Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы и математическое моделирование в психологии. Учебно-методическое пособие
.pdf
3. Случай ложной корреляции возможен и за счет влияния
Кошки
Собаки
- - + + - + +
+
+
-
+ + + + -
+
к
с
+
-
Ʃ
-
1/а
1/b
2
+
4/с
2/d
6
Ʃ
5 3
третьей неучтенной переменной, например, первая переменная –
личностная тревожность, вторая – успеваемость. Следовательно,
чем выше тревожность, тем выше успеваемость, но это противоречит здравому смыслу. А если учесть влияние третьей переменной, а именно пол ребенка, можно сделать вывод, что внутри каждой группы корреляционная взаимосвязь не наблюдается.
В среднем у лиц женского пола выше тревожность и успеваемость. Следовательно, r под влиянием третьей переменной = 0.
Расчет r зависит от типа измерительной шкалы:
1. Для дихотомических шкал: используют φ – коэффи-
циент.
Дихотомическая шкала занимает промежуточное место между шкалой порядка и номинальной шкалой, измерения происходят по принципу «да» – «нет» (есть признак или нет).
Например, имеется 2 утверждения:
1. – вы очень любите кошек «+» – да, «-» – нет
2. – вы очень любите собак «+» – да, «-» – нет
После этого рассчитывается матрица сопряженности.
41
))()()(( dcbadbca
dacb
=
15,0
4,13
2
180
24
Можно сказать об отсутствии корреляционной связи между
любовью к кошкам и собакам.
Для применения коэффициента корреляции «υ» необходимо
соблюдать следующие условия:
1. Сравниваемые признаки должны быть измерены в дихо-
томической шкале.
2. Число варьирующих признаков в сравниваемых перемен-
ных Х и Y должно быть одинаково.
3. Для оценки уровня достоверности коэффициента «υ»
следует пользоваться таблицей критических значений для
t-критерия Стьюдента при k=n-2 (приложение 1).
2. Для порядковых шкал используется r-Спирмена или
τ-Кендалла.
Если обе переменные, между которыми изучается связь,
представлены в порядковой шкале, или одна из них – в порядковой, а другая – в метрической, то применяются ранговые коэффициенты корреляции: r-Спирмена или τ-Кендалла. Предварительно данные необходимо проранжировать, то есть упорядочить (наименьшему значению присваивается 1-ый ранг и т.д.
Если встречаются одинаковые значение, то присваивается средний ранг).
В основе корреляции, предложенной М. Кендаллом, лежит
идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно
сравнивая между собой испытуемых: если у пары испытуемых
изменение по X совпадает по направлению с изменением по Y,
то это свидетельствует о положительной связи, если не совпадает – то об отрицательной связи.
Для применения коэффициента корреляции Кендалла необходимо соблюдать следующие условия:
1. Сравниваемые признаки должны быть измерены в поряд-
ковой шкале.
2. Число варьирующих признаков в сравниваемых перемен-
ных Х и Y должно быть одинаковым.
42
3. Величина τ-Кендалла независима от закона распределе-
ния величин Х и Y.
4. Для оценки уровня достоверности коэффициента «τ» сле-
дует пользоваться таблицей критических значений для t-критерия Стьюдента при k=n-2 (приложение 1).
Для применения коэффициента корреляции Спирмена необходимо соблюдать следующие условия:
1. Сравниваемые переменные должны быть получены в порядковой шкале, но могут быть измерены в шкале интервалов
и отношений.
2. Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.
3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных Х и Y должно быть одинаковым.
4. Таблицы для определения критических значений коэффициента корреляции Спирмена (приложение 2) рассчитаны от
числа признаков равных n=5 до n=40 и при большем числе сравниваемых переменных следует использовать таблицу для пирсоновского коэффициента корреляции (приложение 3). Нахождение критических значений осуществляется при k=n.
3. Для интервальных шкал используется r – Пирсона.
Коэффициент r-Пирсона применяется для изучения взаимосвязи двух метрических переменных, измеренных на одной
и той же выборке.
Формула для расчета коэффициента корреляции Пирсона
для переменных X и Y выглядит следующим образом:
где – среднее значение измерений по переменной X,
–среднее значение измерений по переменной Y,
– стандартное отклонение по переменной X,
– стандартное отклонение по переменной Y,
n – количество измерений.
Существует множество ситуаций, в которых уместно его
применение. Например, влияет ли интеллект на успеваемость на
43
старших курсах университета? Связан ли размер заработной
№ испытуемого
Показатель
вербального
интеллекта (x)
Показатель
невербального
интеллекта (y)
1
13
12
2 9 11
3 8 8 4 9
12
5 7 9
6 9 11 7 8
9
8
13
13 9 11
9
10
12
10
11 8 9
12 9 8
13
10
10
14
10
12
15
12
10
16
10
10
17 8 11
18 9 10
19
10
11
20
11
13
среднее
9,8
10,4
платы работника с его доброжелательностью к коллегам? Влияет ли настроение школьника на успешность решения сложной
арифметической задачи?
Для ответа на подобные вопросы исследователь должен измерить два интересующих его показателя у каждого члена выборки. Данные для изучения взаимосвязи затем сводятся в таблицу, как в приведенном ниже примере. На его примере рассмотрим алгоритм расчета данного критерия.
Например, в таблице приведен пример исходных данных
измерения двух показателей интеллекта (вербального и невербального) у 20 учащихся 8-го класса (табл. 10).
Таблица 10
Данные для расчета показателя корреляции
44
Связь между этими переменными можно изобразить при
№ X Y
(
xx
i
)
(
yy
i
)
(
xx
i
)
2
(
yy
i
)2
(
xx
i
) (
yy
i
)
1
13
12
3,2
1,6
10,24
2,56
5,12
2 9 11
-0,8
0,6
0,64
0,36
-0,48
3 8 8
-1,8
-2,4
3,24
5,76
4,32
4 9 12
-0,8
1,6
0,64
2,56
-1,28
5 7 9
-2,8
-1,4
7,84
1,96
3,92
6 9 11
-0,8
0,6
0,64
0,36
-0,48
7 8 9
-1,8
-1,4
3,24
1,96
2,52
помощи диаграммы рассеивания (рис. 10). Диаграмма показывает, что существует некоторая взаимосвязь измеренных показателей: чем больше значения вербального интеллекта, тем (преимущественно) больше значения невербального интеллекта.
Рис. 10. Диаграмма рассеивания по данным таблицы 10
Для расчета коэффициента корреляции воспользуемся данными примера о вербальном и невербальном IQ, измеренном
у 20 учащихся 8-го класса. К двум столбцам с исходными данными добавляются еще 5 столбцов для дополнительных расчетов, и внизу – строки сумм и средних (табл. 11).
Таблица 11
Пример вычисления коэффициента корреляции Пирсона
45
№ X Y
(
xx
i
)
(
yy
i
)
(
xx
i
)
2
(
yy
i
)2
(
xx
i
) (
yy
i
)
8
13
13
3,2
2,6
10,24
6,76
8,32
9
11 9 1,2
-1,4
1,44
1,96
-1,68
10
12
10
2,2
-0,4
4,84
0,16
-0,88
11 8 9
-1,8
-1,4
3,24
1,96
2,52
12 9 8
-0,8
-2,4
0,64
5,76
1,92
13
10
10
0,2
-0,4
0,04
0,16
-0,08
14
10
12
0,2
1,6
0,04
2,56
0,32
15
12
10
2,2
-0,4
4,84
0,16
-0,88
16
10
10
0,2
-0,4
0,04
0,16
-0,08
17 8 11
-1,8
0,6
3,24
0,36
-1,08
18 9 10
-0,8
-0,4
0,64
0,16
0,32
19
10
11
0,2
0,6
0,04
0,36
0,12
20
11
13
1,2
2,6
1,44
6,76
3,12
сумма
196
208
0,00
0,00
57,2
42,8
25,6
среднее
9,8
10,4
На первом шаге подсчитываются суммы всех значений одного, затем – другого признака для вычисления соответствую-
щих средних значений: х= 9,8; y= 10,4.
Далее для каждого испытуемого вычисляются отклонения
от среднего: для Х для Y. Каждое отклонение от среднего возводится в квадрат. В последнем столбике записывается результат перемножения двух отклонений от среднего для каждого испытуемого.
Суммы отклонений от среднего для каждой переменной
должны быть равны нулю (с точностью до погрешности вычислений). Сумма квадратов отклонений необходима для вычисления стандартных отклонений (по уже известной формуле).
Имея для расчета все данные, можем перейти к формуле
Пирсона:
46
Число степеней свободы d=20-2=18.
По таблице критических значений для коэффициента корреляции Пирсона (приложение 3) находим критическое значение
критерия в точках значимости р=0,05 и р=0,01:
r
0,05
кр
=0,44; r
кр
0,01
=0,56.
Строим «ось значимости»:
зона зона
незначимости 0,05 0,01 значимости
rкр=0,44 rэм=0,517 rкр=0,56
Таким образом, мы можем говорить о наличии положительной связи между показателями вербального и невербального интеллекта на уровне значимости р≤0,05.
Для применения коэффициента корреляции Пирсона необходимо соблюдать условия:
1. Сравниваемые переменные должны быть получены в ин-
тервальной шкале или шкале отношений.
2. Распределения переменных Х и Y должны быть близки
к нормальному.
3. Число варьирующих признаков в сравниваемых перемен-
ных Х и Y должны быть одинаковым.
4. Таблицы уровней значимости для коэффициента корре-
ляции Пирсона рассчитаны от k=5 до k=1000. Оценка уровня
значимости по таблицам осуществляется при числе степеней
свободы k=n-2.
47
4.2. ПОСТРОЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ПЛЕЯДЫ
– положительная связь
на уровне p≤0,05
– измеренная переменная
(1-5)
– положительная связь
на уровне p≤0,01
– отрицательная связь
на уровне p≤0,05
– отрицательная связь
на уровне p≤0,01
Анализ корреляционной матрицы позволяет выявить структуру взаимосвязей множества параметров и уменьшить количество измеримых параметров, необходимых для достаточно полного описания предмета проектирования. При этом возможен
визуальный анализ корреляционных плеяд – графического изображения структуры статистически значимых связей (рис. 9).
Условные обозначения:
Правила построения корреляционных плеяд:
1. Поскольку в корреляционных исследованиях наличие
взаимосвязи говорит лишь о сопряженности изучаемых параметров, но никак не о причинно-следственной зависимости, при
построении корреляционных плеяд не рекомендуется использовать односторонние стрелочки, показывающие направление
Рис. 11. Корреляционная плеяда
48
взаимосвязи. Используются либо двусторонние стрелки, либо
простые соединительные линии.
2. Прямые и обратные взаимосвязи обозначаются (маркируются) посредством разных графических характеристик линий:
например, прямые – сплошной линией, обратные – пунктирной.
3. Корреляционный анализ может включать достаточно
большое количество параметров, между которыми могут быть
получены самые разнообразные взаимосвязи. Чтобы рисунок,
отражающий все эти взаимосвязи, был читаемым, важно удачно
расположить элементы корреляционной плеяды относительно
друг друга. Обычно в центре плеяды размещают тот параметр,
у которого обнаружено наибольшее количество значимых взаимосвязей, а на периферию выносятся параметры, имеющие единичные связи [12].
Контрольные вопросы:
1. Понятие корреляция. Корреляция как мера связи и согласованности переменных.
2. Коэффициент линейной корреляции Пирсона: общая логика, формула расчета.
3. Непараметрический (ранговый) коэффициент корреляции
Спирмена.
4. Корреляционные матрицы, способы их анализа.
5. Условия применения коэффициента корреляции τ-Кендалла.
Практические задания для самостоятельной работы
по теме «Корреляционный анализ»
Задание №1.
Определить характер корреляционной связи между пози-
циями Я-реальное и Я-идеальное у испытуемого А. (нет связных
рангов) и испытуемого Б. (есть связные ранги).
49
испытуемый А.
испытуемый Б.
позиция
ценность
Я-реальное
Я-идеальное
Я-реальное
Я-идеальное
значимость
значимость
активная жизнь
8 8 3
4
жизненная мудрость
9
16 4 7
здоровье 5 2 1 1
интересная работа
1 7 5
4
красота природы
18
10 7 12
любовь 2 3 2 3
материальное
обеспеч. 4 5 6 6
друзья 6 6 7 7
обществ. признание
16 4 6
5
познание
14
18 4 8
продуктивная жизнь
12
15 3 5
развитие
13
14 4 4
развлечения
15
13 8 11
свобода
10
11 2 2
семейная жизнь
3 1 7
3
счастье других
11
12 7 10
творчество
7
17 4 9
уверенность в себе
17 9 1
9
испытуемый
А Б В Г Д Е Ж З И
без помех
6 7 6 8 7 6 5 6 4
с помехами
3 4 5 6 6 5 4 5 2
Задание №2.
Девять испытуемых (А, Б, В и т.д.) в экспериментах по за-
поминанию в ситуациях с помехами и без них имели следующие
результаты (в баллах):
Определить, используя коэффициент корреляции Пирсона,
существует ли значимая корреляционная связь между показателями. При этом считать, что оба распределения являются нормальными.
Задание №3.
Дана корреляционная матрица (для подсчетов применялся
коэффициент корреляции Пирсона). Нужно отметить в ней ста-
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]