Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Математическая статистика. Практикум
.pdf
эксперимента независимы и подчиняются нормальному закону рас-
X
X
;
Na
пределения с одинаковыми параметрами
. Доверитель-
()
i
ные интервалы для параметров нормального распределения находят
следующим образом.
1.6.1. Доверительный интервал для математического
ожидания
С вероятностью P математическое ожидание a принадлежит ин-
тервалу
(; )aX XÎ- +, (1.19)
– если известно, то
un
= , (1.20)
1/2
-
– если не известно, то
где
– оценка математического ожидания (1.3);
-= , (1.21)
среднего квадратического отклонения
матическом ожидании;
распределения;
1/2
u
1/2
()tk
– квантиль распределения Стьюдента с k
-
()tkSn
1/2
SS= – оценка
2
(1.6) при неизвестном мате-
– квантиль стандартного нормального
-
степенями свободы; n – объем выборки; k – число степеней свободы
при вычислении оценки S .
Часто доверительный интервал для математического ожидания
записывают символически:
aX
=. (1.22)
1.6.2. Доверительный интервал для среднего
квадратического отклонения
Доверительный интервал для среднего квадратического отклоне-
ния
при доверительной вероятности P
1
=-
имеет вид:
– если математическое ожидание a известно, то
где
SS
00
S
– оценка среднего квадратического отклонения (1.6) при
0
nn
22
-
1/2 /2
<< , (1.23)
() ()
nn
известном математическом ожидании;
21
– если математическое ожидание a неизвестно, то
X
X
SS
где S – оценка среднего квадратического отклонения
известном математическом ожидании;
kk
22
1/2 /2
-
<< , (1.24)
() ()
kk
2
1/2
-
2
()k
,
()k
– квантили
/2
(1.6) при не-
распределения Пирсона с k степенями свободы; k – число степеней
свободы оценки S .
1.6.3. Доверительный интервал для дисперсии
Доверительный интервал для дисперсии
вероятности P 1
=- , соответственно, находится по формулам:
2
при доверительной
– если математическое ожидание а известно, то
SS
00
22
1/2 /2
-
<< , (1.25)
() ()
nn
nn
222
– если математическое ожидание а неизвестно, то
kk
222
SS
22
1/2 /2
-
<<
() ()
kk
(1.26)
Задача 1.6. Случайная выборка из нормальной генеральной сово-
купности состоит из одного элемента
известно,
= 0,3. Найти доверительный интервал для математи-
=12,7. Значение параметра
ческого ожидания с доверительной вероятностью P = 0,95.
Решение
По формуле (1.20)
нормального распределения,
u = 1,96.
0,975
Замечание. Задача демонстрирует смысл коэффициента . Полуширина доверительного интервала для одного измерения с доверительной вероятностью P = 0,95
приблизительно равна 2 (правило двух сигм).
=
1,96 0,3 » 0.6. По формуле (1.22) 12,7 0,6a =.
u
= , где
1/2
-
= 1 – P = 0,05; 1– /2 = 0,975;
u
– квантиль стандартного
1/2
-
Задача 1.7. Случайная выборка из нормальной генеральной сово-
купности состоит из 16 элементов. По ним найдено среднее арифметическое
=12,56 (1.3). Значение параметра известно, = 0,3.
Найти доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью P = 0,95.
22
Решение
X
По формуле (1.20)
un
= , где
1/2
-
u
1/2
-
=
u = 1,96.
0,975
= 1,96 0,3/
» 0,15. По формуле (1.22) находим
16
12,56 0,15a =.
Задача 1.8. В задаче 1.1 для n = 18 результатов независимых из-
мерений величины заряда электрона q = х
10
–10
были вычислены
= 4,7807 и S = 0,0191. Предполагая, что величины ошибок изме-
рений подчиняются нормальному закону распределения с нулевым
математическим ожиданием (т.е. что систематические ошибки отсутствуют), построить доверительные интервалы для математического
ожидания (истинного значения) заряда электрона q
= a 10
ист
–10
и
среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью
Р = 0,95.
Решение
По формуле (1.21)
находим
()tk- =
1/2
= . Из табл. П2 приложения
t (17) = 2,11.
0,975
= 2,11 0,0191 18 0,0095⋅».
()tkSn
1/2
-
По формуле (1.22) 4,7807 0,0095a =, т.е. с вероятностью
Р = 0,95 выполняется неравенство 4,7712 < a < 4,7902.
Из табл. П3 приложения находим
2
()k
=
/2
2
()k
-
1/2
2
(17) = 7,56;
0,025
2
=
0,975
(17) = 30,2.
По формуле (1.24) получаем
0,0191
17
30,2
<
< 0,0191
17
7,56
,
откуда
0,0143 <
< 0,0287,
т.е. среднее квадратическое отклонение заключено между 0,0143 и
0,0287 с вероятностью 0,95.
23
Задача 1.9. В задаче 1.2 для n = 52 измерений были вычислены
X
приближенно
= 24,70 и S = 0,77. Предполагая, что величины оши-
бок измерения подчиняются нормальному закону распределения с
нулевым математическим ожиданием, построить доверительные ин-
2
тервалы для математического ожидания a и дисперсии
с довери-
тельной вероятностью Р = 0,99.
Решение
Из табл. П2 приложения находим (интерполируя):
()tk- =
1/2
t (51) = 2,68. По формулам (1.21) и (1.22) получаем
0,995
2,68 0, 77 52 0, 29 =⋅ =, откуда a = 24,70 0,29 или 24,41 < a < 24,99.
Из табл. П3 приложения находим (интерполируя):
2
(51) = 28,8;
=
0,005
следует 0,77
2
51/80,7 < 2 < 0,772 51/28,8, откуда 0,375 < 2 < 1,051.
2
()k
-
1/2
2
=
(51) = 80,7. Из формулы (1.26)
0,995
2
()k
=
/2
Заметим, что округлять границы следует в сторону увеличения доверительного интервала, чтобы заведомо обеспечить требуемую
надежность.
Задача 1.10. Для оценки погрешности нового измерительного
прибора на нем была проведена серия повторных измерений эталонной величины (т.е. математическое ожидание было известно). Число
измерений n = 40. По формуле (1.4) была найдена оценка дисперсии
2
S = 0,0216. Предполагая, что измерения имеют нормальный закон
0
распределения, найти доверительный интервал для
с доверитель-
ной вероятностью Р = 0,95.
Решение
Из табл. П3 приложения при числе степеней свободы n = 40 находим
2
()n
=
/2
2
(40) = 24,4;
0,025
2
-
1/2
()n
2
=
(40) = 59,3. По формуле
0,975
(1.24) находим
×
40 / 24, 4 . Окончательно,
0,121 <
0,0216S =»0,147; 0,147 40 / 59,3 < < 0,147×
0
< 0,188.
Задача 1.11. В задаче 1.4 в первой строке табл. 1.5 по n = 5 изме-
рениям была вычислена оценка
тематического ожидания Y
ные интервалы для M(y
24
по этой строке. Построить доверитель-
1
) и с доверительной вероятностью Р = 0,95.
1
, равная S
= 0,19. Найти оценку ма-
1
Решение
Используя формулу (1.7), находим оценку математического ожидания y
выше, что результаты измерения Y
распределения, находим
при х = 20: 1YChU=+ = 8,9 + 0,11/5 = 8,92. Предполагая, как и
1
подчиняются нормальному закону
1i
()tk
=
1/2
-
t (4) = 2,78. По формулам (1.21)
0,975
и (1.22) получаем
табл. П3 приложения находим:
2
(4) = 11,1. Согласно формуле (1.24): 0,19 4/11,1 < < 0,19×
=
0,975
×
4/0,484, откуда 0,114 < < 0,545.
2,78 0,19 5 0, 24 =⋅ = ; M(y1) = 8,92 0,24. Из
2
()k
=
/2
2
(4) = 0,484;
0,025
2
-
1/2
()k
=
Задача 1.12. Решить задачу 1.11, используя для построения дове-
2
рительных интервалов вместо эмпирической дисперсии
танную в задаче 1.4 сводную оценку дисперсии
k
= 19 степенями свободы.
св
S подсчи-
1
2
S = 0,0364 с
св
Решение
Здесь
t (19) = 2,09,
0,975
2
(19) = 8,91,
0,025
2
(19) = 32,9 и поэтому
0,975
все доверительные интервалы значительно уже:
2,09 0,191 5 0,18 =⋅ =, т.е. M(y1) = 8,92 0,18.
0,191
19 / 32,9 < < 0,191 19 / 8,91 , т.е. 0,145 < < 0,279.
1.7. Проверка статистических гипотез
1.7.1. Основные понятия
На практике часто встречаются задачи, в которых необходимо
проверить предположение (гипотезу) о тех или иных свойствах распределения генеральной совокупности, имея в распоряжении случайную выборку (результаты экспериментов). Задачи такого типа
возникают при сравнении параметров различных технологических
процессов или характеристик материалов.
Пусть Х – наблюдаемая случайная величина. Статистической
гипотезой Н называется предположение
относительно параметров
или вида распределения случайной величины Х. Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины Х, в противном случае она называется
25
сложной. Например, предположение о том, что случайная величина
Х распределена по нормальному закону с известными параметрами а,
, является простой гипотезой. Если же высказывается предположе-
ние о том, что случайная величина Х имеет нормальное распределение N(a;
), где (;)a
Î , то это сложная гипотеза. Если вид распре-
деления случайной величины Х известен, но не все его параметры
известны, то гипотеза о значении этих параметров называется пара-
метрической.
Проверяемая гипотеза называется нуль-гипотезой и обозначается
. При постановки нуль-гипотезы сразу ставится альтернативная
Н
0
гипотеза Н
, т.е. то предположение, которое следует принять, если
1
нуль-гипотеза будет отвергнута. Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра
заданному значению
, т.е. Н0: =
0
0
то в качестве альтернативной гипотезы можно рассматривать одну из
следующих гипотез: Н
(1)
1
: <
= 1 , где 1 – заданное значение
0
; Н
(2)
1
1
(3)
: >
¹
; Н
1
0
. Выбор альтернативной
0
¹
:
0
; Н
(4)
1
гипотезы определяется конкретной задачей.
Правило, позволяющее принять или отвергнуть гипотезу Н
в со-
0
ответствии с данными эксперимента, называется критерием. Рассматривается функция критерия – некоторая функция результатов
( , ,..., )
эксперимента
делено при условии истинности гипотезы Н
QX X X , распределение которой вполне опре-
12
n
.
0
Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в
соответствии с которым события с малой вероятностью считаются
невозможными, а события с большой вероятностью – достоверными.
Для этого фиксируется некоторая малая вероятность
, называемая
уровнем значимости. Пусть V – множество значений функции критерия Q. Определяется критическая область V
жества V, в которое функция Q попадает с вероятностью
– подмножество мно-
кр
, и соответствует значениям функции Q, при которых альтернативная гипотеза выполняется наиболее явно. Множество значений V, не принадлежащих критической области, называется областью принятия гипотезы Н
и обозначается Vпр.
0
Проверку статистической гипотезы проводят следующим образом. По заданной выборке вычисляют значение функции Q и рассматривают два случая:
– если вычисленное значение функции Q не принадлежит критической области, гипотеза Н
принимается;
0
,
:
26
– если вычисленное значение функции Q принадлежит критиче-
ской области, гипотеза Н
отвергается, т.е. принимается гипотеза Н1.
0
Положение критической области на множестве значений функции
критерия Q зависит от формулировки альтернативной гипотезы Н
Пусть проверяется параметрическая гипотеза Н
: =
0
0
.
1
; ( )fx –
плотность распределения функции критерия Q при условии, что верна гипотеза Н
, pq – квантиль распределения функции Q.
0
Возможны различные варианты формулировки альтернативной
гипотезы Н
1. Н
:
1
: <
. Критическая область размещается в левом «хвосте»
1
0
распределения функции Q, т.е. удовлетворяет неравенству Q
< q
(рис. 1.4, а).
: >
2. Н
. Критическая область размещается в правом «хвосте»
1
0
распределения функции Q, т.е. удовлетворяет неравенству Q
>
q-(рис. 1.4, б).
1
: ¹
3. Н
1
. Критическая область размещается в обоих «хво-
0
стах» распределения функции Q, т.е. удовлетворяет совокупности
неравенств Q <
q
/2
и Q >
q
1/2
-
(рис. 1.4, в).
В первых двух вариантах критерий называется односторонним,
соответственно левосторонним и правосторонним. В случае третьего
варианта критерий называется двусторонним. Результат проверки
статистической гипотезы может быть ошибочен. При этом различают
ошибки первого и второго рода. Если гипотеза отвергается, в то время как она верна, совершается ошибка первого рода. Вероятность
ошибки первого рода равна вероятности попадания функции Q в
критическую область при условии, что верна гипотеза Н
уровню значимости
ствительности верна гипотеза Н
. Если же гипотеза Н0 принимается, а в дей-
, то совершается ошибка второго
1
, т.е. равна
0
рода. Вероятность ошибки второго рода, как правило, неизвестна, но
известно, что при уменьшении ошибки первого рода
, ошибка вто-
рого рода, как правило, возрастает.
27
а
28
б
в
Рис. 1.4. Расположение области принятия гипотезы H0 и критической
области в случае правостороннего критерия (а), левостороннего
критерия (б), двустороннего критерия (в)
1.7.2. Проверка гипотез о дисперсии нормального
Z
H
Z
распределения
Пусть задана выборка X1, X2, ..., Xn из генеральной совокупности,
имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием а
2
и дисперсией
зу о равенстве дисперсии заданному числу: Н
. Значение дисперсии неизвестно. Проверим гипоте-
2
2
:
=
0
(
0
2
– некото-
0
рое заданное число). Математическое ожидание неизвестно.
Гипотезу проверяют с помощью функции критерия
2
2
/
которая имеет
2
()Zk= .
S
2
-распределение с числом степеней свободы k, т.е.
2
– несмещенная оценка дисперсии
kS=
число степеней свободы оценки
гипотезы при трех различных альтернативных гипотезах
2
2
1. Н
¹
:
1
. Критерий двусторонний. Н
0
, (1.27)
0
2
(1.5);
2
S . Рассмотрим проверку нуль-
.
1
-гипотезу принимают
0
1kn=-
–
при выполнении неравенства
22
() ()kZ k
<< , (1.28)
/2 1 /2
-
в противном случае гипотезу отвергают.
2
2. Н
Н
-гипотезу принимают при выполнении неравенства:
0
2
:
<
. Критерий односторонний (левосторонний).
1
0
2
()Zk
> , (1.29)
в противном случае гипотезу отвергают.
2
3. Н
:
1
Н
-гипотезу принимают при выполнении неравенства
0
2
>
. Критерий односторонний (правосторонний).
0
2
()Zk
< , (1.30)
-
1
в противном случае гипотезу отвергают.
Замечание. Если проверку гипотезы Н0: σ2 =
тическом ожидании, то вместо (1.27) используют функцию критерия
2
где
S – оценка дисперсии
0
объем выборки. Гипотезу проверяют полностью аналогично алгоритму, описанному
выше, только в формулах (1.28) – (1.30) число степеней свободы k заменяют на объем выборки
n .
2
(1.4) при известном математическом ожидании; n –
2
/
nS=
0
2
проводят при известном матема-
0
2
, (1.31)
0
29
Пусть заданы две независимые выборки из двух нормальных ге-
F
F
F
F
неральных совокупностей. Первая выборка имеет объем
N(a
; 1), вторая – 2n , Х
1
(2)
N(a2; 2). Проверить гипотезу о равен-
i
n , Х
1
(1)
i
стве дисперсий этих двух генеральных совокупностей, т.е. Н
22
= . Математические ожидания a
12
неизвестны.
1 и a2
В этом случае по каждой выборке находят несмещенные оценки
дисперсий
22
2
S и
1
1kn=-
соответственно. Гипотезу проверяют по критерию Фише-
2
S с числами степеней свободы
2
11
1kn=- и
ра, функция критерия
22
SS= (1.32)
12
0
:
имеет F-распределения Фишера с k
F =
(, )
kk . Рассмотрим проверку нуль-гипотезы, как и в преды-
12
и k2 степенями свободы, т.е.
1
дущей задаче, при трех различных альтернативных гипотезах Н
22
:
1. Н
¹ . В этом случае критерий Фишера рассчитывают как
1
12
отношение большей по величине оценки дисперсии к меньшей:
Критерий двусторонний. Гипотезу Н
22
бол мен
1FS S=>. (1.33)
принимают при выполнении
0
неравенства
FF k k
< , (1.34)
в противном случае гипотеза Н
пеней свободы большей оценки дисперсии;
(, )
1/2
SS
-
бол мен
отвергается. Здесь
0
k – число сте-
S
бол
k – число степеней
S
мен
свободы меньшей оценки дисперсии.
2. Н
22
:
> . Критерий Фишера равен
1
12
односторонний (правосторонний). Гипотезу Н
22
SS= . Критерий
12
принимают при вы-
0
полнении неравенства
(, )
Fkk
в противном случае гипотезу Н
22
:
3. Н
< . В этом случае следует поменять нумерацию выбо-
1
12
рок и, соответственно, оценок дисперсии
< (1.35)
112
-
отвергают.
0
2
S и
1
2
S и осуществить
2
проверку, как указано в пункте 2.
1.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]