,01 (см. (1.40)).
0
2,326uu u
2. По формуле (1.42) вычислим функцию критерия
()
Xa n
-
t
== »-
0
S
(2,87 3) 60
-
0, 4
2,517
.
Критическая область двусторонняя. В таблице квантилей рас-
пределения Стьюдента (табл. П2) найдем критическое значение
( ) (59) 2, 66tkt
1 /2 0,995
принимается с уровнем значимости
==. Так как t = 2,517 < 2,66, то гипотеза Н
-
= 0,01 (см. (1.43)).
Критическая область левосторонняя. Найдем критическое значе-
ние
гипотеза
( ) (59) (59) 2,39tk t t
==-=-. Так как t = –2,517 < –2,39, то
0,01 0,99
Н
отклоняется с уровнем значимости = 0,01 (см. (1.44)).
0
Задача 1.20. Номинальный диаметр шариков, изготовленных
станком-автоматом, равен
средний диаметр
d оказался равным 10,4 мм. Используя односто-
ронний критерий при
смотрев два случая: 1) дисперсия известна и равна
d = 10 мм. В выборке из 36 шариков
0
= 0,05, проверить гипотезу Н0: d = d0, рас-
2
= 2,1 мм2;
2) дисперсия неизвестна; оценка дисперсии, определенная по той же
выборке, равна
2
S = 2,1 мм
2
.
0
Решение
Альтернативная гипотеза Н1: d > d0.
1. По формуле (1.38) вычислим функцию критерия
()
dd n
-
U
== »
0
(10, 4 10) 3 6
-
2,1
1, 6 56
.
В таблице квантилей стандартного нормального распределения
найдем критическое значение
== . Так как
10,95
-
1, 645uu
39
U = 1,656 > 1,645, то гипотеза Н
отклоняется с уровнем значимости
0
= 0,05 (см. (1.41)).
2. По формуле (1.42) вычислим функцию критерия
()
dd n
-
t
== »
0
S
-
(10, 4 10) 36
2,1
1, 6 56
.
В таблице квантилей распределения Стьюдента найдем критиче-
() (35) 1,69tkt
ское значение
Н
гипотеза
принимается с уровнем значимости = 0,01 (см. (1.45)).
0
==. Так как t = 1,656 < 1,69, то
10,95
-
Задача 1.21. Цех выплавляет по старой технологии в среднем
1000 кг за смену со средним квадратическим отклонением
= 60 кг.
Новая технология производства в среднем дает 1050 кг за смену с
тем же средним квадратическим отклонением. Можно ли считать,
что новая технология обеспечивает повышение производительности
при уровне значимости
двадцати пяти плавках, проведенных по старой технологии (
= 0,05, имея в распоряжении данные о
n = 25),
1
и данные о двадцати плавках, проведенных по новой технологии
(
n = 20)?
2
Решение
Проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий двух
генеральных совокупностей.
зе
Н
: а
< а
1
; дисперсии
1
2
Н
:
aa= при альтернативной гипоте-
0
12
12 = 22 –
известны. Критерий односторон-
ний (левосторонний). Вычислим функцию критерия (1.46):
XX
--
U
12
== »-
22
12
+
nn
12
Найдем критическое значение
как U = –2,778 < –1,645, то гипотеза Н
мости
= 0,05 (см. (1.48)). Следовательно, можно считать, что новая
1000 1050
11
60
+
25 20
==-=- . Так
отвергается с уровнем значи-
0
2,778
0,05 0,95
.
1, 6 45uu u
технология обеспечивает повышение производительности.
Задача 1.22. Проверить гипотезу о равенстве математических
ожиданий контролируемой массы изделий, изготовленных на первом
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]