Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Математическая статистика. Практикум
.pdf
и втором станках, если по выборке объема 1n = 20 найдена средняя
X
X
масса
борке объема
изготовленных на втором станке. Оценки дисперсий, найденные по
тем же выборкам, равны соответственно 50 г
венстве дисперсий принята. Уровень значимости
= 198 г изделий, изготовленных на первом станке; по вы-
1
n = 42 найдена средняя масса
2
2
= 193 г изделий,
2
и 64 г2. Гипотеза о ра-
= 0,01. Рассмот-
реть два случая: 1) альтернативная гипотеза: масса изделий первого
станка больше, чем второго; 2) альтернативная гипотеза: массы изделий первого и второго станков различны.
Решение
1.
Проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий двух
генеральных совокупностей Н
: а1 > а2; дисперсии неизвестны. Критерий односторонний (право-
Н
1
:
aa= при альтернативной гипотезе
0
12
сторонний).
Найдем сводную оценку дисперсии
222
где
( ) ( ) (50 19 64 41) / (19 41) 59,57SSkSkkk=+ +=⋅+⋅ +»св,
11 22 1 2
11
119kn=-= ;
22
141kn=-=. Вычислим функцию критерия
(1.50):
XX
--
t
12
== »
11 11
S
+⋅+
св
nn
12
198 193
59,57
20 42
2,384
. (1.54)
По таблице квантилей распределения Стьюдента найдем критическое
значение
1 св 0,99
==, где
-
св 12
19 41 60kkk=+=+=.
( ) (60) 2,390tk t
Так как 2,384 2,390t =<, то принимаем нуль-гипотезу (см. (1.53)) с
уровнем значимости
= 0,01.
2. Проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий при
альтернативной гипотезе Н
: а1 ¹ а2; дисперсии неизвестны. Крити-
1
ческая область двусторонняя. Значение критерия Стьюдента вычисляется, как и в первой части задачи (1.54).
По таблице квантилей распределения Стьюдента найдем критиче-
() (60)2,660tkt
ское значение
1/2св 0,995
-
==. Так как
2,384 2,660t =<, то гипотеза принимается (см. (1.51)) с уровнем
значимости
= 0,01.
41
Задача 1.23. Из двух партий изделий, изготовленных на разных
X
X
X
станках, извлечены две выборки с объемами
n = 12 и 2n = 15. Ре-
1
зультаты представлены в табл. 1.7 и 1.8. При уровне значимости
= 0,02 проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий
контролируемых размеров изделий, изготовленных на первом и втором станках.
Таблица 1.7
Размер изделий, изготовленных на первом станке (к задаче 1.23)
Размер изделий первого станка,
Частота (число изделий),
Размер изделий, изготовленных на втором станке (к задаче 1.23)
Размер изделий второго станка,
Частота (число изделий),
n
1i
n
2i
1i
2i
5,4 5,5 5,5 5,7
2 5 4 1
Таблица 1.8
5,2 5,3 5,4
2 4 9
Решение
Сначала найдем оценки математических ожиданий и дисперсий
для каждой выборки:
4
11
XXn
= = ⋅+ ⋅+ ⋅+ »
1
å
ii
n
1
(5,425,555,645,7 125,53)
=⋅+⋅+⋅+-⋅=
11
1
i
=
1
22
SXnnX
1111
2222 2
(5,425,555,645,7)5,53
;
12
4
æö
1
=-=
ç
ç
å
ç
ç
-
1
n
èø
1
ii
i
=
1
2
÷
÷
1
÷
÷
0,0120.
11
Аналогично:
= 5,35;
2
Проверим гипотезу о равенстве дисперсий Н
тернативной гипотезе Н
2
S = 0,0055.
2
22
:
1
¹ . Найдем значение критерия Фи-
12
22
:
0
12
= при аль-
шера (1.33) (отношение большей оценки дисперсии к меньшей):
22
12
2,18FSS=».
Критическое значение (квантиль распределения Фишера):
42
( 1, 1) (11,14) 3,87Fnn F
1/21 2 0,99
--= = .
-
Так как
F
F
2,18 3,87F =<
, то принимаем гипотезу о равенстве дис-
персий. Найдем сводную оценку дисперсии
22 2
( ) ( ) (0,012 11 0, 0055 14) / (11 14)SSkSkkk=+ += ⋅+ ⋅ +»
св 11 22 1 2
111kn
0,0084» , где
=-=
11
;
22
114kn=-=
Вычислим функцию критерия (1.50):
.
XX
--
t
12
== »
11 11
S
+⋅+
св
nn
12
5,53 5,35
0,0084
12 15
4,901
.
По таблице квантилей распределения Стьюдента найдем критическое
значение
Так как
1/2св 0,99
-
4,901 2, 485t => , то гипотеза Н0 отвергается (см. (1.51)) с
уровнем значимости
==, где
св 12
= 0,02. Делаем вывод, что математические ожи-
11 14 25kkk=+=+= .
( ) (25) 2, 485tkt
дания размеров изделий различаются.
1.7.4. Проверка гипотезы о виде распределения
генеральной совокупности
Если распределение случайной величины Х неизвестно, можно
рассмотреть гипотезу о том, что Х имеет функцию распределения
x . Критерии значимости для проверки таких гипотез называют
()
критериями согласия. Мы рассмотрим два критерия согласия – критерий
Проверяется гипотеза Н
пределения ()
2
(или критерий Пирсона) и критерий 2.
Пусть X
, X2, ..., X
1
выборка наблюдений случайной величины Х.
n –
, утверждающая, что Х имеет функцию рас-
0
x .
Проверку гипотезы Н
с помощью критерия
0
2
проводят следую-
щим образом. По выборке находят оценки неизвестных параметров
предполагаемого закона распределения случайной величины Х. Область возможных значений случайной величины Х разбивают на l
интервалов. Подсчитывают числа n
попаданий результатов экспери-
i
ментов в каждый i-й интервал. Используя предполагаемый закон
распределения случайной величины Х, находят вероятности р
того,
i
что значение Х принадлежит i-му интервалу. Затем сравнивают по-
лученные частоты n
/n с вероятностями рi. Критерий согласия Пирсо-
i
на требует принять гипотезу о пригодности проверяемого распреде-
43
ления с уровнем значимости , если значение взвешенной суммы
(
F
é
ê
ê
ë
квадратов отклонений
ll
(/ ) ( )
2
==
nn p n np
n
ii ii
åå
11
==
ii
меньше квантиля распределения
22
--
pnp
ii
2
-распределения с k = l – 1 степе-
(1.55)
нями свободы, т.е.
22
<
1
,
k
)
-
в противном случае эту гипотезу отвергают, как противоречащую
результатам эксперимента. Если при этом некоторые параметры распределения оценивают по результатам той же выборки, то квантиль
2
-распределения следует брать для k = l – 1 – m степеней свободы,
где m – число оцениваемых параметров.
По критерию согласия
2
оценивают не частоты с вероятностями,
а предполагаемую функцию распределения F(x) с функцией эмпирического распределения F
x
() () ,
xxdx
=
ò
-¥
(x), где
n
ì
0,
XX
ï
ï
ï
Fx inX x X
nii
ï
/, ,
=<£
()
í
ï
ï
ï
ï
î
£
1,
xX
>
1,
+
1
n
, (1.56)
здесь X
, X2, ..., Xn – ранжированные результаты эксперимента (рас-
1
положенные в порядке возрастания).
Критерий согласия
2
требует принять гипотезу о пригодности
проверяемого распределения с уровнем значимости , если значение
величины
n
121
2
=+ -
nFx
ni
12 2
nn
å
=
i
()
1
меньше квантиля предельного распределения величины
роятности 1p
=- , в противном случае гипотеза отвергается, как
2
ù
-
i
ú
(1.57)
ú
û
2
n при ве-
n
противоречащая результатам эксперимента. Упомянутые квантили
можно найти в специальных таблицах [4], для Р = 0,95 и 0,99 квантили равны соответственно 0,461 и 0,742. Предполагается, что проверяемое распределение не содержит неизвестных параметров.
44
Задача 1.24. Проведено n = 100 экспериментов, их результаты
p
разнесены по восьми интервалам, как указано в табл. 1.9. Проверить
пригодность нормального или логарифмически нормального закона
распределения ( = 0,05). Случайная величина Y имеет логарифми-
чески нормальный закон распределения, если логарифм ее значений
имеет нормальный закон распределения.
Таблица 1.9
Исходные данные задачи 1.24 и результаты расчета
y
– yi ni ti
i–1
1,01,4
1,41,8
1,82,6
2,63,4
3,44,2
4,25,0
5,05,8
5,87,4
12 –1,131 –0,3710 12,90 –0,90 0,06
11 –0,848 –0,3018 6,92 4,08 2,41
24 –0,283 –0,1114 19,04 4,96 1,29
23 0,283 0,1114 22,28 0,72 0,02
12 0,848 0,3018 19,04 –7,04 2,60
6 1,414 0,4213 11,95 –5,95 2,96
7 1,980 0,4761 5,48 1,52 0,42
5
100 – – 100 0 12,61
(ti)
0,5000 2,39 2,61 2,85
np
ni – npi (ni – npi)2/npi
i
Решение
Проведя первичную обработку результатов эксперимента, опре-
делили среднее значение
Y = 3 и эмпирическую дисперсию
2
S = 2.
y
Вероятности для нормального распределения вычисляем по формуле (1.17):
=-
ii i
, где (3)2
1
-
ty=- , (t) – интеграл
ii
() ( )
tt
вероятностей (см. табл. приложения [2]). Результаты расчета приведены в правой части табл. 1.9. Крайние интервалы для расчета нормального распределения следует считать бесконечными, поэтому
полагаем t
чения р
2
= 12,61, превосходит квантиль 11,07 для Р = 0,95 и k = 8 – 3 = 5.
n
= –, (t0) = – 0,5, t8 = +, (t8) = 0,5. Вычисленные зна-
0
умножаем на 100. Сумма чисел последнего столбца, равная
i
Поэтому гипотезу о пригодности нормального закона отвергаем.
Для проверки пригодности логарифмически нормального распределения, т.е. нормального закона распределения логарифмов величины у, прологарифмируем полученные в эксперименте значения у,
обозначив их lny = x, и проведем весь расчет со значениями величи-
ны Х. Первичная обработка
1X= и эмпирическую дисперсию
= (xi – 1)/0,45, результаты расчета приведены в табл. 1.10.
t
i
этих значений дает среднее значение
2
S = 0,20. Здесь полагаем
X
45
х
x
x
– хi ni ti
i–1
00,336
0,3360,588
0,5880,956
0,9561,224
1,2241,435
1,4351,609
1,6091,758
1,7582,001
Таблица 1.10
Результаты расчета (к задаче 1.24)
np
(ti)
12 –1,476 –0,4300 7,00 5,00 3,57
11 –0,916 –0,3202 10,98 0,02 0,00
24 –0,098 –0,0390 28,12 –4,12 0,60
23 0,498 0,1908 22,98 0,02 0,00
12 0,967 0,3332 14,24 –2,24 0,35
6 1,353 0,4120 7,88 –1,88 0,45
7 1,684 0,4539 4,19 2,81 1,88
5
100 – – 100 0 6,88
0,5000 4,61 0,39 0,03
ni – npi (ni – npi)2/npi
i
Здесь
2
= 6,88 оказывается меньше соответствующей квантили
n
11,07, и поэтому нет оснований отвергать гипотезу о пригодности
логарифмически нормального распределения для описания результатов эксперимента.
1.8. Регрессионный анализ. Построение линейной
и квадратичной регрессионных моделей
1.8.1. Оценка коэффициентов регрессии
Важной задачей математической статистики является получение
функциональной зависимости одной величины (y) от другой (х) по
результатам эксперимента. Будем считать, что функциональная зависимость между величинами, называемая в дальнейшем моделью, известна из предварительных сведений с точностью до параметров
, ,...,
и имеет вид
12
m
( , , ,..., )
yfx= . (1.58)
12
m
Для отыскания неизвестных параметров проведено n наблюде-
(,)
Y
ний
, где 1,2,...,in= . Но так как результаты наблюдений не
ii
свободны от погрешностей измерений, которые мы будем рассматривать как случайные ошибки, то по ним нельзя точно найти искомые параметры. Поэтому приходится ставить задачу об отыскании не
значений параметров, а их оценок по результатам эксперимента.
Будем предполагать, что значения аргументов
а значения функции
Y – взаимно независимые случайные величины,
i
известны точно,
i
46
включающие случайные ошибки
Z
x
x
x
где
, т.е.
i
( , , ,..., )
Yfx Z
ii mi
=+,
12
() 0
MZ = ; 2() ()
i
DZ DY
==. (1.59)
ii
Здесь предполагаем, что измерения равноточны. Для оценок пара-
, ,...,
метров
12
качестве оценок этих параметров принимают значения
используется метод наименьших квадратов. В
m
, , ...,
12
m
при которых имеет минимум функция (МНК-оценки)
n
( , ,..., ) ( ( , , ,..., ))
QYfx
12 12
=-
å
mii m
=
i
1
2
. (1.60)
Уравнение (1.58) называют уравнением регрессии, а отыскание
оценок параметров и исследование получаемых моделей – регресси-
онным анализом.
Будем рассматривать уравнения регрессии, линейные относитель-
, ,...,
но оцениваемых параметров
Функции
( , , ,..., )
yfx =
12
( ), ( ),..., ( )
12
m
xx называют базисными функциями,
их рассматривают на множестве точек
:
12
=+ ++ . (1.61)
11 2 2
m
m
() () ... ()
xx
{ , ,..., }
xx, где n – число
12
mm
n
экспериментов. Функция Q (1.60) в этом случае запишется в виде
n
(, ,..., ) ( () () ... ())
QYxxx
12 11 22
=- - --
å
mii immi
=
1
i
2
. (1.62)
Для нахождения минимума найдем частные производные функ-
( , ,..., )
Q по переменным
ции
12
m
, ,...,
и приравняем их к
12
m
нулю (необходимые условия минимума функции). Получим систему
уравнений
ì
ï
Q
¶
ï
ï
ï
¶
ï
1
ï
ï
ï
Q
¶
ï
ï
ï
¶
í
2
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
Q
¶
ï
ï
ï
¶
ï
m
î
n
Yx x xx
2 ( () () ... ()) () 0,
=- - - - - =
å
i
=
n
2 ( () () ... ()) () 0,
=- - - - - =
å
i
=
ii immii
1
1
11 2 2 1
Yx x xx
ii immii
11 2 2 2
.............
n
Yx x xx
2 ( () () ... ()) () 0,
=- - - - - =
å
=
i
11 2 2
ii immimi
1
,
47
которую после преобразований можно записать в виде
x
x
x
j
nn n n
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
2
() () () ... () () (),
åå å å
11 2 1 2 1 1
11 1 1
ii i i
== = =
nnnn
åååå
11 2 2 2 2 2
1111
iiii
====
nnn
ååå
11 2 2
111
===
iii
+++=
iiimimiii
xx xxYx
() () () ... () () (),
ii i m imi ii
xx xx
() () () () ...
imi imi m
Следовательно, оценки параметров
xx x x Yx
n
å
i
=
2
............
2
() ().
1
mi imi
, ,...,
12
Yx
=
являются решени-
m
+++ =
+++
(1.63)
ями линейной алгебраической системы m уравнений (1.63).
Введем обозначения:
n
() () ( , )
xx
å
i
=
iki jk
1
=
n
Yx Y
;
å
ik i k
i
1
=
() (, )
=
,
тогда система (1.63) запишется в виде
ì
( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ),
ï
111 2 1 2 1 1
ï
ï
ï
( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ),
112 2 2 2 2 2
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
(,) (,)... (,)(,).
ï
11 2 2
ï
î
+++ =
+++ =
mm
mm
Y
Y
............
+++ =
mmmmmm
Y
С использованием следующих матричных обозначений:
æö
(,) (, )...(, )
11 1 2 1
ç
ç
ç
(, ) ( , )...( , )
ç
12 22 2
ç
=
A
ç
ç
... ... ... ...
ç
ç
ç
ç
(, )( , )...( , )
èø
12
mm mm
m
÷
÷
÷
÷
m
÷
÷
– матрица коэффициентов при
÷
÷
÷
÷
÷
÷
неизвестных,
æö
(, )
Y
ç
ç
ç
(, )
Y
ç
ç
Y
=
ç
ç
...
ç
ç
ç
ç
(, )
Y
èø
m
1
÷
÷
÷
÷
2
÷
÷
– вектор правых частей,
÷
÷
÷
÷
÷
÷
æö
ç
ç
ç
ç
ç
=
ç
ç
ç
ç
ç
ç
èø
1
÷
÷
÷
÷
2
÷
÷
– вектор параметров,
÷
÷
...
÷
÷
÷
÷
m
система (1.63) принимает вид
AY
= . (1.64)
48
При условии, что А – невырожденная матрица, решение системы
M
Z
(1.64) можно записать в виде
1
-
AY
где
=
æö
÷
1
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
ç
÷
– вектор МНК-оценок параметров регрессионной моде-
ç
÷
÷
ç
...
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
m
= , (1.65)
ли (1.61).
Оценки параметров линейной регрессии, получаемые по методу
наименьших квадратов, имеют следующие свойства:
1) они являются линейными функциями результатов наблюдений
Yi n= , и несмещенными оценками параметров, т.е.
, 1, 2,...,
i
==
( ) , 1,2,..., ;
jj
jm
2) они имеют минимальные дисперсии в классе несмещенных
оценок, являющихся линейными функциями результатов наблюдений.
1.8.2. Проверка гипотезы об адекватности
регрессионной модели
Регрессионная модель называется адекватной, если предсказанные по ней значения переменной Y согласуются с результатами эксперимента. Если модель адекватна, то отклонения результатов экспе-
римента от полученной функции регрессии ()
реализациями случайных ошибок эксперимента
YYYx=- являются
ii i
, которые, в силу
i
предположений (1.58), должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевыми средними и
2
одинаковыми дисперсиями
. Проверка выполнения этих предпо-
ложений осуществляется статистическими методами и лежит в основе оценки адекватности модели регрессии.
Для проверки адекватности регрессионной модели вычисляют
остаточную дисперсию (так называемую дисперсию адекватности)
по формуле
n
å
2
i
Sknm
=
==-
ад ад
()
Y
i
1
k
ад
2
;
, (1.66)
49
где iY – отклонения результатов экперимента Yi от проверяемой
j
а
F
модели регрессии; k
– число степеней свободы дисперсии адекват-
ад
ности; n – число точек, в которых проводился эксперимент; m – число оцениваемых параметров
в проверяемой модели.
Если истинная функция регрессии имеет тот же вид, что и рассматриваемая модель (например, так же, как и модель, представляет
собой квадратичную функцию), то дисперсия адекватности служит
несмещенной оценкой истинной дисперсии эксперимента и ее можно
сравнивать с другими подобными оценками. В частности, может
быть проведена независимая серия
дисперсии эксперимента S
персию эксперимента D
эксп
2
эксп
,
измерений для получения оценки
. В этом случае S
2
S характеризует степень отклонения
ад
2
оценивает дис-
эксп
экспериментальных точек от регрессионной модели, т.е. оценивает
некую дисперсию адекватности D
заключается в проверке гипотезы Н
гипотезе Н
1
: D
ад
> D
(если модель неадекватна, отклонения экспе-
эксп
. Проверка адекватности модели
ад
0
: D
ад = Dэксп
при альтернативной
риментальных точек от модели будут больше погрешностей эксперимента). Таким образом, задача сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий, которая решается с помощью критерия Фишера.
Вычисляем отношение
2
F =
S
2
/ S
. (1.67)
эксп
д
Если при заданном уровне значимости
(, )
меньше квантили
kk-, где k1 = kад, k2 = k
112
отношение F окажется
, то рассматривае-
эксп
мая модель не противоречит результатам эксперимента и принимается; в противоположном случае модель отвергается с уровнем значимости
, как противоречащая результатам эксперимента.
1.8.3. Построение доверительных интервалов
для коэффициентов регрессии
Оценки параметров регрессии
, определяемые формулами
j
(1.65), являются точечными оценками истинных значений параметров
. Если результаты экспериментов независимы и подчиняются
j
нормальному закону распределения с дисперсией
ный интервал с доверительной вероятностью P
параметра
50
можно определить неравенством
j
2
, то доверитель-
1=- для каждого
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]