Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
61
Вопросы для самоконтроля
1. Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).
2. Оценки качества.
3. Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
4. Оценки качества.
5. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ).
62
14. Алгебраические критерии устойчивости АСР
Для суждения об устойчивости АСР необходимо знать численные
значения корней характеристического уравнения. Достаточно иметь
представление о знаках корней.
Признаки, позволяющие судить о знаках корней
характеристического уравнения без решения самого уравнения,
называются критериями устойчивости.
В 1876 году проф. Вышнеградский нашел условия, при соблюдении
которых АСР 3-го порядка будет устойчива. Для этого необходимо и
достаточно:
1) Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть
положительными, т.е. для уравнения вида:
0
01
2
2
3
3
=+++ арарара
должны соблюдаться условия:
;0а при 0а ,0а ,0
3012
а
2) произведение средних коэффициентов характеристического
уравнения должно быть больше произведения крайних коэффициентов, т.е.
3012
аааа
Пример
Дана АСР с передаточной функцией
13.04.11.0
158.0
)(
23
зам
+++
+
=
ррр
р
рW
Определить устойчивость АСР.
1)
;0а при 0а ,0а ,0
3012
а
2)
42.03.04.1а ;1.011.0
2130
==== ааа
т.е.
3012
аааа
, следовательно, АСР устойчива.
63
Общий метод суждения о корнях характеристического уравнения
был предложен в 1877 году Гауссом и в 1895 году Гурвицем. Последний
сформулировал условия устойчивости системы в форме определителей,
состоящих из коэффициентов характеристического уравнения.
Для устойчивости линейной АСР n-го порядка необходимо и
достаточно, чтобы были положительными «n» определителей,
составленных из коэффициентов an, a
n-1
,….., a0 характеристического
уравнения данной системы.
0a при 0
n01
1
1
=++++
−
−
apapapa
n
n
n
n
по следующему правилу
2
31
2
11
−
−−
−
=
=
nn
nn
n
aa
aa
a
64
024
13
02
2
31
42
531
32
531
642
7531
4
31
42
531
3
000
0000
0000
0000
0000
000
000
0
0
0
aaa
aa
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaa
aa
aaa
aaa
nn
nn
nnn
nnn
n
nnn
nnn
nnnn
nnnn
nn
nnn
nnn
=
=
=
−
−−
−−
−−−
−−
−−−
−−−
−−−−
−−
−−
−−−
где
n
...... , ,
21
- определители системы (определители Гурвица).
Система 1–го порядка.
0а при ,0
101
=+ apa
Составляем определитель Гурвица:
01
a=
Следовательно, система 1-го порядка устойчива, если все
коэффициенты характеристического уравнения положительны.
Система 2-го порядка
65
01
02
1
211
201
2
2
0
;
0а при ,0
аа
аа
а
а
apaра
===
=++
а2>0 – по условию
а1>0, т.к.
011= а
- по определению критерия
а2>0, т.к. чтобы
0
102
= аа
при а1>0 требуется чтобы и а0>0.
Следовательно, система 2–го порядка устойчива, если все
коэффициенты характеристического уравнения положительны.
Система 3-го порядка
12
02
13
02
3
3021
13
02
221
201
2
2
3
3
0
0
0
;
0а при ,0
а
аа
аа
аа
аааа
аа
аа
а
apaрара
=
=
−===
=+++
Система 3-го порядка устойчива, если все коэффициенты
характеристического уравнения положительны и, кроме того (см. критерий
Вышнеградского):
3021
аааа
Система 4-го порядка устойчива, если все коэффициенты
характеристического уравнения положительны и, кроме того
2
304
2
1321
а аааааа +
Пример: Дано характеристическое уравнение АСР 4-го порядка:
1;7;15;2;10
0
01234
01
2
2
3
3
4
4
=====
=++++
ааааа
арарарара
Определить устойчивость АСР.
66
Решение. Т.к. все коэффициенты положительны, необходимое
условие устойчивости выполнено.
Проверим дополнительные условия для АСР 4-го порядка.
4904210
710212157
а
22
2
14
2
30321
+
+
+ аааааа
Все вышеописанные критерии устойчивости являются
алгебраическими, т.к. представляют собой алгебраические неравенства,
связывающие между собой коэффициенты характеристического уравнения.
Эти критерии удобны для исследования систем невысокого порядка.
Однако с повышением порядка управления выше 5-го применение этих
критериев делается затруднительным. В подобных случаях используются
частотные критерии, которые обладают большей наглядностью.
Вопросы для самоконтроля
1. Понятие устойчивости системы.
2. Виды устойчивости.
3. Алгебраические критерии устойчивости.
4. Построение матрицы Гурвица и определение минора.
67
15. Частотные критерии устойчивости Найквиста
Для того, чтобы замкнутая АСР была устойчива, необходимо
соблюдение следующих условий:
1. Если АСР устойчива в разомкнутом состоянии, то АФХ
разомкнутой системы,
)(
раз
jW
, полученная при изменении
+ до - от
, не должна охватывать точку (-1, j0).
2. Если АСР неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет «К»
корней в правой полуплоскости, то АФХ разомкнутой системы,
)(
раз
jW
при изменении
+ до - от
должна «К» раз
охватывать точку с координатами (-1,j0), т.е. угол поворота
вектора
)(
раз
jW
должен быть
к
2
.
Примеры АФХ устойчивых и не устойчивых АСР.
1. Системы устойчивы в разомкнутом состоянии (К=0).
Рис.38. Устойчивые статические АСР.
68
а) б) в)
Рис.39. Примеры устойчивых и неустойчивых АСР.
Системы неустойчивы в разомкнутом состоянии
).0( К
Более удобна на практике измененная формулировка критерия
Найквиста.
Замкнутая система будет устойчива, если при изменении
+ до - от
разность между числами положительных и
отрицательных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через
отрезок вещественной оси
)1,( −−
равна К/2, где К-число правых корней
характеристического уравнения разомкнутой системы.
При этом считается, что если АФХ разомкнутой АСР при
0=
начинается на отрезке
)1,( −−
, то это соответствует +1/2 или -1/2
пересечения отрезка в зависимости от того, вверх (-) или вниз (+) от
вещественной оси пойдет АФХ при возрастании
.
Рис.40. Примеры устойчивых и неустойчивых АСР.
69
Рис.41.Примеры устойчивых и неустойчивых АСР.
Число пересечений отрезка
)1,( +−
равно +1+1-1=+1. Тогда К/2=+1,
а число правых корней К=2, чтобы замкнутая АСР была устойчива.
При
).2( К
-неустойчива.
Вопросы для самоконтроля
1. Что значит неустойчивая САУ.
2. Как определяется устойчивость САУ по Ляпунову.
3. Что значит критерий устойчивости.
4. Критерий устойчивости Рауса.
5. Критерий устойчивости Гурвица.
6. Как выделяются миноры Гурвица.
7. Критерий устойчивости Найквиста.
8. Как может проходить годограф Найквиста для
неустойчивых САУ.
9. Следствие из критерия устойчивости Найквиста.
70
16. Определение области устойчивости АСР в плоскости настройки
параметров ПИ – регулятора
В основе метода лежит D- разбиение пространства 2-х параметров
настройки регулятора: П- составляющей (С1) и И – составляющей (С0).
Изложим последовательность расчета границы устойчивости АСР в
общем виде:
Исходя из условия
01)(
об
=+pWрW
подставим конкретные значения
p
WрW и)(
об
в это уравнение:
01),,(),,,,,,,(
10р
вание
-запазды
21
.
21об
=+
регулятора
настройки
параметры
времени
постоянная
усиления
коэфф
Лапласа
оператор
ССрQТТККрQ
Заменим р на
j
:
01),,(),,,,,,,(
10р2121об
=+ ССjfТТККjf
Отделим вещественную и мнимую части:
0),,,,,,,,,(
),,,,,,,,,Re(
102121
102121
=+
+
ССТТККjJm
ССТТКК
Порознь приравниваем нулю вещественную и мнимую части:
==0),,,,,,,,,(
0),,,,,,,,,Re(
102121
102121
ССТТККjJm
ССТТКК
Решим эти два уравнения, пологая неизвестными С0 и С1:
),,,,,,,(
),,,,,,,(
212111
212100
ТТККfC
ТТККfC==
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]